高中數(shù)學(xué) 第2章 統(tǒng)計(jì) 2.4 線性回歸方程教學(xué)案 蘇教版必修3

1、2.4預(yù)習(xí)課本P7475，思考并完成以下問題 1變量間有哪些常見關(guān)系？ 2什么叫散點(diǎn)圖？怎樣作出散點(diǎn)圖？ 3.什么叫線性回歸方程？ 1變量間的常見關(guān)系(1)函數(shù)關(guān)系：變量之間的關(guān)系可以用函數(shù)表示，是一種確定性關(guān)系(2)相關(guān)關(guān)系：變量之間有一定的聯(lián)系，但不能完全用函數(shù)來表達(dá)點(diǎn)睛函數(shù)關(guān)系是一種因果關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系不一定是因果關(guān)系，也可能是伴隨關(guān)系，如試驗(yàn)田的施肥量x與水稻的產(chǎn)量y.當(dāng)自變量x每取一確定值時(shí)，因變量y的取值帶有一定的隨機(jī)性，即還受其他環(huán)境因素的影響2.散點(diǎn)圖(1)概念：將樣本中n個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)(xi，yi)(i1,2，n)描在平面直角坐標(biāo)系中，用來表示兩個(gè)變量的一組數(shù)據(jù)的圖形叫做散點(diǎn)圖(2

2、)作法：建立平面直角坐標(biāo)系，用橫坐標(biāo)表示一個(gè)變量，用縱坐標(biāo)表示另一個(gè)變量，將給出的數(shù)據(jù)所表示的點(diǎn)在坐標(biāo)系內(nèi)描出，即可得到散點(diǎn)圖點(diǎn)睛對(duì)于散點(diǎn)圖要注意以下幾點(diǎn)若所有的樣本點(diǎn)都落在某一函數(shù)曲線上，則變量間具有函數(shù)關(guān)系若所有的樣本點(diǎn)都落在某一函數(shù)曲線附近，則變量間就具有相關(guān)關(guān)系若散點(diǎn)圖中的點(diǎn)的分布沒有什么規(guī)律，則這兩變量之間不具有相關(guān)關(guān)系，它們之間是相互獨(dú)立的3線性相關(guān)關(guān)系能用直線bxa近似表示的相關(guān)關(guān)系叫線性相關(guān)關(guān)系4線性回歸方程(1)概念：設(shè)有n對(duì)觀察數(shù)據(jù)如下：xx1x2x3xnyy1y2y3yn當(dāng)a，b使Q(y1bx1a)2(y2bx2a)2(ynbxna)2取得最小值時(shí)，就稱方程bxa為擬合這

3、n對(duì)數(shù)據(jù)的線性回歸方程，該方程所表示的直線稱為回歸直線(2)用回歸直線進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合的一般步驟作出散點(diǎn)圖，判斷散點(diǎn)是否在一條直線附近如果散點(diǎn)在一條直線附近，用公式求出a，b，并寫出線性回歸方程1下列各組變量是相關(guān)關(guān)系的是_(1)電壓U與電流I；(2)圓面積S與半徑R；(3)糧食產(chǎn)量與施肥量；(4)廣告費(fèi)支出與商品銷售額解析：(1)(2)中兩個(gè)變量間是函數(shù)關(guān)系，(3)(5)中兩個(gè)變量之間有關(guān)系，但不能用函數(shù)表達(dá)，是相關(guān)關(guān)系答案：(3)(4)25名學(xué)生的化學(xué)和生物成績(jī)?nèi)缦卤硭荆簩W(xué)生A學(xué)生B學(xué)生C學(xué)生D學(xué)生E化學(xué)成績(jī)(分)8075706560生物成績(jī)(分)7065686462判斷化學(xué)和生物成績(jī)之間是

