2014年常州高三數(shù)學(xué)期末統(tǒng)考試題(word版含答案、排版非常規(guī)整)

1、常州市教育學(xué)會學(xué)生學(xué)業(yè)水平監(jiān)測高三數(shù)學(xué)試題注 意 事 項2014 年 1 月考生在答 前 真 本注意事 及各 答 要求1.本 卷共4 ，包含填空 （第 1 第 14 ）、解答 （第 15 第20 ）本卷 分 160 分，考 120 分 考 束后， 將本卷和答 卡一并交回2.答 前， 您 必將自己的姓名、 準考 號用 0.5 毫米黑色墨水的 字筆填寫在 卷及答 卡的 定位置3. 在答 卡上按照 序在 的答 區(qū)域內(nèi)作答，在其他位置作答一律無效。作答必 用 0.5 毫米黑色墨水的 字筆。 注意字體工整，筆跡清楚4. 如需作 ， 用 2B 筆 、寫清楚， 條、符號等 加黑、加粗5. 保持答 卡卡面清

2、，不要折疊、破 一律不準使用膠 、修正液、可擦洗的 珠筆參考公式： 本數(shù)據(jù) x1 ， x2 ， ， xn 的方差 s2 1 n( xix)2 ，其中 x = 1nxi n i 1ni1一、填空 ： 本大 共 14 小 ，每小 5 分，共 70 分 把答案填寫在答 卡相 位置上 1 集合 Ax x21，xR ， Bx 0 x 2 ， AB =2 若 1 mi1 ni （ m， nR ，i 虛數(shù) 位）， mn 的 i3 已知雙曲 x2y21(a 0) 的一條 近 方程 2xy 0， a 的 a244 某學(xué)校 修羽毛球 程的學(xué)生中，高一，高二年 分 有80 名， 50 名 用分 抽 的方法在 130

3、 名學(xué)生中抽取一個 本，已知在高一年 學(xué)生中抽取了24名， 在高二年 學(xué)生中 抽取的人數(shù) 5 某市 5 天 得空氣中PM2.5（直徑小于或等于2.5 微米的 粒物 ）的數(shù)據(jù)（ 位：3）分 115，125， 132， 128， 125， 數(shù)據(jù)的方差 mg / m6 函數(shù) y2sin 2 x3cos2 x4 的最小正周期 7 已知 5 瓶 料中有且 有2 瓶是果汁 料從 5 瓶 料中隨機取2 瓶， 所取 2瓶中至少有一瓶是果汁 料的概率 1x，y 38 已知實數(shù) x， y 滿足約束條件y 3，則 z5 x2y2 的最大值為x ，39 若曲線 C1： y3x4ax36 x2 與曲線 C2： yex

4、在 x1 處的切線互相垂直，則實數(shù) a的值為10給出下列命題：（ 1）若兩個平面平行，那么其中一個平面內(nèi)的直線一定平行于另一個平面；（ 2）若兩個平面平行，那么垂直于其中一個平面的直線一定垂直于另一個平面；（ 3）若兩個平面垂直，那么垂直于其中一個平面的直線一定平行于另一個平面；（ 4）若兩個平面垂直，那么其中一個平面內(nèi)的直線一定垂直于另一個平面則其中所有真命題的序號為qp , pn11a43 tan3 3qn11已知66，等比數(shù)列a中，9，若數(shù)列a的前 2014項的和為0，則 q 的值為1x12已知函數(shù) f( x),x，2)f ( k) ，則實數(shù) k 的取值范圍為20 若 f ( f ( 2

5、，( x1) ,x02213在 ABC 中，角 A，B，C 的對邊分別為a，b， c，若 tan A7 tan B ， ab3 ，則cc14在平面直角坐標系xOy 中，已知圓 O： x2y216 ，點 P(1,2) ，M， N 為圓 O 上不同的兩點，且滿足PMPN0 若 PQ PMPN ，則 PQ 的最小值為二、解答題：本大題共6 小題，共計90 分請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟15（本小題滿分14 分）在 ABC 中，角 A，B，C 的對邊分別為a，b，c設(shè)向量 m( a,c) ，n(cos C,cos A) （ 1）若 m n ， c3a ，求角 A；

6、（ 2）若 mn 3b sin B ， cos A4 ，求 cosC 的值5216（本小題滿分14 分）A1如圖，在直三棱柱A1 B1 C1AABC 中， ABBC， E，F(xiàn) 分別是 A1B ， AC1 的中點E（ 1）求證： EF 平面 ABC ；F（ 2）求證：平面 AEF 平面 AA1 B1 B ；B1B（ 3 ）若 A1 A2 AB2 BC2 a，求三棱錐F ABCC1C（第 16 題）的體積17（本小題滿分14 分）設(shè)等差數(shù)列 an 的公差為 d，前 n 項和為 Sn ，已知 S3a5 ， S5 25 （ 1）求數(shù)列 an 的通項公式；（ 2）若 p ，q 為互不相等的正整數(shù)，且等差

