2019-2020學(xué)年人教A版選修2-1 3.1.4空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示 課時(shí)作業(yè)

1、1.設(shè)p:a,b,c是三個(gè)非零向量;q:a,b,c為空間的一個(gè)基底,則p是q的(B)(A)充分不必要條件 (B)必要不充分條件(C)充要條件 (D)既不充分也不必要條件解析:當(dāng)非零向量a,b,c不共面時(shí),a,b,c可以當(dāng)基底,否則不能當(dāng)基底.當(dāng)a,b,c為基底時(shí),一定有a,b,c為非零向量.因此pq,qp.故選B.2.在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中,下列說法正確的是(D)(A)向量的坐標(biāo)與點(diǎn)B的坐標(biāo)相同(B)向量的坐標(biāo)與點(diǎn)A的坐標(biāo)相同(C)向量與向量的坐標(biāo)相同(D)向量與向量-的坐標(biāo)相同解析:因?yàn)锳點(diǎn)不一定為坐標(biāo)原點(diǎn),所以A不正確;同理B,C都不正確;由于=-,故選D.3.有以下三個(gè)命題:三個(gè)非零

2、向量a,b,c不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底,則a,b,c共面;若兩個(gè)非零向量a,b與任何一個(gè)向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底,則a,b共線;若a,b是兩個(gè)不共線向量,而c=a+b(,R且0),則a,b,c構(gòu)成空間的一個(gè)基底.其中真命題的個(gè)數(shù)是(C)(A)0(B)1(C)2(D)3解析:正確,中,由平面向量的基本定理可知a,b,c共面,故為假命題.選C.4.若向量a,b,c是空間的一個(gè)基底,則一定可以與向量p=2a+b,q=2a-b構(gòu)成空間的另一個(gè)基底的向量是(C)(A)a(B)b(C)c(D)a+b解析:因?yàn)閜=2a+b,q=2a-b,所以a=p+q,所以a,p,q共面,故a,p,q不能構(gòu)成空間的一個(gè)基

3、底,排除A;因?yàn)閎=p-q,所以b,p,q共面,故b,p,q不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底,排除B;因?yàn)閍+b=p-q,所以a+b,p,q共面,故a+b,p,q不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底,排除D;故選C.5.如圖所示,在平行六面體ABCDA1B1C1D1中,若=a,=b,=c,則下列向量中與相等的向量是(D)(A)-a+b+c (B)a-b+c(C)a+b+c (D)a+b-c解析:=+=+=+-=a+b-c.故選D.6.已知平行六面體OABCOABC,=a,=c,=b,D是四邊形OABC的對(duì)角線的交點(diǎn),則(D)(A)=-a+b+c (B)=-b-a-c(C)=a-b-c (D)=a-b+c解析:=+=-

4、+(+)=-+=a-b+c.故選D.7.如圖,在四面體OABC中,=a,=b,=c,點(diǎn)M在OA上,且OM=2MA,點(diǎn)N為BC的中點(diǎn),則等于(B)(A)a-b+c(B)-a+b+c(C)a+b-c(D)a+b-c解析:連接ON(圖略),=-=(+)-=(b+c)-a=-a+b+c.故選B.8.若向量i,j,k為空間直角坐標(biāo)系上對(duì)應(yīng)x軸,y軸,z軸上的單位向量,且設(shè)a=2i-j+3k,則向量a的坐標(biāo)為 .解析:因?yàn)閍=2i-j+3k,由空間向量的坐標(biāo)表示可知,坐標(biāo)(2,-1,3)與向量a=2i-j+3k對(duì)應(yīng),故向量a的坐標(biāo)為(2,-1,3).答案:(2,-1,3)9.已知空間的一個(gè)基底a,b,c,

