江蘇省蘇州市2018屆中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)第14課時(shí)《二次函數(shù)與四邊形的綜合》

1、第 14 課時(shí) 二次函數(shù)與四邊形的綜合(45 分)1(15 分)2019 鎮(zhèn)江 如圖 521，在平面直角坐標(biāo)系中， 矩形 oabc 的邊 oa， oc 分別在 x 軸、y 軸上，點(diǎn) b 坐標(biāo)為 (4，t)(t 0)二次函數(shù) y x2bx(b 0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) b，頂點(diǎn)為點(diǎn) d.1(1)當(dāng) t 12 時(shí)，頂點(diǎn) d 到 x 軸的距離等于 _4_；(2)點(diǎn) e 是二次函數(shù) y x2bx(b0)的圖象與 x 軸的一個(gè)公共點(diǎn) (點(diǎn) e 與點(diǎn) o 不重合 )求 oeea 的最大值及取得最大值時(shí)的二次函數(shù)表達(dá)式；圖 521(3)矩形 oabc 的對(duì)角線 ob，ac 交于點(diǎn) f，直線 l 平行于 x 軸，交二

2、次函數(shù) y x2 bx(b0)的圖象于點(diǎn) m， n，連結(jié) dm ，dn.當(dāng) dmn foc 時(shí)，求t 的值【解析】 (1)將 b 點(diǎn)坐標(biāo) (4，12)代入 yx2bx 求出二次函數(shù)關(guān)系式，再用配方法或二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式解決問(wèn)題；(2)分別用含 b 的代數(shù)式表示 oe，ae 的長(zhǎng)，再運(yùn)用二次函數(shù)的求最值的方法(配方法 )求出 oeea 的最大值；(3)由dmn foc 可得 mncot，再分別用含 b，t 的代數(shù)式表示出點(diǎn)m，n 的坐標(biāo)，將點(diǎn) m 或點(diǎn) n 的坐標(biāo)代入 y x2bx 就可以求出 t 的值解：(2)二次函數(shù) yx2 bx 與 x 軸交于點(diǎn) e，e( b，0)oe b，ae4b.

3、oeea b(b4) b24b (b2) 2 4.第 1頁(yè)當(dāng) b 2 時(shí)， oeea 有最大值，其最大值為4.此時(shí) b 2，二次函數(shù)表達(dá)式為y x22x；(3) 如答圖，過(guò) d 作 dg mn，垂足為 g，過(guò)點(diǎn) f 作fh co，垂足為 h.第 1 題答圖 dmn foc，mn co t，dg fh 2.b b2d 2， 4 ，b tb2tb2n，即8b22， 4 2n2，4.tb8b2把 x 2 ，y 4 代入 yx2bx，8b2tb 2tb得4 2b 2，解得 t 22， t0，t 2 2.2(15 分)如圖 522，直線 y kxm 分別交 y 軸，x 軸于 a(0，2)， b(4， 0

4、)兩點(diǎn)，拋物線 y x2 bxc 過(guò)a，b 兩點(diǎn)(1)求直線和拋物線的表達(dá)式；圖 522(2)設(shè) n(x，y)是 (1)所得拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)n 作直線 mn 垂直 x 軸交直線 ab 于點(diǎn) m，若點(diǎn) n 在第一象限內(nèi)試問(wèn)：線段mn 的長(zhǎng)度是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此時(shí)x 的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)在(2)的情況下，以a，m，n， d 為頂點(diǎn)作平行四邊形，求第四個(gè)頂點(diǎn)d的坐標(biāo)【解析】(1)由直線 y kxm 分別交 y 軸、 x 軸于 a(0，2)，b(4， 0)兩點(diǎn)，第 2頁(yè)拋物線 y x2bx c 過(guò) a，b 兩點(diǎn)，利用待定系數(shù)法即可求得直線和拋物線的表達(dá)式；1

