第6章_兩自由度系統(tǒng)的振動

1、第六章 兩自由度系統(tǒng)的振動6.1 概述前一章介紹了單自由度系統(tǒng)的振動，它是振動理論的基礎(chǔ)，有廣泛的應(yīng)用價值。但在實際工程問題中，經(jīng)常會遇到一些不能簡化為單自由度系統(tǒng)的振動問題。因此有必要進一步研究多自由度系統(tǒng)的振動理論。兩自由度系統(tǒng)是最簡單的多自由度系統(tǒng)。從單自由度系統(tǒng)到兩自由度系統(tǒng)，振動的性質(zhì)和研究方法有質(zhì)的不同。但從兩自由度系統(tǒng)到多自由度系統(tǒng)的振動，無論從模型的簡化、振動微分方程的建立和求解的一般方法，以及系統(tǒng)響應(yīng)表現(xiàn)出來的振動特性等等，卻沒有什么本質(zhì)上的區(qū)別，而主要是量上的差別。因此研究兩自由度系統(tǒng)是分析和掌握多自由度系統(tǒng)振動特性的基礎(chǔ)。所謂兩自由度系統(tǒng)是指用兩個獨立坐標才能確定系統(tǒng)在振

2、動過程中任何瞬時的幾何位置的振動系統(tǒng)。很多生產(chǎn)實際中的問題都可以簡化為兩自由度系統(tǒng)的振動系統(tǒng)。圖6-1所示的磨床磨頭系統(tǒng)為例來分析，因為砂輪主軸安裝在砂輪架內(nèi)軸承上，可以近似地認為是剛性很好的、具有集中質(zhì)量的砂輪主軸系統(tǒng)支承在彈性很好的軸承上，因此可以把它看成支承在砂輪架內(nèi)的一個彈簧質(zhì)量系統(tǒng)。此外，砂輪架安裝在砂輪進刀拖板上，如果把進刀拖板看成是靜止不動的，而砂輪架與進刀拖板的結(jié)合看成是彈簧，把砂輪架看成是集中的質(zhì)量，則砂輪架系統(tǒng)又近似地簡化為圖示的支承在進刀拖板上的另一個彈簧質(zhì)量系統(tǒng)。這樣，磨頭系統(tǒng)就可以近似地簡化為圖示的支承在進刀拖板上的兩自由度系統(tǒng)。在這一系統(tǒng)的動力學(xué)模型中，m1是砂輪架

3、的質(zhì)量，k1是砂輪架支承在進刀拖板上的靜剛度，m2是砂輪及其主軸系統(tǒng)的質(zhì)量，k2是砂輪主軸支承在砂輪架軸承上的靜剛度。取每個質(zhì)量的靜平衡位置作為坐標原點，取其鉛垂位移x1及x2分別作為各質(zhì)量的獨立坐標。這樣x1及x2就是用以確定磨頭系統(tǒng)運動位置的兩個彼此獨立的參數(shù)，也就是這個振動系統(tǒng)的廣義坐標。圖6-1 兩自由度系統(tǒng)及其動力學(xué)模型在多自由度系統(tǒng)中，阻尼的作用與在單自由度系統(tǒng)中的作用相同。因此，為了使數(shù)學(xué)式簡化，并突出振動特性，故本章在分析兩自由度系統(tǒng)振動的基本規(guī)律時，沒有把阻尼引入系統(tǒng)。6.2 兩自由度系統(tǒng)的自由振動6.2.1系統(tǒng)的運動微分方程以圖6-2的雙彈簧系統(tǒng)為例。設(shè)彈簧的剛度分別為k1

4、、k2，質(zhì)量為m1、m2。質(zhì)量的位移分別用x1、x2來表示，并以靜平衡位置為坐標原點，以向下為正方向。圖6-2 雙彈簧系統(tǒng)在振動過程中的任一瞬間t，m1和m2的位移分別為x1及x2。此時，在質(zhì)量m1上作用有彈性恢復(fù)力k1x1及k2(x2x1)，在質(zhì)量為m2上作用有彈性恢復(fù)力k2(x2x1)。這些力的作用方向如圖所示。應(yīng)用牛頓第二定律或達朗貝爾原理，均可建立該系統(tǒng)的振動微分方程式： (6-1)令，則(6-1)式可改寫成如下形式： (6-2)這是一個二階常系數(shù)線性齊次聯(lián)立微分方程組。在第一個方程中包含項，第二個方程中則包含項，稱為“耦合項”。這表明，質(zhì)量m1除收到彈簧k1的恢復(fù)力的作用外，還收到彈