5、m=a-b+c,n=xa+yb+2c,若m與n共線,則x= ,y= .解析:因?yàn)閙與n共線,所以存在實(shí)數(shù),使m=n,即a-b+c=xa+yb+2c,于是有解得答案:2-210.如圖所示,直三棱柱ABCA1B1C1中,ABAC,D,E分別為AA1,B1C的中點(diǎn),若記=a,=b,=c,則= (用a,b,c表示).解析:取BC中點(diǎn)為F,連EF,AF,則EFBB1,又ADBB1,所以EFAD,所以四邊形ADEF為平行四邊形,所以DEAF,所以=(+)=a+b.答案:a+b11.若a,b,c是空間的一個(gè)基底,且存在實(shí)數(shù)x,y,z,使得xa+yb+ zc=0,則x,y,z滿足的條件是 .解析:若x0,則a

6、=-b-c,即a與b,c共面.由a,b,c是空間的一個(gè)基底知a,b,c不共面,故x=0,同理y=z=0.答案:x=y=z=012.在平行六面體ABCDA1B1C1D1中,設(shè)=a,=b,=c,E,F分別是AD1,BD的中點(diǎn).(1)用向量a,b,c表示,;(2)若=xa+yb+zc,求實(shí)數(shù)x,y,z的值.解:(1)如圖,=+=-+-=a-b-c,=+=+=-(+)+(+)=(a-c).(2)=(+)=(-+)=(-c+a-b-c)=a-b-c,所以x=,y=-,z=-1.13.如圖,已知正四面體ABCD的棱長為a,試建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系并表示出各個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo).解:建系不同,所得各點(diǎn)的坐標(biāo)也不同.如圖,

7、過A作AG垂直于平面BCD,由于AB=AC=AD,所以G為BCD的中心,過G作GFCD,E為CD的中點(diǎn),以G為原點(diǎn),分別為x軸,y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)锽CD的邊長為a,所以BE=a,GE=a.又BG=a,所以AG=a,所以A(0,0,a),B(0,-a,0),C(,a,0),D(-,a,0).14.已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1,點(diǎn)E,F分別在線段A1D,AC上,且EFA1D,EFAC,以 點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DC,DD1分別作為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖所示).(1)試求向量的坐標(biāo);(2)求證:EFBD1.解:(1)因?yàn)檎襟wABCDA1

8、B1C1D1的棱長為1,根據(jù)題意知,為單位正交基底,設(shè)=i,=j,=k,所以向量可用單位正交基底i,j,k表示,因?yàn)?+,與共線,與共線,所以設(shè)=,=,則=+=(+)+(-)=(+)+(1-)+=(+)i+(1-)j+k,因?yàn)镋FA1D,EFAC,即,所以=0,=0,又=-i-k,=-i+j,所以整理得即,解得所以=i+j-k所以的坐標(biāo)是(,-)(2)因?yàn)?+=-i-j+k=-,即與共線,又EF與BD1無公共點(diǎn),所以EFBD1.15.以棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1的棱AB,AD,AA1所在的直線分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則平面AA1B1B對(duì)角線交點(diǎn)的坐標(biāo)為(B)(

9、A)(0,)(B)(,0,)(C)(,0)(D)(,)解析:如圖,由題意知平面AA1B1B對(duì)角線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為AB的中點(diǎn)值,豎坐標(biāo)為AA1的中點(diǎn)值,縱坐標(biāo)為0,所以平面AA1B1B對(duì)角線交點(diǎn)的坐標(biāo)為(,0,).故選B.16.設(shè)OABC是四面體,G1是ABC的重心,G是OG1上的一點(diǎn),OG=3GG1,若=x+y+z,則(x,y,z)為(A)(A)(,)(B)(,)(C)(,)(D)(,)解析:如圖,由已知=(+)=+(+)=+(-)+(-)=+,從而x=y=z=.故選A.17.如圖在平行六面體ABCDA1B1C1D1中,M為AC和BD的交點(diǎn),若=a,=b,=c,則=.解析:=-=(+)-(+)=-+-=-a+b-c.答案:-a+b-c18.若a=e1+e2,b=e2+e3,c=e1+e3,d=e1+2e2+3e3,且e1,e2,e3不共面,當(dāng)d= a+ b+ c時(shí),+= .解析:由已知d=(+)e1+(+)e2+(+)e3.所以故有+=3.答案:319.