直線與雙曲線的位置關(guān)系及中點(diǎn)弦問題――教案

1、直線與雙曲線的位置關(guān)系及中點(diǎn)弦問題1.直線與雙曲線的位置關(guān)系的判斷設(shè)直線，雙曲線聯(lián)立解得若即，直線與雙曲線漸近線平行，直線與雙曲線相交于一點(diǎn)；若即，直線與雙曲線相交，有兩個(gè)交點(diǎn)；直線與雙曲線相切，有一個(gè)交點(diǎn)；直線與雙曲線相離，無交點(diǎn)；直線與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)是直線與雙曲線相切的必要不充分條件。2.直線與圓錐曲線相交的弦長公式設(shè)直線l:y=kx+n，圓錐曲線：F(x,y)=0，它們的交點(diǎn)為P1 (x1,y1)，P2 (x2,y2)，且由，消去yax2+bx+c=0（a0），=b2 4ac。設(shè)，則弦長公式為：則若聯(lián)立消去得的一元二次方程：設(shè)，則焦點(diǎn)弦長：（點(diǎn)是圓錐曲線上的任意一點(diǎn)，是焦點(diǎn)，是到相應(yīng)

2、于焦點(diǎn)的準(zhǔn)線的距離，是離心率）?！纠?】過點(diǎn)與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有幾條，分別求出它們的方程。解析：若直線的斜率不存在時(shí)，則，此時(shí)僅有一個(gè)交點(diǎn)，滿足條件；若直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為則， ，當(dāng)時(shí)，方程無解，不滿足條件；當(dāng)時(shí)，方程有一解，滿足條件；當(dāng)時(shí)，令，化簡得：無解，所以不滿足條件；所以滿足條件的直線有兩條和?！纠?】直線與雙曲線相交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)為何值時(shí)，A、B在雙曲線的同一支上？當(dāng)為何值時(shí)，A、B分別在雙曲線的兩支上？解析：把代入整理得： 當(dāng)時(shí)，。由0得且時(shí)，方程組有兩解，直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)。若A、B在雙曲線的同一支，須0 ，所以或。故當(dāng)或時(shí)，A、B兩點(diǎn)在同一支上；

3、當(dāng)時(shí)，A、B兩點(diǎn)在雙曲線的兩支上。點(diǎn)評：與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有兩種。一種是與漸近線平行的兩條與雙曲線交于一點(diǎn)的直線。另一種是與雙曲線相切的直線也有兩條?！纠?】求直線被雙曲線截得的弦長；解析：由得得（*）設(shè)方程（*）的解為，則有 得，3.中點(diǎn)弦問題：【例】求過定點(diǎn)的直線被雙曲線截得的弦中點(diǎn)軌跡方程。解：設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)為，弦中點(diǎn)為，則得：， 即， 即（圖象的一部分）4、最值問題【例1】在雙曲線上求一點(diǎn)，使到直線的距離最短。解：設(shè)與直線平行且與橢圓相切的直線方程為：聯(lián)立化簡得（*），故切線方程為：代入雙曲線方程解得（）【例2】設(shè)，為雙曲線=1的右焦點(diǎn)，在雙曲線上求一點(diǎn)P，使得 取得最小

4、值時(shí)，求P點(diǎn)的坐標(biāo).易解：P點(diǎn)的坐標(biāo)為典例分析例1. 判斷下列直線與雙曲線的位置關(guān)系（1） （2）例2（1）過定點(diǎn)P(0,-1)的直線與雙曲線僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有（ ）條。（2）過定點(diǎn)P(1,1)的直線與雙曲線 僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有（ ）條。（3）過點(diǎn)的直線與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，這樣的直線共有 A.1條 B.2條 C.3條 D.4條例3經(jīng)過雙曲線的右焦點(diǎn)作傾斜角為30的直線交該雙曲線于A，B兩點(diǎn)，求 的周長。（ 為雙曲線的左焦點(diǎn)）例4.（1）以P（1，8）為中點(diǎn)作雙曲線為的一條弦AB，求直線AB的方程。（2）過定點(diǎn)A(1,1)作直線與雙曲線交與P，Q兩點(diǎn)，若點(diǎn)A是線段PQ的中點(diǎn)，這樣的直線存在嗎？例5如果直線雙曲線僅有一個(gè)公共點(diǎn)，求的值。 如果直線與雙曲線右支有兩個(gè)公共點(diǎn) 求的取值范圍。例6.若直線與雙曲線恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A和B，且(其中O為原點(diǎn))，求的取值范圍。例7.已知