概念是數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)中的基本元素

1、概念是數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)中的基本元素。數(shù)學(xué)概念的建立是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的前提。學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)概念進(jìn)行推理、判斷過(guò)程中要得出正確的結(jié)論，首先要正確地掌握概念。這是決定教學(xué)效果的首要因素、基礎(chǔ)因素和貫穿始終的因素。所以，概念教學(xué)在數(shù)學(xué)教學(xué)中有不容忽視的地位 。 概念是最基本的思維形式，數(shù)學(xué)中的命題，都是由概念構(gòu)成的；數(shù)學(xué)中的推理和證明，又是由命題構(gòu)成的。因此，數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，是整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重要環(huán)節(jié)；正確地理解數(shù)學(xué)概念，是掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的前提。 概念的形成實(shí)質(zhì)可分為兩個(gè)階段，從表象通過(guò)分析，綜合發(fā)展為抽象的概括，在具體的應(yīng)用中使抽象的概念再得以再現(xiàn)。那么，如何使學(xué)生的表象抽象出本質(zhì)屬性，如何應(yīng)用于實(shí)際呢？

2、一. 概念的引入 數(shù)學(xué)概念的引入一般有以下四種方式: 1. 聯(lián)系實(shí)際事物或?qū)嵨铮Ｐ徒榻B，對(duì)概念作唯物的解釋 恩格斯指出:“數(shù)和形的概念不是從其他任何地方，而是從現(xiàn)實(shí)世界中得來(lái)的?！睌?shù)學(xué)來(lái)源于客觀世界，應(yīng)用于客觀世界。離開(kāi)了客觀存在，離開(kāi)了從現(xiàn)實(shí)世界得來(lái)的感覺(jué)經(jīng)驗(yàn)，數(shù)學(xué)概念就成了無(wú)源之水，無(wú)本之木，而只是主觀自生的靠不住的東西。從這個(gè)意義上來(lái)說(shuō)，形成準(zhǔn)確概念的首要條件，是使學(xué)生獲得十分豐富(不是零碎不全)和合乎實(shí)際(不是錯(cuò)覺(jué))的感覺(jué)材料。因此，在數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中，要密切聯(lián)系數(shù)學(xué)概念的現(xiàn)實(shí)原型，引導(dǎo)學(xué)生分析日常生活和生產(chǎn)實(shí)際中常見(jiàn)的事例，讓學(xué)生觀察有關(guān)的事物、圖示、模型的同時(shí)，獲得對(duì)所研究對(duì)象的

3、感性認(rèn)識(shí)，逐步認(rèn)識(shí)本質(zhì)，建立概念。 就拿我在教學(xué)中舉例來(lái)說(shuō)，在講平面直角坐標(biāo)系時(shí)，可以用電影票上的排號(hào)引入。“負(fù)數(shù)”可用零上幾度與零下幾度、前進(jìn)幾米與后退幾米、收入多少元與支出多少元等等這些相反意義的量來(lái)引入，這些都是身邊的實(shí)例，同時(shí)也可以結(jié)合圖示的直觀進(jìn)行分析，讓學(xué)生看到也感到，數(shù)學(xué)就是來(lái)源于生活。 恰當(dāng)?shù)芈?lián)系數(shù)學(xué)概念的原型，可以豐富學(xué)生的感性認(rèn)識(shí)，有利于理解概念的實(shí)際內(nèi)容；同時(shí)也有助于學(xué)生體會(huì)學(xué)習(xí)新概念的目的意義，弄清每一概念是從什么問(wèn)題提出的，又是為了解決什么問(wèn)題的，從而激發(fā)學(xué)習(xí)新概念的主動(dòng)性和積極性。 2. 用類(lèi)比的方法引入概念 類(lèi)比不僅是思維的一種重要形式，也是引入概念的一種重要方法