4、否具有相關(guān)關(guān)系_(填“具有”“不具有”)答案：具有相關(guān)關(guān)系的概念典例在下列各個(gè)量與量的關(guān)系中：正方體的表面積與棱長(zhǎng)之間的關(guān)系；某同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)和物理成績(jī)之間的關(guān)系；家庭的收入與支出之間的關(guān)系；某戶家庭用電量與水費(fèi)之間的關(guān)系其中是相關(guān)關(guān)系的為_解析正方體的表面積與棱長(zhǎng)之間的關(guān)系是確定的函數(shù)關(guān)系；某戶家庭用電量與水費(fèi)之間無任何關(guān)系中，都是非確定的關(guān)系，但自變量取值一定時(shí)，因變量的取值帶有一定的隨機(jī)性答案判斷兩個(gè)變量是否具有相關(guān)關(guān)系，主要有兩種方法：一是根據(jù)相關(guān)關(guān)系的定義進(jìn)行判斷，看這兩個(gè)變量是否具有不確定性二是利用散點(diǎn)圖，看散點(diǎn)圖中的點(diǎn)是否都落在某一函數(shù)曲線附近 活學(xué)活用關(guān)于人體的脂肪含量(百分比

5、)與年齡關(guān)系的研究中，得到如下一組數(shù)據(jù)：年齡2327394145495053脂肪9.517.821.225.927.526.328.229.6(1)將上表中的數(shù)據(jù)制成散點(diǎn)圖；(2)你能從散點(diǎn)圖中發(fā)現(xiàn)年齡與脂肪含量近似成什么關(guān)系嗎？(3)若成線性相關(guān)關(guān)系，請(qǐng)你畫一條直線近似地表示這種線性關(guān)系解：(1)以年齡作為x軸，脂肪含量為y軸，可得相應(yīng)散點(diǎn)圖，如圖所示(2)從散點(diǎn)圖可以發(fā)現(xiàn)，年齡與脂肪含量之間具有線性相關(guān)關(guān)系(3)畫出的一條直線如上圖線性回歸方程的求法及應(yīng)用典例假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限x和所支出的維修費(fèi)用y(單位：萬元)有如下的統(tǒng)計(jì)資料：使用年限x23456維修費(fèi)用y2.23.85.56.5

6、7.0若由資料知y與x成線性相關(guān)關(guān)系試求：(1)線性回歸方程bxa的系數(shù)a，b；(2)所求的回歸直線必過點(diǎn)P(，)嗎？(3)使用年限為10年時(shí)，試估計(jì)維修費(fèi)用是多少？(4)若設(shè)備的使用年限x每增加一年，則所支出的維修費(fèi)用y如何變化？解(1)4，5，90，iyi112.3，b1.23.ab51.2340.08.(2)線性回歸方程是1.23x0.08，又4，5，把點(diǎn)P(4,5)代入線性回歸方程知必過點(diǎn)P(，)(3)當(dāng)x10時(shí)，1.23100.0812.38，所以估計(jì)使用10年時(shí)維修費(fèi)用是12.38萬元(4)由線性回歸方程知，使用年限每增加一年維修費(fèi)用就提高1.23萬元(1)知道x與y呈線性相關(guān)關(guān)系

7、，無需進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)，否則進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)，如果兩個(gè)變量之間本身不具備相關(guān)關(guān)系或相關(guān)性不顯著，即使求出回歸方程也是毫無意義的(2)用公式計(jì)算a，b的值時(shí)，要先算出b，然后才能算出a. 活學(xué)活用以下是江蘇省某城鎮(zhèn)收集到的新房屋的銷售價(jià)格y和房屋的大小x的數(shù)據(jù)：房屋大小x(m2)11511080135105銷售價(jià)格y(萬元)24.821.618.429.222(1)畫出數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；(2)求回歸方程；(3)估算一下96 m2的房?jī)r(jià)解：(1)散點(diǎn)圖如圖所示(2)109，23.2，60 975，iyi12 952.b0.196 2，ab23.20.196 21091.814 2.回歸直線方程為0.196