5、簧k2的恢復(fù)力的作用，而且k2彈簧的變形是m1和m2之間的相對位移。質(zhì)量m2雖然只受到一個彈簧k2恢復(fù)力的作用，但這個恢復(fù)力又受到第一質(zhì)點m1位移的影響。我們把這種位移之間有耦合的情況稱為彈性耦合。有時，在振動微分方程組中還會出現(xiàn)加速度之間有耦合的情況，則稱之為慣性耦合。有關(guān)耦合的概念將在下一章中詳細討論。6.2.2固有頻率和主振型從單自由度振動理論得知，系統(tǒng)的無阻尼自由振動是簡諧振動。我們也希望在兩自由度系統(tǒng)無阻尼自由振動中找到簡諧振動的解。因此可先假設(shè)方程組(6-2)式有簡諧振動解，然后用待定系數(shù)法來尋找有簡諧振動解的條件。設(shè)在振動時，兩個質(zhì)量按相同的頻率和相同的相位角作簡諧振動。故可設(shè)方

6、程租(6-2)式的特解為： (6-3)其中振幅A1與A2、頻率、初相位角都有待于確定。對(6-3)式分別取二階導(dǎo)數(shù)： (6-4)將(6-3)、(6-4)式代入(6-2)，并加以整理后得： (6-5)(6-5)式是A1、A2的線性齊次代數(shù)方程組，它的一個解是A1A20，將其代入(6-3)后，引出了x1x20。這只是系統(tǒng)處于平衡位置的情況，而不說明振動的任何性質(zhì)，所以顯然不是我們所要的振動解。要使A1、A2有非零解，則(6-5)式的系數(shù)行列式必須等于零，即：將上式展開得：即 (6-6)解上列方程，可得到如下的兩個根： (6-7)因為(6-7)式中的根式永為正值，且(a-b)也是正值，故(6-7)式

7、中的根式永遠小于。所以及是兩個正實根。因此，可以從中得到兩個帶正號或者帶負號的頻率及，但在實用中當(dāng)然只考慮正根。由此可見，(6-6)式是決定系統(tǒng)頻率的方程，故稱為頻率方程或特征方程。特征方程的特征值只與參數(shù)a、b、c有關(guān)，而這些參數(shù)又只決定于系統(tǒng)的質(zhì)量m1、m2和剛度k1、k2，即頻率只決定于系統(tǒng)本身的物理性質(zhì)，故稱為系統(tǒng)的固有頻率，也稱之為主頻率。兩自由度系統(tǒng)的固有頻率有兩個，即及，且。我們把稱為系統(tǒng)的第一主頻率，或第一階固有頻率，亦稱基頻。把稱為系統(tǒng)的第二主頻率，或第二階固有頻率。理論證明，n個自由度系統(tǒng)的頻率方程是的n次代數(shù)方程，在無阻尼的情況下，它的n個根必定都是正實根，故主頻率的個數(shù)

8、與系統(tǒng)的自由度數(shù)相等。將所求得的和代入(6-5)式中得： (6-8)式中：，對應(yīng)于的質(zhì)點m1，m2的振幅； ，對應(yīng)于的質(zhì)點m1，m2的振幅；由此可見，對應(yīng)于與，振幅A1與A2之間有兩個確定的比值與，這個比值稱為振幅比。雖然振幅的大小與振動的初始條件有關(guān)，但當(dāng)系統(tǒng)按任一固有頻率振動時，振幅比卻只決定于系統(tǒng)本身的物理性質(zhì)。將(6-8)式與(6-3)式聯(lián)系起來還可以看出，兩個質(zhì)量m1與m2任一瞬間位移的比值x2xl也是確定的，并且等于振幅比A2A1。系統(tǒng)其它各點的位移都可以由xl及x2來決定。這樣，在振動過程中，系統(tǒng)各點位移的相對比值都可以出振幅比確定，也就是振幅比決定了整個系統(tǒng)的振動形態(tài)。因此，我

