向量在幾何中的應(yīng)用空講

1、2.4.1向量在幾何中的應(yīng)用（說案）一、教學(xué)目標(biāo)與重難點(diǎn)分析知識與技能目標(biāo)：運(yùn)用向量的有關(guān)知識（向量加減法與向量數(shù)量積的運(yùn)算法則等）解決平面幾何和解析幾何中直線或線段的平行、垂直、相等、夾角和距離等問題。重點(diǎn)：理解并能靈活運(yùn)用向量加減法與向量數(shù)量積的法則解決幾何問題.難點(diǎn)：選擇適當(dāng)?shù)姆椒?，將幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題加以解決.二、教學(xué)過程分析：本節(jié)課的教學(xué)流程安排了六個環(huán)節(jié)，分別是復(fù)習(xí)準(zhǔn)備、新課引入、探索發(fā)現(xiàn)、例題探究、遷移應(yīng)用、練習(xí)反饋和小結(jié)反思。第一環(huán)節(jié)：復(fù)習(xí)準(zhǔn)備：課前復(fù)習(xí)任務(wù)（由學(xué)生總結(jié)成書面材料）（1）向量的線性運(yùn)算是怎樣的?（2）平面向量共線的含義及條件是什么？平行向量的基本定理解決什么

2、問題？（3）平面向量的基本定理及向量的正交分解？（4）平面向量的數(shù)量積中有哪些主要內(nèi)容？【設(shè)計意圖】：讓學(xué)生回顧學(xué)過的知識有力于本節(jié)課的進(jìn)行第二環(huán)節(jié)：新課引入平移、全等、相似、長度、夾角等幾何性質(zhì)可以由向量線性運(yùn)算及數(shù)量積表示出來： 例如，向量數(shù)量積對應(yīng)著幾何中的長度.如圖： 平行四邊行中，設(shè),，則（平移），（長度）向量，的夾角為 第二環(huán)節(jié)：探索發(fā)現(xiàn)探索性問題：（1）若O為重心,則+= （2）向量運(yùn)算與幾何中的結(jié)論若，則，且所在直線平行或重合相類比，你有什么體會？（3）水渠橫斷面是四邊形,=,且|=|,則這個四邊形為等腰梯形.類比幾何元素之間的關(guān)系,你會想到向量運(yùn)算之間都有什么關(guān)系?屏幕展示問

3、題，學(xué)生獨(dú)立思考3-4分鐘后回答思路，必要時教師提示提示：1.要證明AB=CD，只要證明；2. 要證明ABCD，只要證明；3. 要證明ABCD，只要證明存在實(shí)數(shù)，使得；4. 要證明A、B、C三點(diǎn)共線，只要證明存在實(shí)數(shù)，使得；5. 利用向量的數(shù)量積公式，可以求角第三環(huán)節(jié)：例題探究例題1、如圖，已知平行四邊形ABCD中，E、F在對角線BD上，并且BE=FD，求證AECF是平行四邊形?！編熒印繂栴}1 證明AECF是平行四邊形的方法有什么？學(xué)生思考，回答問題2 選擇合適的方法，問如何轉(zhuǎn)化為向量條件表示？學(xué)生思考，回答，完成證明（選一名學(xué)生板書）多媒體出示題目，學(xué)生獨(dú)立解答，教師巡視，其間，關(guān)注學(xué)生

4、的解答過程，抽取有代表性的解題方法和有代表性的錯誤，做投影展示，提問其他同學(xué)對解法進(jìn)行點(diǎn)評，問題3 由學(xué)生總結(jié)解題方法提示：用向量方法解平面幾何問題的步驟：（1）建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量（2）通過向量運(yùn)算研究幾何運(yùn)算之間的關(guān)系，如距離、夾角等（3）把運(yùn)算結(jié)果翻譯成幾何關(guān)系【小結(jié)】本題的關(guān)鍵選擇適當(dāng)?shù)幕?，把四邊形AECF的一組對邊表示出來例題2、求證平行四邊形對角線互相平分【師生互動】問題4 如何證明？學(xué)生思考，回答老師點(diǎn)評學(xué)生思路：要證明兩條對角線互相平分，可以證明，或。前一種方法可以建立平面直角坐標(biāo)系，將向量用坐標(biāo)表示后即可；后一種

5、方法就是課本提供的方法。師生共同討論交流，由教師給出證明過程【小結(jié)】法一注重向量的坐標(biāo)運(yùn)算和解析法的運(yùn)用：法二選取基底和，設(shè)未知數(shù)，列向量方程，解方程組的待定系數(shù)得結(jié)論，體現(xiàn)了方程思想的運(yùn)用。第四環(huán)節(jié)：遷移應(yīng)用：例題3：已知正方形ABCD，P為對角線AC上任意一點(diǎn)，于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，連接DP，EF。求證DPEF?！編熒印繂栴}5 本題幾何圖形比較特殊，特殊在那里？讓同學(xué)結(jié)合圖形特點(diǎn)考慮采用哪種方法簡便一些。問題6 能否用坐標(biāo)法完成？學(xué)生思考，回答 老師點(diǎn)評學(xué)生思路：要證明兩條直線（段）互相垂直，可以證明=，也可以證明兩向量數(shù)量積為0。前一種方法可以建立平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)用坐標(biāo)表示用斜率公式即可

6、；后一種方法就是課本提供的方法，將向量用坐標(biāo)表示后進(jìn)行向量的數(shù)量積運(yùn)算即可。 師生共同討論交流，由教師指導(dǎo)學(xué)生給出證明過程小結(jié)：結(jié)合圖形特點(diǎn)，選定正交基底，用坐標(biāo)表示向量進(jìn)行運(yùn)算解決幾何問題，體現(xiàn)幾何問題代數(shù)化的特點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想體現(xiàn)的淋漓盡致。向量作為橋梁工具使得運(yùn)算簡練標(biāo)致，又體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的美。有關(guān)長方形、正方形、直角三角形等平行、垂直等問題常用此法。多媒體出示題目，每相鄰5-6人為小組進(jìn)行討論，并給出推導(dǎo)過程，教師巡視指導(dǎo)，觀察尋找優(yōu)秀的解答，由小組代表投影并給大家講解。【小結(jié)】法一注重向量的坐標(biāo)運(yùn)算和解析法的運(yùn)用：法二選取基底和，設(shè)未知數(shù)，列向量方程，解方程組的待定系數(shù)得結(jié)論，體現(xiàn)了方程思想的運(yùn)用。第五環(huán)節(jié)：練習(xí)反饋練習(xí)練習(xí)1 求證：平行四邊形兩條對角線的平方和等于四條邊的平方和練習(xí)2如圖，在平行四邊形中，求證四邊形為矩形學(xué)生嘗試練習(xí)，教師巡視，代表性地選取2-3名同學(xué)的解答，投影，師生共同點(diǎn)評，進(jìn)一步總結(jié)用向量方法解平面幾何問題的步驟。第六環(huán)節(jié)：小結(jié)反思先讓學(xué)生歸納補(bǔ)充，然后教師再補(bǔ)充的方式進(jìn)行：問題：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲？（1）知識方面：