高數(shù)積分總結(jié)76309.doc

1、第四章 一元函數(shù)的積分及其應(yīng)用 第一節(jié) 不定積分一、原函數(shù)與不定積分的概念定義1.設(shè)是定義在某區(qū)間的已知函數(shù)，若存在函數(shù)，使得或,則稱為的一個(gè)原函數(shù)定義2.函數(shù)的全體原函數(shù)叫做的不定積分，記為:其中 叫做被積函數(shù) 叫做被積表達(dá)式 叫做積分常數(shù)“”叫做積分號(hào) 二、不定積分的性質(zhì)和基本積分公式性質(zhì)1. 不定積分的導(dǎo)數(shù)等于被積函數(shù)，不定積分的微分等于被積表達(dá)式，即 .性質(zhì)2. 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的不定積分等于該函數(shù)加上一個(gè)任意函數(shù)，即 性質(zhì)3. 非零的常數(shù)因子可以由積分號(hào)內(nèi)提出來(lái)，即 .性質(zhì)4. 兩個(gè)函數(shù)的代數(shù)和的不定積分等于每個(gè)函數(shù)不定積分的代數(shù)和，即 三、換元積分法和分部積分法定理1. 設(shè)可導(dǎo)，并

2、且 則有該方法叫第一換元積分法(integration by substitution)，也稱湊微分法定理2.設(shè)是可微函數(shù)且，若具有原函數(shù)，則該方法叫第二換元積分法 1) v 容易求得 ; 解題技巧: 把被積函數(shù)視為兩個(gè)函數(shù)之積 ,按 “ 反對(duì)冪指三” 的順序, 前者為后者為第二節(jié) 定積分概念一、原函數(shù)與不定積分的概念二、定積分的定義和存在定理三、定積分的幾何意義與定積分的性質(zhì)1定積分的幾何意義2. 定積分的性質(zhì)性質(zhì)1.性質(zhì)2. (是常數(shù)).性質(zhì)3. .性質(zhì)4.推論1. 如果在 上， (ab).推論2. 性質(zhì)5. .性質(zhì)6. 設(shè)M與m分別是函數(shù)上的最大值及最小值，則 ().性質(zhì)7 .(定積分中

3、值定理) 如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則在積分區(qū)間上至少存在一點(diǎn)，使下式成立： ()可積的充分條件:定理1.，則定理2.且只有有限個(gè)間斷點(diǎn) ，則第三節(jié) 微積分基本公式一、微積分基本公式 1. 變上限函數(shù) 定義1. 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則它在任意一個(gè)子區(qū)間上可積，則 ( )是上限變量的函數(shù)，稱此函數(shù)為積分上限函數(shù)，也稱為變上限函數(shù). 2. 微積分基本公式定理2.1.定積分的換元積分法定理3.注：設(shè)在上連續(xù),證明(1)若在為偶函數(shù)，則 =；(2)若在上為奇函數(shù)，則 =0.2.定積分的分部積分法定理4. 第四節(jié) 定積分的應(yīng)用（這點(diǎn)跟高中無(wú)異，于是乎就偷懶了=v=）一、定積分的微元法其實(shí)質(zhì)是找出的微元的微分表達(dá)式.二、定積分在幾何中的應(yīng)用1. 平面圖形的面