阿氏圓問題歸納

1、阿氏圓題型的解題方法和技巧以阿氏圓(阿波羅尼斯圓)為背景的幾何問題近年來在中考數(shù)學(xué)中經(jīng)常出現(xiàn)，對于此類問題的歸納和剖析顯得非常重要.具體內(nèi)容如下：阿氏圓定理(全稱：阿波羅尼斯圓定理)，具體的描述：一動點(diǎn)P到兩定點(diǎn)A、B的距離之比等于定比(1)，則P點(diǎn)的軌跡，是以定比內(nèi)分和外分定線段AB的兩個分點(diǎn)的連線為直徑的圓這個軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，該圓稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓定理讀起來和理解起來比較枯燥，阿氏圓題型也就是大家經(jīng)常見到的PA+kPB，(k1)P點(diǎn)的運(yùn)動軌跡是圓或者圓弧的題型.PA+kPB,(k1)P點(diǎn)的運(yùn)動軌跡是圓或圓弧的題型阿氏圓基本解法：構(gòu)造母子三角形相似【問題】在平

2、面直角坐標(biāo)系xOy中，在x軸、y軸分別有點(diǎn)C(m，0)，D(0，n).點(diǎn)P是平面內(nèi)一動點(diǎn)，且OP=r，求PC+kPD的最小值.阿氏圓一般解題步驟：第一步：確定動點(diǎn)的運(yùn)動軌跡(圓)，以點(diǎn)O為圓心、r為半徑畫圓；(若圓已經(jīng)畫出則可省略這一步)第二步：連接動點(diǎn)至圓心O(將系數(shù)不為1的線段的固定端點(diǎn)與圓心相連接)，即連接OP、OD；第三步：計算出所連接的這兩條線段OP、OD長度；第四步：計算這兩條線段長度的比k；第五步：在OD上取點(diǎn)M，使得OM:OP=OP:OD=k；第六步：連接CM，與圓O交點(diǎn)即為點(diǎn)P此時CM即所求的最小值.【補(bǔ)充：若能直接構(gòu)造相似計算的，直接計算，不能直接構(gòu)造相似計算的，先把k提到

3、括號外邊，將其中一條線段的系數(shù)化成，再構(gòu)造相似進(jìn)行計算】習(xí)題【旋轉(zhuǎn)隱圓】如圖，在RtABC中，ACB=90，D為AC的中點(diǎn)，M為BD的中點(diǎn)，將線段AD繞A點(diǎn)任意旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)過程中始終保持點(diǎn)M為BD的中點(diǎn)），若AC=4，BC=3，那么在旋轉(zhuǎn)過程中，線段CM長度的取值范圍是_.1.RtABC中，ACB=90，AC=4，BC=3，點(diǎn)D為ABC內(nèi)一動點(diǎn)，滿足CD=2，則AD+BD的最小值為_.2.如圖，菱形ABCD的邊長為2，銳角大小為60，A與BC相切于點(diǎn)E，在A上任取一點(diǎn)P，則PB+PD的最小值為_.3.如圖，已知菱形ABCD的邊長為4，B=60，圓B的半徑為2，P為圓B上一動點(diǎn)，則PD+PC的最小

4、值為_.4.如圖，點(diǎn)A，B在O上，OA=OB=12,OAOB，點(diǎn)C是OA的中點(diǎn)，點(diǎn)D在OB上，OD=10.動點(diǎn)P在O上，則PC+PD的最小值為_.5.如圖，等邊ABC的邊長為6，內(nèi)切圓記為O，P是圓上動點(diǎn)，求2PB+PC的最小值.6.如圖，邊長為4的正方形，內(nèi)切圓記為O，P是圓上的動點(diǎn)，求PA+PB的最小值.7.如圖，邊長為4的正方形，點(diǎn)P是正方形內(nèi)部任意一點(diǎn)，且BP=2，則PD+PC的最小值為_；PD+4PC的最小值為_.8.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A(2，0)，B(0,2)，C(4，0)，D(3，2)，P是AOB外部的第一象限內(nèi)一動點(diǎn)，且BPA=135，則2PD+PC的最小值是_.9.在