5、，(2) 假設(shè) x t 時(shí)，線段 mn 的 長(zhǎng)度 是最 大值 ，可 得 m t， t2227，則可得271 t24tn t， t t2mn t t2 t2222 (t 2)2 4，然后由二次函數(shù)的最值問(wèn)題， 求得答案；(3)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可求得答案解： (1)直線 ykxm 分別交 y 軸， x 軸于 a(0，2)， b(4，0)兩點(diǎn)，m 2，m2，解得14km0，k 2.1直線的表達(dá)式為 y 2x2，將 a(0，2)，b(4，0)分別代入拋物線，得7c 2，b 2，解得16 4bc0，c 2.2 7拋物線的表達(dá)式為 y x 2x 2；(2)存在假設(shè) xt 時(shí)，線段 mn 的長(zhǎng)度是最大

6、值，由題意，得127，m t， t2，n t， tt 2227122 ， t2 t2 t2 t4t(t2)mn224當(dāng) t2 時(shí)， mn 有最大值 4；第 3頁(yè)(3)由題意可知， d 的可能位置有如答圖三種情形當(dāng) d 在 y 軸上時(shí)，設(shè) d 的坐標(biāo)為 (0， a)，由 ad mn，得 |a 2| 4，第 2 題答圖解得 a16，a2 2，d(0， 6)或 d(0， 2)；當(dāng) d 不在 y 軸上時(shí)，由圖可知 d 為 d1n 與 d2m 的交點(diǎn)，直線 d1n的表達(dá)式為12 的表達(dá)式為3y 2x6，直線 d my 2x2，由兩方程聯(lián)立解得d(4，4)綜上可得， d 的坐標(biāo)為 (0， 6)，(0， 2

7、)或 (4，4)3(15 分)如圖 5 2 3，拋物線 y x26x 交 x 軸正半軸于點(diǎn) a，頂點(diǎn)為 m，對(duì)稱軸 mb 交 x 軸于點(diǎn) b，過(guò)點(diǎn) c(2，0)作射線 cd 交 mb 于點(diǎn) d(d 在 x 軸上方 )，oecd 交 mb 于點(diǎn) e，ef x 軸交 cd 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) f，作直線mf.(1)求點(diǎn) a， m 的坐標(biāo)；圖 523(2)當(dāng) bd 為何值時(shí)，點(diǎn) f 恰好落在該拋物線上？(3)當(dāng) bd1 時(shí)，求直線mf 的表達(dá)式，并判斷點(diǎn)a 是否落在該直線上；延長(zhǎng) oe 交 fm 于點(diǎn) g，取 cf 中點(diǎn) p，連結(jié) pg， fpg，四邊形 degp，四邊形 ocde 的面積分別記為 s1，

8、 s2 ，s3，則 s1 s2s3 _3 4 8_.第 4頁(yè)解： (1)令 y0，則 x2 6x0，解得 x1 0， x26，a(6，0)，對(duì)稱軸是直線 x3，m(3，9)；(2)oecf，ocef， c(2，0)，efoc2，bc1，點(diǎn) f 的橫坐標(biāo)為 5，點(diǎn) f 落在拋物線 y x26x 上，bdcb1f(5，5)， be5. de oc2，5de2bd，be 3bd，bd3；(3)當(dāng) bd 1 時(shí)， be3，f(5，3)設(shè) mf 的表達(dá)式為 y kxb，將 m(3，9)，f(5，3)代入，93kb，k 3，得解得35kb，b 18， y 3x18.當(dāng) x6 時(shí)，y 36180，第 3 題

9、答圖點(diǎn) a 落在直線 mf 上； bd 1， bc 1， bdc 為等腰直角三角形， obe 為等腰直角三角形，cd2，cfoe32，2 3 2dp 2 ，pf 2 ，第 5頁(yè)根據(jù) mf 及 oe 的表達(dá)式求得點(diǎn) g 的坐標(biāo)為99，如答圖，過(guò)點(diǎn) g 作 gnef2，2332交 ef 于點(diǎn) n，則 engn2，eg 2 ，sfpg ，s 梯形 degp，s 梯形 ocde的高相等，所以三者面積比等于底之比，故 sfpgs 梯形 degps 梯形 ocdepf(dp eg)(dc oe)3 2 2 2 24 23224348.(35 分)4(15 分 )2019 臨沂 如圖 5 2 4，拋物線 y