8、 2x1.814 2.(3)當(dāng)x96時(shí)，20.6.因此，96 m2的新房屋大約為20.6萬元層級(jí)一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)1對(duì)于給定的兩個(gè)變量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，下列說法正確的是_(填序號(hào))都可以分析出兩個(gè)變量的關(guān)系；都可以用一條直線近似地表示兩者的關(guān)系；都可以用確定的表達(dá)式表示兩者的關(guān)系；都可以作出散點(diǎn)圖答案：2根據(jù)下面四個(gè)散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布狀態(tài)，直觀上判斷兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系的是_答案：3已知x與y之間的一組數(shù)據(jù)如下表：x1234y2357則x與y之間的線性回歸方程bxa必過點(diǎn)_解析：首先可求2.5，4.25，又回歸直線必過點(diǎn)(，)，故回歸直線必過點(diǎn)(2.5,4.25)答案：(2.5,4.25)4已知某

9、工廠在2015年每月產(chǎn)品的總成本y(萬元)與月產(chǎn)量x(萬件)之間有線性相關(guān)關(guān)系，回歸方程為1.215x0.974，若月產(chǎn)量增加4萬件時(shí)，則估計(jì)成本增加_萬元解析：由11.215x10.974，21.215(x14)0.974，得211.21544.86(萬元)答案：4.865某工廠為了對(duì)新研發(fā)的一種產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià)，將該產(chǎn)品按事先擬定的價(jià)格進(jìn)行試銷，得到如下數(shù)據(jù)：?jiǎn)蝺r(jià)x(元)88.28.48.68.89銷量y(件)908483807568(1)求回歸直線方程ybxa，其中b20，ab；(2)預(yù)計(jì)在今后的銷售中，銷量與單價(jià)仍然服從(1)中的關(guān)系，且該產(chǎn)品的成本是4元/件，為使工廠獲得最大利潤(rùn)，該

10、產(chǎn)品的單價(jià)應(yīng)定為多少元？(利潤(rùn)銷售收入成本)解：(1)由于(x1x2x3x4x5x6)8.5，(y1y2y3y4y5y6)80.所以ab80208.5250，從而回歸直線方程為y20x250.(2)設(shè)工廠獲得的利潤(rùn)為L(zhǎng)元，依題意得Lx(20x250)4(20x250)20x2330x1 00020(x)2361.25.當(dāng)且僅當(dāng)x8.25時(shí)，L取得最大值故當(dāng)單價(jià)定為8.25元時(shí)，工廠可獲得最大利潤(rùn)層級(jí)二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)1下列兩個(gè)變量之間的關(guān)系，是函數(shù)關(guān)系的有_球的體積和它的半徑人的血壓和體重底面積為定值的長(zhǎng)方體的體積和高城鎮(zhèn)居民的消費(fèi)水平和平均工資答案：2.如圖，從5組數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)中去掉點(diǎn)_后，剩下

11、的4組數(shù)據(jù)的線性相關(guān)性就更好了解析：由散點(diǎn)圖知：呈帶狀區(qū)域時(shí)有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，故去掉D點(diǎn)答案：D3某單位為了了解用電量y度與氣溫x之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了某4天的用電量與當(dāng)天氣溫，并制作了對(duì)照表：氣溫()1813101用電量(度)24343864由表中數(shù)據(jù)得線性回歸方程bxa中b2，預(yù)測(cè)當(dāng)氣溫為4 時(shí)，用電量的度數(shù)約為_解析：10，40，回歸方程過點(diǎn)(，)，40210a，a60.y2x60.令x4，(2)(4)6068.答案：684對(duì)某臺(tái)機(jī)器購(gòu)置后的運(yùn)營(yíng)年限x(x1,2,3)與當(dāng)年利潤(rùn)y的統(tǒng)計(jì)分析知具備線性相關(guān)關(guān)系，回歸方程為y10.471.3x，估計(jì)該臺(tái)機(jī)器使用_年最合算解析：只要預(yù)計(jì)利潤(rùn)