9、們將振幅比稱為系統(tǒng)的主振型。也可稱為系統(tǒng)的固有振型。其中：第一主振型，即對應(yīng)于第一主頻率的振幅比；第二主振型，即對應(yīng)于第二主頻率的振幅比。當(dāng)系統(tǒng)以某一階固有頻率按其相應(yīng)的主振型作振動時，即稱為系統(tǒng)的主振動。所以，第一主振動為： (6-9)第二主振動為： (6-10)為了進一歲研究主振型的性質(zhì)，可以將(6-7)式改寫成如下形式：因為所以因為上式的等式右邊恒大于零，所以。由(6-8)式可知，0。又因為因為上式的等式右邊恒小于零，所以。由(6-8)式可知，0表示和的符號相同，即第一主振動中兩個質(zhì)點的相位相同。因此，若系統(tǒng)按第一主振型進行振動的話，兩個質(zhì)點就同時向同方向運動，它們同時經(jīng)過平衡位置，又同

10、時達到最大偏離位置，如圖6-3(a)所示，而0表示和的符號相反，即第二主振動的兩個質(zhì)點的相位相反，永遠相差180。因此，若系統(tǒng)按第二主振型進行振動，兩個質(zhì)點就同時向相反方向運動，當(dāng)質(zhì)量m1到達最低位置時，質(zhì)量m2恰好到達最高位置。它們一會相互分離，一會又相向運動，如圖6-3(b)所示。這樣，在聯(lián)系m1和m2之間的彈簧上就會出現(xiàn)這樣一點，它在整個第二主振動的任何瞬間的位置都不改變，這樣的點稱為“節(jié)點”。由于振動系統(tǒng)在節(jié)點處不動，因而振幅受節(jié)點的限制就不易增大。圖6-3 兩自由度振動系統(tǒng)的主振動和主振型振動理論證明，多自由度系統(tǒng)的i階主振型一般有i1個節(jié)點。這就是說，高一階的主振型比前一階主振型多

11、一個節(jié)點。階次越高的主振動，節(jié)點數(shù)越多，故其相應(yīng)的振幅就越難增大。相反，低階的主振動由于節(jié)點數(shù)少，故振動就越容易激起。所以，在多自由度系統(tǒng)中，低頻主振動比高頻主振動危險。6.2.3系統(tǒng)對初始條件的響應(yīng)前面分析了兩自由度系統(tǒng)的主振動，而這些主振動又都是簡諧振動。但兩自由度系統(tǒng)在受到干擾后出現(xiàn)的自由振動究竟是什么形式呢？這要取決于初始條件。從微分方程的理論來說，兩階主振動(6-9)式及(6-10)式只是微分方程組(6-2)式的兩個特解。而(6-2)式的通解則應(yīng)該由這兩組特解相疊加組成。從振動的實踐來看，兩自由度受到任意的初干擾時，一般來說，系統(tǒng)的各階主振動都要激發(fā)。因而出現(xiàn)的自由振動應(yīng)是這些簡諧振

12、動的合成。所以，在一般的初干擾下，系統(tǒng)的響應(yīng)是： (6-11)式中，、四個未知數(shù)要由振動的四個初始條件來決定。設(shè)初始條件為：t0時，。經(jīng)過運算，可以求出： (6-12)將(6-12)式代入(6-11)式，就得到系統(tǒng)在上述初始條件下的響應(yīng)。6.2.4振動特性的討論1.運動規(guī)律從(6-11)式可以看出，兩自由度系統(tǒng)無阻尼自由振動是由兩個簡諧振動合成的。但從(6-7)式來看，這兩個分振動的頻率與的比值卻不一定是有理數(shù)，因此合成振動不一定呈周期性。所以系統(tǒng)的自由振動一般來說是一種非周期的復(fù)雜運動，或是一種似周期振動。在這一振動中，各階主振動所占的比例由初始條件決定。但由于低階振型易被激發(fā)，所以通常情況

13、下總是低階主振動占優(yōu)勢。只有在某種特殊的初始條件下，系統(tǒng)才按一種主振型進行振動。例如，對于圖6-2所示的雙彈簧質(zhì)量系統(tǒng)，若將質(zhì)量m1和m2象第二主振型那樣向相反方向按比例拉開，使位移的比例正好符合的要求，然后無初速地釋放。在這種情況下激發(fā)起來的系統(tǒng)自由振動就是第二主振動。2.頻率和振型兩自由度系統(tǒng)有兩個不同數(shù)值的固有頻率，稱為主頻率。其各自的數(shù)值取決于頻率方程(6-6)式。即各個主頻率只決定于系統(tǒng)本身的物理性質(zhì)，而與初始條件無關(guān)。當(dāng)系統(tǒng)按任一個固有頻率作自由振動時，即稱為主振動。主振動是一種簡諧振動。系統(tǒng)作主振動時，任何瞬間的各點位移之間具有一定的相對比值，即整個系統(tǒng)具有確定的振動形態(tài)，稱為主