10、ax2bx3 經(jīng)過(guò)點(diǎn) a(2， 3)，與 x 軸負(fù)半軸交于點(diǎn) b，與 y 軸交于點(diǎn) c，且 oc3ob.(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)點(diǎn) d 在 y 軸上，且 bdo bac，求點(diǎn) d 的坐標(biāo)；(3)點(diǎn) m 在拋物線上，點(diǎn)n 在拋物線的對(duì)稱軸上，是否存在以點(diǎn) a，b，m，n 為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊圖 524形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn) m 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【解析】(1)本題需先根據(jù)已知條件，求出c 點(diǎn)坐標(biāo)，即 oc，進(jìn)而根據(jù) oc3ob 求出點(diǎn) b 的坐標(biāo)，再根據(jù)過(guò) a，b 兩點(diǎn)，即可得出結(jié)果；(2)過(guò)點(diǎn) b 作 be x 軸交 ac 的延長(zhǎng)線于點(diǎn)e，由 bdo bac，bo

11、dbea90得到rtbdo 和 rtbae 相似，得到 od，進(jìn)而得到點(diǎn) d 的坐標(biāo)；(3)根據(jù)題意可知 n 點(diǎn)在對(duì)稱軸 x1 上，而 a，b，m ，n 四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊第 6頁(yè)形符合題意的有三種情況：bman，ambn； bnam，abmn；bman，abmn，然后根據(jù)平行直線k 相同可以得到點(diǎn)m 的坐標(biāo)解：(1)令 x 0，由 yax2bx3，得 y 3，c(0，3)，oc 3，又 oc 3ob，ob1，b(1，0)，把點(diǎn) b( 1， 0)和 a(2， 3)分別代入 y ax2 bx 3，ab30，a1，得解得4a 2b3 3，b 2.該二次函數(shù)的表達(dá)式為 yx2 2x3.(2)如答圖，過(guò)

12、點(diǎn) b 作 bex 軸交 ac 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) e.bdobac，bodbea90，rtbdortbae，odobae：be，od1 3 3，od 1，d 點(diǎn)坐標(biāo)為 (0，1)或(0， 1)第 4 題答圖 第 4 題答圖 (3)如答圖 ，m1(0， 3)， m2(2，5)，m3(4，5)分邵陽(yáng)如圖 所示，頂點(diǎn)為1，92)2019的拋物線 yax bx5 (205 2 524 c 過(guò)點(diǎn) m(2，0)圖 525備用圖(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)點(diǎn) a 是拋物線與 x 軸的交點(diǎn) (不與點(diǎn) m 重合 )，點(diǎn) b 是拋物線與 y 軸的交點(diǎn)，k點(diǎn) c 是直線 yx1 上一點(diǎn) (處于 x 軸下方 )，點(diǎn) d

13、 是反比例函數(shù) yx(k0)圖第 7頁(yè)象上一點(diǎn)若以點(diǎn) a，b，c，d 為頂點(diǎn)的四邊形是菱形， 求 k 的值【解析】(1)已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，可設(shè)頂點(diǎn)式為ya x1 29，再把24點(diǎn) m(2，0)代入，可求 a1，所以拋物線的表達(dá)式可求；k(2)先分別求出 a，b 兩點(diǎn)的坐標(biāo)，及 ab 的長(zhǎng)，再根據(jù)反比例函數(shù)y x(k0)，考慮點(diǎn) c 在 x 軸下方，故點(diǎn) d 只能在第一、三象限確定菱形有兩種情形：菱形以 ab 為邊，如答圖 ，過(guò)點(diǎn) d 作 y 軸的垂線，交 y 軸于點(diǎn) n，因此，bdngao45，bdab，從而求出dn，no，即 d 的坐標(biāo)可求，從而 k 可求 菱形以 ab 為對(duì)角線，如答圖

14、 ，過(guò)點(diǎn) d 作 x 軸的垂線，與x軸交于點(diǎn) f，與過(guò)點(diǎn) b 作 y 軸的垂線交于點(diǎn)e，可證 dbe 是等腰直角三角形，所以設(shè) be dex，則 df x2，db2x，在 rtadf 中， ad bd2x，af x1，利用勾股定理，構(gòu)造關(guān)于x 的方程，求出 x，則 d 點(diǎn)坐標(biāo)(x，x2)可求， k 可求解：(1)依題意可設(shè)拋物線為ya x1 29， 代入可得 ， ，將點(diǎn)24m(2 0)a 1拋物線的表達(dá)式為 x1 29x2 ；y24x2(2)當(dāng) y0 時(shí)， x2 ，解得1 ， 2 ， ，當(dāng) 時(shí)，x2 0x1 x 2a( 1 0)x 0y 2，b(0， 2)在 rtoab 中， oa1， ob2