7、數(shù)列 bn 滿足 bapp ，baq ，求數(shù)列 bn q的前 n 項和 Tn 18（本小題滿分16 分）y在平面直角坐標系xOy 中，橢圓l22BE:x2y2 1(ab0) 的 右 準 線PQabMl為直線，動直 線Oxykxm (k0， m0)交橢圓于AA，B 兩點，線段 AB 的中點為 M，射線 OM 分別交橢圓及直線 l 于 P，Q 兩點，如圖若A， B 兩點分別（第 18 題）是橢圓 E 的右頂點，上頂點時，點Q 的縱坐標為1 （其中 e 為橢圓的離心率） ，且 OQ5OM e（ 1）求橢圓 E 的標準方程；（ 2）如果 OP 是 OM ， OQ 的等比中項，那么m 是否為常數(shù)？若是，

8、求出該常數(shù)；若k不是，請說明理由319（本小題滿分 16 分）幾名大學(xué)畢業(yè)生合作開設(shè)3D 打印店，生產(chǎn)并銷售某種3D 產(chǎn)品已知該店每月生產(chǎn)的產(chǎn)品當(dāng)月都能銷售完，每件產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為34 元，該店的月總成本由兩部分組成：第一部分是月銷售產(chǎn)品的生產(chǎn)成本，第二部分是其它固定支出20000 元假設(shè)該產(chǎn)品的月銷售量t (x) （件）與銷售價格x （元 /件）（ xN ）之間滿足如下關(guān)系：當(dāng) 34x60 時 ，2t ( x)a( x 5 )； 當(dāng) 6 0 x 7 時0，1 0 0 5 0t ( x)1 0x07 6M （元），月利潤=月銷售總額月總成本設(shè)該店月利潤為（ 1）求 M 關(guān)于銷售價格 x 的函數(shù)

9、關(guān)系式；（ 2）求該打印店月利潤 M 的最大值及此時產(chǎn)品的銷售價格20（本小題滿分 16 分）已知函數(shù) f ( x) ln x xa， a R x（ 1）當(dāng) a 0時，求函數(shù) f ( x) 的極大值；（ 2）求函數(shù) f ( x) 的單調(diào)區(qū)間；（ 3）當(dāng) a1 時，設(shè)函數(shù) g (x)f (x1)x1a，若實數(shù) b 滿足： ba 且x1gbg(a) ， g (b)2gab，求證： 4 b 5 b12常州市教育學(xué)會學(xué)生學(xué)業(yè)水平監(jiān)測4數(shù)學(xué)（附加題）注 意 事 項2014 年 1 月考生在答題前請認真閱讀本注意事項及各題答題要求1.本試卷只有解答題，供理工方向考生使用本試卷第21 題有 A、 B、 C、

10、 D 4 個小題供選做， 每位考生在 4 個選做題中選答2 題若考生選做了 3 題或 4 題，則按選做題中的前 2 題計分第 22、 23 題為必答題每小題10 分，共 40 分考試時間30 分鐘考試結(jié)束后，請將答題卡交回.2.答題前，請您務(wù)必將自己的姓名、準考證號用0.5 毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置3. 請在答題卡上按照順序在對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答，在其他位置作答一律無效作答必須用 0.5 毫米黑色墨水的簽字筆請注意字體工整，筆跡清楚4. 如需作圖，須用 2B 鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗5. 請保持答題卡卡面清潔，不要折疊、破損一律不準使用膠帶紙、修正液、可

11、擦洗的圓珠筆21【選做題】在 A、B、C、 D 四小題中只能選做兩題，每小題 10 分，共計20 分請在答題卡指定區(qū)域 內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟A選修 4 1：幾何證明選講如圖，等腰梯形ABCD 內(nèi)接于O ， AB BACD 過點 A 作 O 的切線交 CD 的延長線于點EO求證： DAE =BAC.CDE（ 第 21-A 題）B選修 4 2：矩陣與變換已知直線 l : ax y 0 在矩陣 A01 對應(yīng)的變換作用下得到直線l ，若直線 l 過點12（ 1, 1），求實數(shù)a 的值C選修 4 4：坐標系與參數(shù)方程5p)，直線l:rcos(p ) 2 2，求點 P 到直線