14、振型。主振型和固有頻率一樣只決定于系統(tǒng)本身的物理性質(zhì)，而與初始條件無關(guān)。但主振型卻與固有頻率密切相關(guān)，系統(tǒng)有幾個固有頻率就有幾個主振型。多自由度系統(tǒng)具有多個主頻率和相應(yīng)的振型，這是多自由度系統(tǒng)振動的重要特性。3.節(jié)點和節(jié)面在兩自由度系統(tǒng)的高階主振型中存在著節(jié)點，而在第一階主振型中卻不存在節(jié)點。對多自由度系統(tǒng)來說也是如此，而且主振型的階數(shù)越高，則節(jié)點數(shù)也就越多。一般來說，第i階主振型有i1個節(jié)點。對于彈性體(既無窮多自由度系統(tǒng))來說，節(jié)點已經(jīng)不再是一個點，而是聯(lián)成線或面，稱為節(jié)線和節(jié)面。在振動試驗中，觀察振型的節(jié)點數(shù)，常是判斷第幾階主振型的有效方法。4.阻尼若系統(tǒng)存在阻尼，則阻尼對多自由度系統(tǒng)的

15、影響和單自由度系統(tǒng)相似。由于在工程結(jié)構(gòu)中一般阻尼較小，故可略去不計。例6-1 試求如圖6-4所示的振動系統(tǒng)的固有頻率和主振型。已知mlm，m22m，k1k2k，k32k。又若已知初始條件，0。試求系統(tǒng)的響應(yīng)。圖6-4 兩自由度系統(tǒng)解：該系統(tǒng)的運動微分方程為：令，則可解出因為，所以，以橫坐標表示系統(tǒng)各點的靜乎衡位置，縱坐標表示各點振幅比可作出如圖6-5所示的系統(tǒng)主振型圖。圖中(a)為第一階主振型，(b)為第二階主振型?？煽闯?，在第二主振型中在彈簧k2上有一個始終保持不動的點，即為節(jié)點。圖6-5 系統(tǒng)主振型圖根據(jù)給定的初始條件，代入(6-12)式得：，故系統(tǒng)的響應(yīng)為：6.2.5主振型的正交性如前所

16、述，兩自由度系統(tǒng)有二個固有頻率和二個相應(yīng)的主振型?，F(xiàn)在我們來研究這二個主振型之間的關(guān)系。為了便于分析研究我們先來討論以下幾個例子，這些例子和前面討論過的同一方向上的兩自由度系統(tǒng)(即系統(tǒng)的兩個廣義坐標x1和x2在同一方向)的不同之處，是系統(tǒng)的兩個自由度的方向雖在同一平面內(nèi)，但方向卻不同。例6-2 一個質(zhì)量為m的小球，固定在垂直安裝的細長圓截面彈性桿的頂端，桿子下端固定在地面，如圖6-6所示。彈性桿的質(zhì)量略去不計，現(xiàn)分析其振動情況。圖6-6 頂端帶有小球的彈性桿設(shè)O點是平衡位置，小球在水平面xOy上的小范圍內(nèi)運動，其任一瞬時的位置可以用矢量r來確定。小球的坐標則可通過方向余弦求得：式中，i、j分別

17、表示x、y軸上的單位矢量。當(dāng)小球偏離平衡位置O點后，就要受到圓桿的彈性恢復(fù)力F的作用。由于圓桿在任何方向上的剛度k都相相等，故將F力投影到x、y軸上得：因此，可建立系統(tǒng)的運動微分方程式：這是兩個彼此獨立的單自由度系統(tǒng)的運動微分方程式，在x方向和y方向兩個自由度上沒有耦合，而且由于在這兩個方向上k相等，故兩個方向的振動頻率也相等。即：所以兩個方向的自由振動都是簡諧振動，且頻率相等。其合成結(jié)果一般情況下是個橢圓。由此可見，在x、y方向，系統(tǒng)均按其固有頻率作自由振動，故均為主振動。也就是說，在x和y方向，系統(tǒng)均具有確定的振動形態(tài)。所以系統(tǒng)的兩個主振型也分別沿x和y方向，也就是此系統(tǒng)的兩個主振型是互相