5、ABC中，AB=9，BC=8，ABC=60，A的半徑為6，P是A上的動點(diǎn)，連接PB、PC，則3PC+2PB的最小值為_.10.如圖，在RtABC中，A=30，AC=8，以C為圓心，4為半徑作C(1)試判斷C與AB的位置關(guān)系，并說明理由；(2)點(diǎn)F是C上一動點(diǎn)，點(diǎn)D在AC上且CD=2，試說明FCDACF；(3)點(diǎn)E是AB上任意一點(diǎn)，在(2)的情況下，試求出EF+FA的最小值.11.(1)如圖1，已知正方形ABCD的邊長為4，圓B的半徑為2，點(diǎn)P是圓B上的一個動點(diǎn)，求PD+PC的最小值和PD-PC的最大值；(2)如圖2，已知正方形ABCD的邊長為9，圓B的半徑為6，點(diǎn)P是圓B上的一個動點(diǎn)，那么PD

6、+PC的最小值為_，PD-PC的最大值為_(3)如圖3，已知菱形ABCD的邊長為4，B=60，圓B的半徑為2，點(diǎn)P是圓B上的一個動點(diǎn)，那么PD+PC的最小值為_，PD-PC的最大值為_.12.問題提出：如圖1，在RtABC中，ACB=90，CB=4，CA=6，C半徑為2，P為圓上一動點(diǎn)，連結(jié)AP、BP，求AP+BP的最小值(1)嘗試解決：為了解決這個問題，下面給出一種解題思路：如圖2，連接CP，在CB上取點(diǎn)D，使CD=1，則有，又PCD=BCP，PCDBCP，PD=BP，AP+BP=AP+PD請你完成余下的思考，并直接寫出答案：AP+BP的最小值為_(2)自主探索：在“問題提出”的條件不變的情

7、況下，AP+BP的最小值為_(3)拓展延伸：已知扇形COD中，COD=90，OC=6，OA=3，OB=5，點(diǎn)P是弧CD上一點(diǎn)，求2PA+PB的最小值.【二次函數(shù)結(jié)合阿氏圓題型】13.如圖1，拋物線y=ax+(a+3)x+3（a0）與x軸交于點(diǎn)A（4，0），與y軸交于點(diǎn)B，在x軸上有一動點(diǎn)E（m，0）（0m4），過點(diǎn)E作x軸的垂線交直線AB于點(diǎn)N，交拋物線于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PMAB于點(diǎn)M(1)求a的值和直線AB的函數(shù)表達(dá)式；(2)設(shè)PMN的周長為C1，AEN的周長為C2，若，求m的值；(3)如圖2，在（2）條件下，將線段OE繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)得到OE，旋轉(zhuǎn)角為（090），連接EA、EB，求EA+EB

8、的最小值問題背景：如圖1，在ABC中，BC=4，AB=2AC問題初探：請寫出任意一對滿足條件的AB與AC的值：AB=_，AC=_問題再探：如圖2，在AC右側(cè)作CAD=B，交BC的延長線于點(diǎn)D，求CD的長問題解決：求ABC的面積的最大值1.小明的數(shù)學(xué)探究小組進(jìn)行了系列探究活動類比定義：類比等腰三角形給出如下定義：有一組鄰邊相等的凸四邊形叫做鄰等四邊形探索理解：(1)如圖1，已知A、B、C在格點(diǎn)（小正方形的頂點(diǎn)）上，請你協(xié)助小明用兩種不同的方法畫出格點(diǎn)D，連接DA、DC，使四邊形ABCD為鄰等四邊形；嘗試體驗：(2)如圖2，鄰等四邊形ABCD中，AD=CD，ABC=120，ADC=60，AB=2，BC=1，求四邊形ABCD的面積解決應(yīng)用：(3)如圖3，鄰等四邊形ABCD中，AD=CD，ABC=75，ADC=60，BD=4小明爸爸所在的工廠，需要裁取某種四邊形的材料板，這個材料板的形狀恰巧是符合如圖3條件的鄰等四邊形，要求盡可能節(jié)約你能求出這種四邊形面積的最小值嗎？如果能，請求出此時四邊形ABCD面積的最小值；如果不能，請說明理由2.我們定義：有一組鄰邊相等的凸四邊形叫做“等鄰邊四邊形”(1)如圖1，在四邊形ABCD中，添加一個條件使得四邊形ABCD是“等鄰邊四邊