12、l 的距離在極坐標系中， 已知點 P(2 3,q46D選修 4 5：不等式選講已知 x 1 ， y 1 ，求證：2222x yxy1 x yx y 【必做題】第 22 題、第 23 題，每題 10 分，共計20 分請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟P22 (本小題滿分 10 分)如圖，三棱錐 P ABC 中，已知平面 PAB平面 ABC，DAC BC，AC=BC=2a，點 O，D 分別是 AB，PB 的中O點， PO AB，連結(jié) CD AB（ 1）若 PA 2a ，求異面直線 PA 與 CD 所成角的余弦值的大??；C（ 2）若二面角 A PB C 的余弦值的大小

13、為5，求（第 22 題）5PA23（本小題滿分10 分）設(shè)集合 A， B 是非空集合M 的兩個不同子集，滿足：A 不是 B 的子集，且B 也不是 A的子集（ 1）若 M= a1, a2, a3 ,a4 ，直接寫出所有不同的有序集合對( A,B) 的個數(shù)；（ 2）若 M= a1, a2, a3 , , an ，求所有不同的有序集合對( A,B) 的個數(shù)常州市教育學(xué)會學(xué)生學(xué)業(yè)水平監(jiān)測6高三數(shù)學(xué)試題參考答案及評分標準一、填空 ：本大 共14 小 ，每小 5 分，共70 分1 0,12 13 14155 31.6（寫成 158 也 ）6 p 7 75108 19 110（ 1）（ 2）11p12 (l

14、og 1 9,4)13 414 3 3523e92二、解答 ：本大 共6 小 ，共 90 分解答 寫出文字 明、 明 程或演算步 15解：（ 1） m n， a cos AccosC 由正弦定理，得 sin A cos Asin C cosC 化 ，得 sin 2 Asin 2C 2 分 A,C(0, p) ， 2 A2C 或 2 A2Cp ，從而 A C （舍）或 ACp Bp 4 分22在 RtABC 中，tan Aa3p 6 分c， A36（ 2） mn3b cosB ， a cosCc cos A3bsin B 由正弦定理，得 sin A cosCsin C cos A 3sin 2

15、B ，從而 sin( AC)3sin 2 B ABCp ， sin( AC)sin B 從而 sin B1 8 分3 cos A40 ， A(0, p) ， A(0, p ) ， sin A3 10 分525 sin Asin B ， ab ，從而 AB ， B 角， cos B2 2 12 分3 cos Ccos(AB)cos A cos Bsin Asin B4223138214 分=35315516 明：（ 1） A1C 直三棱柱A1 B1C1ABC 中， AA1C1C 是矩形，點 F 在 A1C 上，且 A1C 的中點在 A1 BC 中， E， F 分 是 A1 B ， A1C 的中點

16、， EF BC 2 分7又 BC平面 ABC， EF平面 ABC，所以 EF 平面 ABC 4 分（ 2）直三棱柱A1B1C1ABC 中， B1 B 平面 ABC， B1BBC EF BC， AB BC， ABEF ， B1BEF 6 分 B1 BABB ， EF平面 ABB1 A1 8 分 EF平面 AEF ，平面 AEF 平面 ABB1 A1 10 分（ 3） VF1VA ABC11AA112 分ABCS ABC2123= 111 a2a32a14 分23263a13da1，a1 1,17解：（ 1）由已知，得4d解得4 分5a110d，d2.25 an2n1 6 分（ 2） p ， q

17、正整數(shù)，由（ 1）得 a p 2 p1 ， aq2q1 8 分 一步由已知，得 b2 p 1p ， b2 q 1q 10 分 bn 是等差數(shù)列，pq ， bn 的公差 dqp1 12 分2q2 p2由 b2b 1b1(2 p 2)dp ，得 b11 Tnnb1n(n 1) dn23n 14 分2418 解：當(dāng) A， B 兩點分 是 E 的右 點和上 點 ， A(a,0) ， B(0,b) ， M (a , b ) 22a21b1，由 O， M， Q 三點共 ，得eb 1Q( c ,e)a a2，化 ，得 2 分c8a 2 OQ5OM ， c5 ，化 ，得2a5c a2a2b2c2，25,由 b

18、1，解得a4 分c24.2a5c，（ 1） E 的 準方程 x2y21 6 分5（ 2）把 ykxm(k0,m0) ，代入 x2y21 ，得5(5k21)x210mkx5m250 8 分當(dāng) 0 ， 5k2m21 0 ， xM5mk， yMm，5k25k211從而點 M (5mk,m) 10 分5k221 5k1所以直 OM 的方程 y1 x 5ky1，5kx225k 2由得 xP 12 分5k2 1x2y2，51 OP 是 OM ， OQ 的等比中 ，OP 2OMOQ ，2xMxQ25mk14 分從而 xP2(5k21)由 25k 225mk，得 m2k ，從而 m2， 足0 15 分5k 2