18、垂直的。例6-3 若將圖6-6所示系統(tǒng)中的彈性桿的截面改成矩形，試分析其振動情況。由于彈性桿截面為矩形，故桿件在兩個互相垂直的方向上的抗彎剛度就有所不同?，F(xiàn)取桿截面的兩個慣性主軸作為x、y坐標軸，則x軸方向上的剛度為kx，y軸方向上的剛度為ky。因而系統(tǒng)的運動微分方程式即成為：這也是兩個自由度上沒有耦合的情況，但在兩個方向上的頻率不同，它們分別為：；這時，在x、y兩個方向上是不同頻率的簡諧振動，其合成結(jié)果就是不同頻率的李沙如圖。但在x和y方向，系統(tǒng)仍按固有頻率和作自由振動，故仍是主振動，因而主振型仍分別沿x和y方向，所以系統(tǒng)的兩個主振型仍互相垂直。例6-4 在xy平面內(nèi)，一個質(zhì)量為m的小球支承

19、在剛度為k1和k2的兩根彈簧上，兩根彈簧與x軸正方向的夾角分別為和，如圖6-7所示?，F(xiàn)分析這一系統(tǒng)的振動情況。圖6-7 支承在兩個彈簧上的小球假設(shè)質(zhì)點m在振動中的位移和彈簧長度相比很小，因此振動中兩根彈簧的變形可以彼此獨立。設(shè)當(dāng)質(zhì)點m有了x和y方向的位移時，兩根彈簧的變形分別為：；因此而產(chǎn)生的彈簧k1和k2的彈性力F1和F2為：將F1和F2分別投影到x和y軸：由此，可建立系統(tǒng)在x和y軸的運動微分方程式：令；則上式可改寫成：再令則上述方程式可以簡寫成：設(shè)其特解為：將上式連同其二階導(dǎo)數(shù)一起代入系統(tǒng)的運動微分方程組后，可得：欲使、有非零解，則上式的系數(shù)行列式必須為零，即：上式展開后即得系統(tǒng)的頻率方程

20、：由上式即可求得系統(tǒng)的第一和第二固有頻率和，相應(yīng)的第一和第二主振型則是：現(xiàn)在我們來分析第一主振動：顯然，這是同頻率的、相互垂直的兩個簡諧振動，且相位差等于零。根據(jù)第四章的分析可知，這兩個簡諧振動合成的結(jié)果是條直線，而該直線的斜率為：可見，對應(yīng)于第一主振動的第一主振型，是斜率等于相應(yīng)振幅比的一根直線。同理，對應(yīng)于第二主振動的第二主振型，也是斜率等于相應(yīng)振幅比的一根直線，即：表示這兩個主振型的兩根直線之間的關(guān)系可以從下式看出：根據(jù)系統(tǒng)的頻率方程及代數(shù)方程理論得知：將這一關(guān)系式代入前式：上式表明，這兩根直線互相垂直，也就是說該系統(tǒng)的第一主振型和第二主振型互相垂直，主振型這種互相垂直的性質(zhì)，叫做主振型

21、的正交性。這個性質(zhì)具有很重要的意義。從以上幾個例子可以看出，主振型的正交性的幾何意義就是兩個主振型直線互相垂直。對于更多自由度的系統(tǒng)也可證明其多個主振型均具有正交性，但其幾何意義就不這樣明顯。至于主振型的正交性的物理意義，我們將在下一章多自由度系統(tǒng)振動中作詳細介紹。6.3 兩自由度系統(tǒng)的受迫振動6.3.1系統(tǒng)的運動微分方程和單自由度系統(tǒng)一樣，兩自由度系統(tǒng)在受到持續(xù)的激振力作用時就會產(chǎn)生受迫振動，而且在一定條件下，也會產(chǎn)生共振。圖6-8所示為兩自由度無阻尼受迫振動系統(tǒng)的動力學(xué)模型。在質(zhì)量ml上持續(xù)作用著一個簡諧激振力，我們把受有簡諧激振力作用的m1k1質(zhì)量彈簧系統(tǒng)稱為主系統(tǒng)，把不受激振力作用的m