4、。就拿我在教學(xué)中舉例來(lái)說(shuō):在講分式的基本性質(zhì)的引入，我就是通過(guò)具體例子引導(dǎo)學(xué)生回憶以前小學(xué)中分?jǐn)?shù)通分、約分的依據(jù)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，再用類(lèi)比的方法得出的。這樣的引入不僅回憶舊知識(shí)，同時(shí)容易接受和掌握新知識(shí)。 3. 在學(xué)生原有的基礎(chǔ)上引入新概念 概念的定義當(dāng)中，有一種定義方式叫屬加種差定義。種概念的內(nèi)涵在屬概念的定義當(dāng)中已被揭露出來(lái)。所以只要抓住種概念的本質(zhì)特征(即種差)進(jìn)行講授便可以建立起新概念，比如在引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)四邊形后，只要把平行四邊形的條件特殊后便可引入菱形、矩形、正方形。需要注意的是盡管同一數(shù)學(xué)概念可以有多種不同的定義，但在同一數(shù)學(xué)體系中，一般只能采用一個(gè)定義。事物方面的本質(zhì)屬性，可以由所

5、給的定義推出，作為性質(zhì)定理處理。這樣分析后，讓學(xué)生在大腦中形成這些概念間的聯(lián)系與區(qū)別，對(duì)知識(shí)的掌握很有條理性。 4. 從數(shù)學(xué)的本身內(nèi)在需要引入概念 在學(xué)生的歷程中，以及人類(lèi)史上數(shù)學(xué)的發(fā)展，概念都是在不斷的需求中引進(jìn)的。比如人類(lèi)起初沒(méi)有數(shù)的概念，便用結(jié)繩的辦法記數(shù)，當(dāng)有了自然數(shù)的概念后，記數(shù)問(wèn)題解決了，可是在減法中自然數(shù)不能滿(mǎn)足，便引入負(fù)數(shù)。當(dāng)作除法時(shí)，整數(shù)不夠用了，便引入了分?jǐn)?shù)，使數(shù)擴(kuò)展為有理數(shù)。但進(jìn)一步學(xué)習(xí)，計(jì)算邊長(zhǎng)為1的正方形的對(duì)角線(xiàn)時(shí)就不是有理數(shù)了，又引入了無(wú)理數(shù)。通過(guò)這樣的講述，讓學(xué)生切身的體會(huì)到了，數(shù)學(xué)確實(shí)來(lái)源于生活，又服務(wù)于生活。這樣的一步步需求一步步滿(mǎn)足，不斷地激發(fā)學(xué)生的求知欲。

6、 二. 概念的形成 概念是反映客觀事物本質(zhì)屬性的思維形式。是人們?cè)陂L(zhǎng)期的生產(chǎn)實(shí)踐中，抓住事物的本質(zhì)屬性而總結(jié)出來(lái)的。在給學(xué)生講課中，在引入階段教師必須對(duì)概念的形成過(guò)程，對(duì)概念的本質(zhì)屬性剖析徹底，然后用定義將其揭示出來(lái)，這樣學(xué)生才能知其然，更能知其所以然。 1. 注重概念的形成過(guò)程 注重概念的形成過(guò)程，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。在教學(xué)過(guò)程中忽視概念的形成過(guò)程，把形成概念的生動(dòng)過(guò)程變?yōu)楹?jiǎn)單的“條文加例題”，對(duì)概念的理解是極為不利的。注重概念的形成過(guò)程可以完整的、本質(zhì)的、內(nèi)在的揭示概念的本質(zhì)屬性，使學(xué)生對(duì)理解概念具備思想基礎(chǔ)，同時(shí)能培養(yǎng)學(xué)生從具體到抽象的思維方法。 例如：我在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，講授單項(xiàng)式的概

7、念的建立，展示知識(shí)的形成過(guò)程如下: (1) 讓學(xué)生列代數(shù)式: 表示正方形的邊長(zhǎng)，則正方形的周長(zhǎng)是_； 表示長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬，則長(zhǎng)方形的面積是_； 表示正方體的棱長(zhǎng)，則正方體的體積是_； 表示一個(gè)數(shù)，則它的相反數(shù)是_； 某行政單位原有工作人員 人，現(xiàn)精簡(jiǎn)機(jī)構(gòu)，減少25%的工作人員，則精簡(jiǎn)_人； 某商場(chǎng)國(guó)慶七折優(yōu)惠銷(xiāo)售，則定價(jià) 元的商品售價(jià)_元。 (2)讓學(xué)生說(shuō)出所列代數(shù)式的意義； (3)讓學(xué)生觀察所列代數(shù)式包含哪些運(yùn)算，有何運(yùn)算特征。揭示各例的共同特征是含有“乘法”運(yùn)算,表示“積”； (4)引導(dǎo)學(xué)生抽象概括單項(xiàng)式的概念。講解“單獨(dú)一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是單項(xiàng)式”的補(bǔ)充規(guī)定，強(qiáng)調(diào)學(xué)生引起注意。 這樣的講