19、12(5k 21)k m 常數(shù)216 分k19解：（ 1）當(dāng) x60 ， t (60)1600，代入 t ( x)a(x 5) 210050 ，解得 a2 2 分 M ( x)(2x220x10000)( x34)20000,34 x60, x ,(100x7600)( x34)20000,60 x 70, x .9即 M ( x)2 x348x210680x 360000,34 x60, x ,21100 x 278400,60 x 70, x 4 分100 x .（注：寫到上一步，不扣分）（ 2） g(u)( 2u 220u10000)( u 34)20000 ， 34 u60， u R

20、， g (u )6(u21780) 16u令 g (u)0 ，解得 u182 461 （舍去）， u28 2 461(50,51) 7 分當(dāng) 34u50 ， g (u)0 ， g (u) 增；當(dāng) 51u60 ， g (u )0 ， g(u) 減 10 分 x ， M (50) 44000 ， M (51)44226 ， M (x) 的最大 44226 12 分當(dāng) 60 x 70 ， M ( x)100(x2110 x2584) 20000 減，故此 M ( x) 的最大 M (60)216000 14分 上所述，當(dāng)x 51 ，月利 M (x) 有最大 44226 元 15 分答： 打印店店月利

21、 最大 44226 元，此 品的 售價格 51 元 /件 16 分20解：函數(shù)f (x) 的定 域 (0,) （ 1）當(dāng) a0 ， f (x) ln xx， f( x)1得 x1 1 分1 ，令 f (x) 0x列表：x(0,1)1(1,)f (x)+0f ( x)極大 所以 f ( x) 的極大 f (1)1 3 分1ax2xa(2) f(x)x1x2x2令 f (x)0 ，得x2x a0 ， 1 4a 10（）當(dāng) a 1 ， f (x) 0，所以 f ( x) 減區(qū) (0,) ； 5分4（）當(dāng) a1 ，由 f ( x)0 得 x1114a114a2, x22，4若1a0 ， x1x20 ，

22、4由 f ( x)0 ，得 0x x2 ， xx1 ；由 f ( x)0 ，得 x2x x1 所以，f ( x) 的 減區(qū) (0, 114a )， (114a ,) ， 增區(qū) 22(114a,114a) ；7 分22若 a0 ，由（ 1）知 f (x) 增區(qū) (0,1) ， 減區(qū) (1,) ；若 a0 ， x1 0x2 ，由 f ( x)0 ，得 xx1 ；由 f ( x)0 ，得 0 x x1 f ( x) 的 減區(qū) (114a,) ， 增區(qū) (0,114a) 9 分22 上所述：當(dāng) a 1 ， f ( x) 的 減區(qū) (0,) ；4當(dāng)1a0 ， f (x) 的 減區(qū) 114a，114a)

23、，4(0,2)(2, 增區(qū) (114a,114a) ；22當(dāng) a 0 時 ， f ( x) 單 調(diào) 減 區(qū) 間 為 (114a ,)， 單 調(diào) 增 區(qū) 間 為2(0,114a) 10 分2（ 3） g ( x)ln( x1) （ x1 ）由g (bg(a) 得 ln1ln( a1)b1b1 1ab ， b1a1 (舍 )，或 (a1)(b1)1 1(a1)(b1)2， b212 分( b 1)由 g (b) 2 g( a b ) 得， 211ln(b1)ab11)(b1) ，(*)2 ln(21)2 ln ( a2因 a1b1 ( a1)(b1)=1 ，2所以（ * ）式可化 ln( b1)1

24、( a 1)(b1)，2ln2即11214 分b1（b） 2b11 令 b1t (t1) ， t 1 ( t1) 2 ，整理，得 t44t 32t 210 ，2t從而 (t1)(t33t2t1)0 ，即 t 33t 2t10 記 h(t )t 33t 2t1,t1 h (t )3t 26t1 ， 令 h (t )0得 t123 （ 舍 ），3t 123，列表：3t23)(12 3)(1,13,3h (t )+h(t )所以， h(t ) 在 (1,12323) 增，又因 h(3)0,h(4) 0 ，3) 減，在 (13,所以3t4，從而4b5 16 分12常州市教育學(xué)會學(xué)生學(xué)業(yè)水平監(jiān)測高三數(shù)學(xué)（附加題）參考答案21、【 做 】在A、 B、 C、 D 四小 中只能 做兩