22、2k2質(zhì)量彈簧系統(tǒng)稱為副系統(tǒng)。這一振動系統(tǒng)的運動微分方程式為：圖6-8 兩自由度系統(tǒng)振動 (6-13)令，則(6-13)式可改寫成： (6-14)這是一個二階線性常系數(shù)非齊次微分方程組，其通解由兩部分組成。一是對應(yīng)于齊次方程組的解，即為上一節(jié)討論過的自由振動。當(dāng)系統(tǒng)存在阻尼時，這自由振動經(jīng)過一段時間后就逐漸衰減掉。二是對應(yīng)于上述非齊次方程組的一個特解，它是由激振力引起的受迫振動，即系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)振動。我們只研究穩(wěn)態(tài)振動，故設(shè)上列微分方程組有簡諧振動的特解： (6-15)式中，、是質(zhì)量ml、m2的振幅，在方程中是待定系數(shù)。對(6-15)式分別求一階及二階導(dǎo)數(shù)： (6-16)將(6-15)及(6-16

23、)代入(6-14)式得： (6-17)這是一個二元非齊次聯(lián)立代數(shù)方程，它的解可用行列式原理求出：故 (6-18)(6-18)式確定了、兩個待定常數(shù)。這就是說，我們期待的方程組(6-14)式的簡諧振動特解是可以得到的。6.3.2振動特性的討論1.運動規(guī)律由(6-15)式得知，兩自由度系統(tǒng)無阻尼受迫振動的運動規(guī)律是簡諧振動。2.頻率兩自由度系統(tǒng)受迫振動的頻率與激振力的頻率相同。3.振幅由(6-18)式得知，兩自由度系統(tǒng)受迫振動的振幅決定于激振力力幅、激振力頻率以及系統(tǒng)本身的物理性質(zhì)?，F(xiàn)分別討論如下：(1)激振力幅值的影響因為，所以與、成線性關(guān)系。即越大，振幅、也越大。(2)激振力頻率的影響為了說明

24、對振幅的影響，我們以、為縱坐標；以為橫坐標將(6-18)式作成曲線示于圖6-9中，稱之為振幅頻率響應(yīng)曲線，或稱幅頻特性曲線。它表明了系統(tǒng)位移對頻率的響應(yīng)特性。圖中實線是主系統(tǒng)的曲線，虛線是副系統(tǒng)的曲線。圖6-9 兩自由度系統(tǒng)的幅頻特性曲線當(dāng)0時，。這表明，此時激振力的作用和靜力的作用相當(dāng)。這時彈簧不產(chǎn)生變形，質(zhì)量ml與m2之間的距離保持不變。所以當(dāng)激振力變化緩慢時，其動力影響不大，受迫振動的振幅和靜變形無大的區(qū)別。當(dāng)或時，即激振力頻率等于系統(tǒng)第一或第二階固有頻率時，系統(tǒng)出現(xiàn)共振現(xiàn)象振幅、均急劇增加。因為當(dāng)時，(6-18)式的分母就變?yōu)?。這就是自由振動中的頻率方程的左端，而頻率方程(6-6)式的

25、右端為零，故。因而振幅、此時就趨于無窮大，即出現(xiàn)共振現(xiàn)象。這就是說，在兩自由度系統(tǒng)中，如果激振力的頻率和系統(tǒng)的任何一階固有頻率相近時，系統(tǒng)都將產(chǎn)生共振。也就是說，兩自由度系統(tǒng)有兩個共振區(qū)?，F(xiàn)在我們來分析一下系統(tǒng)共振時的振型。由(6-18)式可得質(zhì)量m2和ml的振幅比為： (6-19)這說明，在一定的激振頻率下，兩個質(zhì)量的振幅比是一個確定值。當(dāng)激振頻率等于第一階固有頻率時，兩個質(zhì)量的振幅比即為： (6-20)當(dāng)時，則 (6-21)由(6-8)式得知，兩自由度系統(tǒng)的第一、第二主振型為：所以 (6-22)這表明，系統(tǒng)以哪一階固有頻率共振，則此時的共振振型就是哪一階主振型。這是多自由度系統(tǒng)受迫振動的一

26、個極為重要的特性。在實踐中，經(jīng)常用共振法測定系統(tǒng)的固有頻率，并根據(jù)測出的振型來判定固有頻率的階次，就是利用了上述這一規(guī)律。當(dāng)時，。故。這就是說，副系統(tǒng)通過彈簧k2傳給主系統(tǒng)的力，正好與作用在主系統(tǒng)上的激振力相平衡。這樣，主系統(tǒng)的受迫振動就被副系統(tǒng)吸收掉了。主系統(tǒng)的質(zhì)量m1就如同不受激振力作用一樣，保持靜止。這種現(xiàn)象可以被利用來作為減小振動的一種措施。當(dāng)時，、0，即激振力的頻率很高時，兩個質(zhì)量m1和m2都幾乎不動。這也和單自由度系統(tǒng)受迫振動的特性相似。也就是說，這時受迫振動現(xiàn)象也進入慣性區(qū)了。4.相位由于系統(tǒng)是無阻尼的情況，所以只要觀察振幅的正負變化就可以說明相位的變化?，F(xiàn)將振幅計算公式(6-1