12、不為負(fù)數(shù)，使用該機(jī)器就算合算，即y0，所以10.471.3x0，解得x8.05，所以該臺(tái)機(jī)器使用8年最合算答案：85下表是廣告費(fèi)用與銷售額之間的一組數(shù)據(jù)：廣告費(fèi)用(千元)1461014銷售額(千元)1944405253銷售額y(千元)與廣告費(fèi)用x(千元)之間有線性相關(guān)關(guān)系，回歸方程為2.3xa(a為常數(shù))，現(xiàn)要使銷售額達(dá)到6萬元，估計(jì)廣告費(fèi)用約為_千元解析：7，41.6，則a2.341.62.3725.5.當(dāng)y6萬元60千元時(shí)，602.3x25.5，解得x15(千元)答案：156工人月工資y(元)依據(jù)勞動(dòng)生產(chǎn)率x(千元)變化的線性回歸方程為5080x，當(dāng)勞動(dòng)生產(chǎn)率提高1 000元時(shí)，工資平均提

13、高_(dá)元解析：線性回歸方程bxa中b的意義是當(dāng)x增加一個(gè)單位時(shí)，y的值平均變化b個(gè)單位，這是一個(gè)平均變化率，線性回歸方程不是一種確定關(guān)系，只能用于預(yù)測(cè)變量的值，所以當(dāng)x增加一個(gè)單位1千元時(shí)，工資平均提高80元答案：807如果在一次試驗(yàn)中，測(cè)得(x，y)的四組數(shù)值分別是A(1,3)，B(2,3.8)，C(3,5.2)，D(4,6)，那么y與x之間的線性回歸方程是_解析：由題意，得2.5，4.5，iyi50.2，30，b1.04，a4.51.042.51.9，故線性回歸方程為1.04x1.9.答案：1.04x1.98已知x與y之間的幾組數(shù)據(jù)如下表：x123456y021334假設(shè)根據(jù)上表數(shù)據(jù)所得線性

14、回歸直線方程為bxa.若某同學(xué)根據(jù)上表中的前兩組數(shù)據(jù)(1,0)和(2,2)求得的直線方程為ybxa，則以下結(jié)論正確的是_bb，aa；bb，aa；bb，aa；bb，aa.解析：，b，ab，b2b，a2a.答案：9某地最近十年糧食需求量逐年上升，下表是部分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：年份20062008201020122014需求量(萬噸)236246257276286(1)利用所給數(shù)據(jù)求年需求量與年份之間的回歸直線方程bxa；(2)利用(1)中所求出的直線方程預(yù)測(cè)該地2016年的糧食需求量解：(1)由所給數(shù)據(jù)看出，年需求量與年份之間是近似直線上升，下面來求回歸直線方程，先將數(shù)據(jù)預(yù)處理如下：年份201042024需

15、求量257211101929由處理后的數(shù)據(jù)，容易算得0，3.2，b6.5.ab3.2.由上述計(jì)算結(jié)果，可知所求回歸直線方程為257b(x2 010)a6.5(x2 010)3.2.即6.5(x2 010)260.2.(2)利用所求得的直線方程，可預(yù)測(cè)2016年的糧食需求量為6.5(20162010)260.26.56260.2299.2(萬噸)10(全國(guó)卷)某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)，需了解年宣傳費(fèi)x(單位：千元)對(duì)年銷售量y(單位：t)和年利潤(rùn)z(單位：千元)的影響對(duì)近8年的年宣傳費(fèi)xi和年銷售量yi(i1,2，8)數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值(xi)2(

16、wi)2(xi)(yi)(wi)(yi)46.65636.8289.81.61 469108.8表中wi，i.(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，yabx與ycd哪一個(gè)適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類型？(給出判斷即可，不必說明理由)(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程(3)已知這種產(chǎn)品的年利潤(rùn)z與x，y的關(guān)系為z0.2yx.根據(jù)(2)的結(jié)果回答下列問題：年宣傳費(fèi)x49時(shí)，年銷售量及年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值是多少？年宣傳費(fèi)x為何值時(shí)，年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大？附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)(u1，v1)，(u2，v2)，(un，vn)，其回歸直線vu的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，.解：(1)由散點(diǎn)圖可以判斷，ycd