8、授師生互動(dòng)性強(qiáng)，充分調(diào)動(dòng)了學(xué)生的積極性和主動(dòng)性，由淺入深的展示了單項(xiàng)式概念的整個(gè)形成過(guò)程，既不枯燥乏味，又學(xué)了新東西，很符合新課標(biāo)的要求，體現(xiàn)了素質(zhì)教育的新理念。 2. 抓住概念的本質(zhì)特征 數(shù)學(xué)中的概念大多數(shù)是通過(guò)描述給出它的確切含義。對(duì)于這類(lèi)概念要抓住它的本質(zhì)屬性，通過(guò)歸納排除定義的非本質(zhì)屬性。對(duì)概念的深化認(rèn)識(shí)必須從概念的內(nèi)涵和外延上作深入的分析。剖析概念的內(nèi)涵就是抓住概念的本質(zhì)特征。 以三角函數(shù)為例，談一下我在教學(xué)中的認(rèn)識(shí)。主要抓住正弦函數(shù)進(jìn)行剖析。正弦函數(shù)的概念涉及到比的意義、角的大小、點(diǎn)的坐標(biāo)、距離公式、相似三角形、函數(shù)概念等知識(shí)。正弦函數(shù)的值本質(zhì)上是一個(gè)“比值”。 (1)正弦函數(shù)，實(shí)

9、質(zhì)上就是一個(gè)“比”，是一個(gè)數(shù)值； (2)這個(gè)比是在 的終邊上任取一點(diǎn) ，那么這個(gè)“比”就是: ， 其中 ； (3) 這個(gè)“比”的比值隨 的確定而確定。這里提出這樣的問(wèn)題讓學(xué)生思考: “既然點(diǎn) 是角 終邊上任取的一點(diǎn)，為什么說(shuō)這個(gè)比值是確定的?”因而需運(yùn)用相似三角形原理，闡明點(diǎn) 不論選在終邊上的什么地方，比值都是相等的； (4) 由于 的絕對(duì)值小于或等于 ，所以這個(gè)比值不超過(guò)1。 經(jīng)過(guò)對(duì)正弦函數(shù)概念的本質(zhì)屬性分析之后，應(yīng)指出: 的終邊上任一點(diǎn) 一旦確定，就涉及到 這三個(gè)量，任取其中的兩個(gè)就可以確定一個(gè)比值，這樣的比值只有六個(gè)。因此基本三角函數(shù)只有六個(gè)，這便是三角函數(shù)的外延。初中階段只學(xué)習(xí)四個(gè)。

10、在做上述分析時(shí)，還要緊扣函數(shù)這一基本概念，從中找出自變量、函數(shù)以及它們的對(duì)應(yīng)法則。這里自變量是 ，函數(shù)是“比”，這個(gè)“比”之所以叫做 的函數(shù)，關(guān)鍵在于對(duì)于 的每一個(gè)確定的值，都有確定的比值與之相對(duì)應(yīng)。有了這樣的分析，學(xué)生對(duì)正弦函數(shù)的理解就比較深刻了。 3. 抓住概念間的聯(lián)系與區(qū)別 數(shù)學(xué)概念不是孤立的，存在著橫關(guān)系和縱關(guān)系。橫關(guān)系表現(xiàn)為并列關(guān)系，應(yīng)利用對(duì)原有概念的理解，區(qū)分易混淆的概念；縱關(guān)系表現(xiàn)為從屬關(guān)系，啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行系統(tǒng)歸納，能讓學(xué)生明確概念的聯(lián)系與區(qū)別。 例如：點(diǎn)到直線(xiàn)的距離概念，應(yīng)與兩點(diǎn)間距離概念比較，找出共同點(diǎn)和不同點(diǎn)。共同點(diǎn)：這兩個(gè)距離都指相應(yīng)的兩點(diǎn)間的線(xiàn)段的長(zhǎng)；不同點(diǎn)：相應(yīng)的兩點(diǎn)取