27、8)式的分母作如下的變換： (6-23)從系統(tǒng)的頻率方程(6-6)式，再應(yīng)用代數(shù)理論，可以得知頻率方程的兩個根、必定滿足下列關(guān)系式： (6-24)將(6-24)式代入(6-23)式得： (6-25)因而(6-18)式可以改寫成： (6-26)從(6-26)式中可以看出：在0階段，、均為正值。故質(zhì)量m1和m2的位移與激振力是同相的，即兩個質(zhì)量的位移也同相。當(dāng)時，運動的相位對于激振力要出現(xiàn)相位突跳的反相。因為只要稍大于，則、同時由正變負，即兩質(zhì)量的位移相對激振力的相位突然相反，但此時兩個質(zhì)量之間仍保持同相。當(dāng)時，0，此后，又重新成為正值，但卻仍保持負值。這就是說，在階段，與激振力同相，與激振力反相

28、。即兩個質(zhì)量之間的相位相反。當(dāng)以后，又改變?yōu)樨撝?，而卻保持正值。這表明，在第二次共振時，兩個質(zhì)量又經(jīng)歷了相位突變的反相現(xiàn)象。圖6-10 兩自由度系統(tǒng)的相頻特性曲線根據(jù)以上分析，可作出如圖6-10所示的相頻特性曲線。6.3.3動力減振器根據(jù)兩自由度系統(tǒng)受迫振動的振動特性的分析得知，只要適當(dāng)?shù)剡x擇系統(tǒng)的參數(shù)就可以使主系統(tǒng)的受迫振動被副系統(tǒng)所吸收，從而使主系統(tǒng)維持不動。動力減振器就是應(yīng)用這一原理來設(shè)計的。動力減振器是用彈性元件(或再加阻尼元件)把一個輔助質(zhì)量聯(lián)系到振動系統(tǒng)上的一種減振裝量，其動力學(xué)模型如圖6-11所示。圖中，ml、kl為原振動系統(tǒng)(主系統(tǒng))的質(zhì)量(主質(zhì)量)和彈簧剛度。m2、k2為動力

29、減振器(附加系統(tǒng))的質(zhì)量(輔助質(zhì)量)和彈黃剛度，c為動力減振器的阻尼。為作用在主系統(tǒng)上的激振力。圖6-11 動力減振器的動力學(xué)模型從圖6-11可以看出，在主系統(tǒng)上增加了附加系統(tǒng)后，即使原來的單自由度系統(tǒng)變?yōu)閮勺杂啥认到y(tǒng)。其運動微分方程式為： (6-27)設(shè)上列方程組的特解為： (6-28)將(6-28)式及其一階、二階導(dǎo)數(shù)代入(6-27)式得： (6-29)解上列聯(lián)立方程，求出主系統(tǒng)的振幅，并化成實數(shù)形式： (6-30)為了簡化計算，引進下列符號：主系統(tǒng)在激振力力幅作用下產(chǎn)生的靜變位；主系統(tǒng)的固有頻率；附加系統(tǒng)(減振器)的固有頻率；激振力頻率與主系統(tǒng)固有頻率之比；減振器固有頻率與主系統(tǒng)固有頻率

30、之比；輔助質(zhì)量與主質(zhì)量之比；減振器的阻尼比。則(6-39)式可改寫成下列無量綱形式： (6-31)根據(jù)減振器有無阻尼元件分類，動力減振器可分成無阻尼和有阻尼兩種，下面分別進行討論。1.無阻尼動力減振器若減振器沒有阻尼元件，則0。故(6-31)式簡化為： (6-32)由此可見，當(dāng)，即時，0。即當(dāng)減振器的固有頻率等于激振頻率時，輔助質(zhì)量m2通過彈性元件k2作用于主質(zhì)量m1上的力，正好和激振力大小相等，方向相反，互相抵消，所以主系統(tǒng)振幅為零，從而達到消振的目的。當(dāng)激振頻率等于主系統(tǒng)固有頻率，即l時，主系統(tǒng)產(chǎn)生共振。為了消除系統(tǒng)共振，應(yīng)使減振器固有頻率等于主系統(tǒng)固有頻率，即令1。若再取質(zhì)量比0.2，則