15、，ab 5.設(shè)直線 y x1 與 y 軸的交點(diǎn)為點(diǎn)g，易求 g(0，1)，rtaog 為等腰直角三角形，ago45.點(diǎn)kc 在 yx1 上且在 x 軸下方，而k0，y x的圖象位于第一、三象限，第 8頁(yè)故點(diǎn) d 只能在第一、三象限，因此符合條件的菱形只能有如下兩種情況： 菱形以ab 為邊且ac 也為邊，如答圖 所示，過(guò)點(diǎn) d 作 dny 軸于點(diǎn)n，在 rt bdn 中， dbn ago 45，10dnbn 2 ，第 5 題答圖 d1010k102 ，2 2， 點(diǎn) d在 y x (k0) 的 圖 象 上 ， k 210522 2 10.菱形以 ab 為對(duì)角線，如答圖 所示，作 ab 的垂直平分線

16、cd 交直線 yk x1 于點(diǎn) c，交 y x的圖象于點(diǎn) d再分別過(guò)點(diǎn) d，b 作 dex 軸于點(diǎn) f，bey 軸， de 與 be 相交于點(diǎn) e.在 rt bde 中，同 可證 agodbo bde 45 ，bede.設(shè)點(diǎn) d 的坐標(biāo)為 (x，x2)be2 de2 bd2 ， bd 2be 2x. 四邊形acbd 是菱形， ad bd2x.在 rt adf 中， ad2af2df2，(2x)21)2(x第 5題答圖 5(x 2)2，解得 x 2，點(diǎn) d 的坐標(biāo)為5 1k2，2 ，點(diǎn) d 在 y x(k0)的圖象上，5k4.55綜上所述， k 的值為 210或4.第 9頁(yè)(20 分)1 26(

17、20 分 )2019 咸寧 如圖 5 26，拋物線 y 2x bxc 與 x 軸交于 a， b 兩點(diǎn)，與 y 軸交于點(diǎn) c，其對(duì)稱軸交拋物線于點(diǎn) d，交 x 軸于點(diǎn) e，已知 oboc6.(1)求拋物線的表達(dá)式及點(diǎn) d 的坐標(biāo)；圖 5 2 6(2)連結(jié) bd， f 為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)fab edb 時(shí)，求點(diǎn) f 的坐標(biāo)；(3)平行于 x 軸的直線交拋物線于m，n 兩點(diǎn)，以線段mn 為對(duì)角線作菱形1mpnq，當(dāng)點(diǎn) p 在 x 軸上，且 pq 2mn 時(shí)，求菱形對(duì)角線 mn 的長(zhǎng)【解析】(1)利用 oboc 6 得到點(diǎn) b(6，0)， c(0， 6)，將其代入拋物線的表達(dá)可求出 b，c 的值，進(jìn)

18、而得到拋物線的表達(dá)式，最后通過(guò)配方得到頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)由于 f 為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)， fab edb ，可以分兩種情況求解：一是點(diǎn)f 在 x 軸上方；二是點(diǎn) f 在 x 軸下方每一種情況都可以作fgx 軸于點(diǎn) g，構(gòu)造 rtafg 與 rtdbe 相似，利用對(duì)應(yīng)邊成比例或三角函數(shù)的定義求點(diǎn)f的坐標(biāo)(3)首先根據(jù) mn 與 x 軸的位置關(guān)系畫(huà)出符合要求的兩種圖形：一是mn 在 x軸上方；二是 mn 在 x 軸下方設(shè)菱形對(duì)角線的交點(diǎn)t 到 x 軸的距離為 n，利1用 pq 2mn，得到 mt 2n，進(jìn)而得到點(diǎn) m 的坐標(biāo)為 (22n，n)，再由點(diǎn) m12在拋物線上，得 n2(22n)2(22n)6，求出 n 的值，最后可以求得 mn2mt4n 的兩個(gè)值解： (1)ob oc 6，b(6， 0)，c(0， 6)第 10 頁(yè)1 62 ， ，26b c 0b212解得拋物線的