11、法不同。對(duì)于同種概念的比較，通過(guò)分析，抓住其本質(zhì)特征，以求對(duì)概念的透徹了解。 4. 舉正、反例，弄清楚概念的內(nèi)涵與外延 在形成概念的抽象規(guī)定前，主要是為了讓學(xué)生獲得概念的內(nèi)涵，所出現(xiàn)的實(shí)際例子中的一些概念本質(zhì)無(wú)關(guān)的性質(zhì)，會(huì)對(duì)概念的建立起著干擾作用。因此在這階段的教學(xué)中，要想降低學(xué)生的心理干擾，有必要從概念的外延的角度分析概念。讓學(xué)生從較難的實(shí)例中分離出概念的本質(zhì)。 例如：講了因式分解后，要舉例子讓學(xué)生識(shí)別，下列變形是否是因式分解? (1) ； (2) ； (3) ； (4) 再如：講了圓周角概念后，及時(shí)利用圖形舉例，加以剖析，這樣促使學(xué)生直觀地抓住概念的本質(zhì)。例如下列各角是否是圓周角? （1）

12、 （2） （3） （4） 這樣，講授概念后及時(shí)地舉出正、反例或與該知識(shí)容易走入誤區(qū)的有關(guān)例子，有效地讓學(xué)生加深理解，從而正確運(yùn)用概念做題。這也是我在教學(xué)中深有體會(huì)的一點(diǎn)小經(jīng)驗(yàn)。 5. 揭示概念中的每一詞、句的真實(shí)含義 有的概念敘述簡(jiǎn)練，寓意深刻；有的用式子表示，比較抽象。對(duì)于這類(lèi)概念的教學(xué)，只有在具體操作中認(rèn)真理解每一詞、句，深刻揭示其真實(shí)含義，才能讓學(xué)生深刻的把握概念。 如：在學(xué)習(xí)了不等式的解后，有這樣一道題：試寫(xiě)出幾個(gè)不等式 16的解。有的學(xué)生得到了這樣的結(jié)果：1216；1316。而仔細(xì)分析不等式的解的概念是使不等式成立的未知數(shù)的取值范圍，它一般是一個(gè)或幾個(gè)數(shù)值范圍的無(wú)窮多個(gè)數(shù)，反映在數(shù)軸

13、上，則是無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)的集合。而1216；1316是具體的不等式，不夠成它的解。 6. 注重概念的比較 有比較才能鑒別。數(shù)學(xué)中有很多概念是相似的，很容易混淆。對(duì)于容易混淆或難以理解的概念，應(yīng)運(yùn)用分析比較的方法，指出它們的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，有助于學(xué)生抓住概念的本質(zhì)。 有些概念從表面上看好象差不多。例如：乘方與冪，平方和與和的平方，數(shù)與數(shù)字，大于與不小于，正數(shù)與非負(fù)數(shù)，直角與 等學(xué)生常常分辨不清。教學(xué)時(shí)要幫助學(xué)生從概念的內(nèi)涵和外延上區(qū)分，找出它們的異同。如“乘方”與“冪”這兩個(gè)概念，可以比較它們的內(nèi)涵，前者是指求若干個(gè)相同因數(shù)的積的運(yùn)算，后者是指乘方的結(jié)果； 既表示乘方運(yùn)算的式子，讀作 的 次方，也表示乘