31、(6-32)式中的四個變量就固定了兩個。這時即可作出主系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)曲線，如圖6-12所示。圖6-12 主系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)曲線從圖中可以看到，主系統(tǒng)共振點的振幅已經(jīng)消失。但又出現(xiàn)了兩個新的共振點及。這兩點的坐標值可以從(6-32)式的分母項等于零時求出：因為1故上式成為：所以 (6-33)由(6-33)式可進一步求出主系統(tǒng)加動力減振器后的兩自由度系統(tǒng)的固有頻率(主頻率)。對于1，質(zhì)量比為的系統(tǒng)，兩個固有頻率(主頻率)為： (6-34)顯然，當(dāng)激振頻率正好等于或時，都會使系統(tǒng)產(chǎn)生新的共振。根據(jù)(6-33)式可作出與的關(guān)系曲線，如圖6-13所示。由圖可以看出，對于一定的值，有兩個對應(yīng)的值和。它們表示

32、了系統(tǒng)的兩個主頻率和的相隔范圍。為了使主系統(tǒng)能安全運轉(zhuǎn)在遠離新共振點的轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)，我們希望這兩個主頻率相距較遠。因此就要求值不能太小，一般要求0.1。但對于穩(wěn)定的定速運轉(zhuǎn)機械，值則還可以取得小些。圖6-13 與的關(guān)系曲線由以上分析可見，使用無阻尼動力減振器時要特別慎重，應(yīng)用不當(dāng)會帶來新的禍害。所以，這種減振器主要用于激振頻率變化不大的情況。圖6-14 機械裝置例6-5 圖6-14a)所示裝置中電機重Wl8000N，系統(tǒng)的固有頻率628rad/s。作用于該系統(tǒng)的激振頻率628rad/s，因此產(chǎn)生水平方向的共振。試設(shè)計一個如圖6-14b)所示的無阻尼動力減振器，要求新共振點的頻率比0.95，1.0

33、5。解：(1)確定減振器的重量。選質(zhì)量比=則故：0.93181.05因此能滿足減振范圍的要求。故減振器輔助質(zhì)量的重量為：(2)計算彈性元件的剛度和尺寸。為了消除共振，應(yīng)選減振器的固有頻率628rad/s。因此，減振器彈性元件的剛度為：而懸臂梁彈性元件的剛度為，若選l15cm，則彈性桿直徑為：實際結(jié)構(gòu)中，通常把所選長度l增大30左右，以便使減振器的固有頻率可調(diào)。2.有阻尼動力減振器當(dāng)減振器有阻尼元件時，則根據(jù)(6-31)式，以為參變量，仍令1，所作出的主系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)曲線如圖6-15所示。圖6-15 主系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)曲線從圖上可以看出：1)無論阻尼的為何值，幅頻響應(yīng)曲線均經(jīng)過P、Q兩點，也就是說

34、，當(dāng)頻率比位于P點和Q點相應(yīng)的頻率比和值時，主系統(tǒng)的受迫振動的振幅與阻尼比的大小無關(guān)。這一物理現(xiàn)象是設(shè)計有阻尼動力減振器的重要依據(jù)。2)若令0時的值與時的值相等，就可求得P點和Q點的橫坐標值和。當(dāng)時，從(6-31)式得： (6-35)令(6-32)式與(6-35)式相等得：上式等號右邊若取正號，則解出，這對減振沒有意義。故取負號，則上式可展開得： (6-36)解上列代數(shù)方程得： (6-37)將求得的和值代入(6-32)式或(6-35)式，即可得P、Q兩點的縱坐標值： (6-38)這里需要說明一點，即Q點的縱坐標值之所以為負值，是因為P、Q兩點在共振點(1)的兩側(cè)，兩者的相位是相反的，所以這兩點的振幅的符號也相反。因此在圖6-15中，在1右邊的曲線，實際上應(yīng)該畫在橫坐標軸的下方，但為了直觀起見，我們一般把它畫在橫坐標軸的上方。3)既然無論值是多少，所有的幅頻響應(yīng)曲線都要經(jīng)過P、Q兩點。因此，的最高點都不會低于P、Q兩點的縱坐標。為了使減振器獲得較好的減振效果，就應(yīng)該設(shè)法降低P、Q兩點，并使P、Q兩點的縱坐標相等，而且成為曲線上的最高