14、方運(yùn)算的結(jié)果，讀作 的 次冪。又如“直角”與“ ”這兩個(gè)概念，可以比較它們的外延，前者是指角的名稱(chēng)，后者是指角度或弧度的量數(shù)。再如“都不”與“不都”這兩個(gè)詞語(yǔ)，可以從內(nèi)涵和外延的結(jié)合上進(jìn)行比較。 “都不”是對(duì)所考察對(duì)象的全體的否定，只指一種情形； “不都”是對(duì)“都”的否定，它與“至少一個(gè)”不具有某種屬性是同一個(gè)意思，一般包括多種可能情形。比如，“ 都不為零”就是 ；而“ 不都為零”與“ 至少一個(gè)不為零”是同義詞，它包含三種可能情形： 。 這些概念看似很容易混淆，但經(jīng)過(guò)仔細(xì)分析,我們還是很容易掌握其本質(zhì)的。這些也是教學(xué)要求務(wù)必掌握的。更是考題中的必考知識(shí)點(diǎn)。基于這種情況，教師對(duì)其分析比較的深刻，

15、是很有必要的。這樣才有助于學(xué)生更牢固、更深刻的體會(huì)各個(gè)概念。 7. 分析概念的矛盾運(yùn)動(dòng) 數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵和外延不是一成不變的，它是在社會(huì)實(shí)踐中不斷發(fā)展、不斷充實(shí)、逐步完備的。教學(xué)時(shí)要把概念的確定性和靈活性辨證地統(tǒng)一起來(lái)，恰當(dāng)分析概念的矛盾運(yùn)動(dòng)。 有些概念發(fā)展后，與原概念有不同的涵義。例如，指數(shù)概念的發(fā)展：當(dāng) 為正整數(shù)時(shí)， ；而當(dāng) 時(shí)， ( )； 為負(fù)整數(shù)時(shí)，如 ( 為正整數(shù))，則 ( )； 為分?jǐn)?shù)時(shí)，如 ( 為正整數(shù))，則 ， ( )；對(duì)于這類(lèi)概念，教學(xué)時(shí)一方面要指出概念擴(kuò)充的必要性，更重要的是要指出原來(lái)的概念和擴(kuò)充后的概念之間的質(zhì)的差異。這樣，才能使學(xué)生獲得清晰明確的概念。 三. 概念的鞏固和

16、發(fā)展 由于數(shù)學(xué)概念具有高度的抽象性，這就為牢固掌握它帶來(lái)了一定的難度，再加上數(shù)學(xué)概念較多，不易于記憶，因此 1. 鞏固概念的教學(xué)就顯得很重要 例如，我在教學(xué)中是這樣做的，在給出正弦函數(shù)概念之后，為了讓學(xué)生從本質(zhì)上掌握這一概念讓他們回答下列題目： (1) 在 中， 為直角，如果 ，那么 的對(duì)邊與斜邊的比值是多少？； (2) 如圖, ，求 的值； (3) 如圖，在 中， 為直角， ，則 =_， =_， =_。 2. 在運(yùn)用中進(jìn)一步理解概念 比如，我聽(tīng)過(guò)一節(jié)習(xí)題課，是老師講授完函數(shù)概念后，進(jìn)而學(xué)習(xí)一次函數(shù)、正比例函數(shù)及二次函數(shù)，為了讓學(xué)生對(duì)比記憶掌握就要求學(xué)生做以下習(xí)題： 練習(xí)1 下列各函數(shù)中，哪些是一次函數(shù)，哪些是正比例函數(shù)，哪些是二次函數(shù)? (1) ；(2) ；(3) ； (4) ；(5) ；(6) 練習(xí)2 已知函數(shù) ，當(dāng) 是怎樣的數(shù)時(shí)，它是正比例函數(shù)，一次函數(shù)，二次函數(shù)？ 練習(xí) 3 當(dāng) 是什么值時(shí)，函數(shù) 是關(guān)于 的一次函數(shù)？ 在講授這三類(lèi)函數(shù)的運(yùn)用過(guò)程中，作為教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用這三類(lèi)函數(shù)的概念進(jìn)行分析，讓學(xué)生積極主動(dòng)地辨析，認(rèn)清這三類(lèi)函數(shù)的固有的本質(zhì)特征，促使學(xué)生更深刻地理解并引導(dǎo)學(xué)生自我糾正理解中的錯(cuò)位，使學(xué)生頭腦中初步獲得