第二節(jié)微積分基本公式

1、第,五,章,第二節(jié),微積分基本公式,一、問題的提出,二、積分上限的函數(shù)及其導數(shù),三、牛頓,四、小結(jié),萊布尼茨公式,上頁,下頁,返回,結(jié)束,一、問題的提出,(,v,(,t,),和,s,(,t,),的關(guān)系,),設(shè)某物體作直線運動,已知速度,v,?,v,(,t,),是時間間隔,T,1,T,2,上,t,的一個連續(xù)函數(shù),且,v,(,t,),?,0,例,求物體在這段時間內(nèi)所經(jīng)過的路程,.,變速直線運動的路程為,另一方面這段路程可表示為,T,2,1,?,T,2,s,(,T,2,),?,s,(,T,1,),T,1,v,(,t,),d,t,?,?,v,(,t,),d,t,?,s,(,T,2,),?,s,(,T,

2、1,).,其中,s,?,(,t,),?,v,(,t,),T,這種積分與原函數(shù)的關(guān)系在一定條件下具有普遍性,.,上頁,下頁,返回,結(jié)束,二、積分上限函數(shù)及其導數(shù),設(shè),f,(,x,),在,a,b,上可積,則對任一點,x,?,a,b,y,y,?,f,(,x,),?,(,x,),O,a,?,(,x,),?,b,x,?,x,a,f,(,x,),d,x,x,a,x,?,(,x,),?,?,f,(,t,),d,t,注,一定要分清函數(shù)的,自變量,x,與,積分變量,t,.,上頁,下頁,返回,結(jié)束,積分上限函數(shù),b,?,(,x,),?,?,x,x,a,f,(,t,)d,t,a,由積分的性質(zhì)：,?,f,(,x,)d

3、,x,?,?,?,f,(,x,)d,x,有,a,b,?,x,b,f,(,t,),d,t,?,?,?,f,(,t,),d,t,b,所以，我們只需討論積分上限函數(shù),.,?,x,b,f,(,t,),d,t,稱為積分下限函數(shù),.,上頁,下頁,返回,結(jié)束,下面討論,積分上限函數(shù),的可導性,:,定理,1 (,原函數(shù)存在定理,),設(shè),f,(,x,),?,C,a,b,則積分上限函數(shù),?,(,x,),?,?,f,(,t,),d,t,a,x,是,a,b,上的可導函數(shù),且對上限的導數(shù)等于,被積,函數(shù)在上限處的值,.,即,d,(,?,(,x,),d,?,?,(,x,),?,?,d,x,d,x,?,x,a,f,(,t,

4、),d,t,?,f,(,x,),(,a,?,x,?,b,),x,?,x,從而,?,(,x,),是,f,(,x,),在,a,b,上的一個原函數(shù),.,證,因為,?,(,x,?,?,x,),?,?,a,f,(,t,)d,t,?,?,?,(,x,?,?,x,),?,?,(,x,),上頁,下頁,返回,結(jié)束,?,?,?,(,x,?,?,x,),?,?,(,x,),y,y,?,f,(,x,),?,(,x,),f,(,?,),a,?,?,x,?,?,x,a,f,(,t,),d,t,?,?,f,(,t,),d,t,a,x,?,?,x,?,?,x,定積分性質(zhì),8,O,x,f,(,t,),d,t,?,f,(,?,)

5、,?,x,x,?,?,x,?,?,x,b,?,x,?,在,x,與,x,?,?,x,之間,.,?,積分中值定理,?,f,(,?,),?,x,因,f,(,x,),在,a,b,上連續(xù),而,?,x,?,0,時,?,?,x,.,?,故,?,?,(,x,),?,lim,?,lim,f,(,?,),?,f,(,x,),?,?,x,?,x,?,0,?,x,上頁,下頁,返回,結(jié)束,說明,:,1),定理,2:,連續(xù)函數(shù),f,(,x,),一定有原函數(shù),函數(shù),?,(,x,),?,?,f,(,t,),d,t,就是,f,(,x,),的一個原函數(shù),.,a,x,2),定理,1,證明了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的,.,同時為,通過

6、原函數(shù)計算定積分開辟了道路,.,上頁,下頁,返回,結(jié)束,3),其他變限積分求導,d,?,(,x,),?,?,f,?,(,x,),?,(,x,),f,(,t,),d,t,?,d,x,a,?,(,x,),?,d,?,a,d,?,(,x,),?,f,(,t,),d,t,?,f,(,t,),d,t,f,(,t,),d,t,?,?,?,?,?,?,(,x,),a,?,(,x,),d,x,?,d,x,?,?,f,?,(,x,),?,?,(,x,),?,f,?,(,x,),?,?,(,x,),上頁,下頁,返回,結(jié)束,例,1,設(shè),f,(,x,),?,?,0,x,t,?,d,t,求,f,(,x,).,2,t,?

7、,t,?,1,x,解,f,?,(,x,),?,2,x,?,x,?,1,1,?,例,2,設(shè),f,(,x,),?,?,d,t,求,f,(,x,).,2,sin,x,1,?,t,2,解,f,(,x,),?,?,?,sin,x,2,?,cos,x,1,f,?,(,x,),?,?,?,?,?,(sin,x,),2,2,1,?,sin,x,1,?,sin,x,1,2,d,t,1,?,t,上頁,下頁,返回,結(jié)束,x,2,例,3,解,設(shè),f,(,x,),?,?,t,x,3,e,d,t,求,f,?,(,x,).,f,(,x,),?,?,0,t,x,2,t,x,3,e,d,t,?,?,0,e,d,t,?,?,?,

8、x,3,e,t,d,t,?,?,x,2,t,0,0,e,d,t,f,?,(,x,),?,d,x,2,e,t,d,t,?,d,?,x,3,d,x,?,0,d,x,0,e,t,d,t,?,e,x,2,?,2,x,?,e,x,?,3,3,x,2,上頁,下頁,返回,結(jié)束,例,4,解,?,cos,x,求,lim,x,?,0,1,e,d,t,x,2,?,t,2,.,0,型,0,0,此為,型未定式,使用洛必達法則.,0,d,cos,x,?,t,2,d,1,?,t,2,因為,?,e,d,t,?,?,?,e,d,t,d,x,1,d,x,cos,x,?,?,e,?,cos,2,x,?,(cos,x,),?,?,s

9、in,x,?,e,?,cos,2,x,?,cos,2,x,e,?,cos,x,所以,lim,x,?,0,1,?,t,2,2,d,t,x,sin,x,?,e,?,lim,x,?,0,2,x,1,?,.,2,e,上頁,下頁,返回,結(jié)束,例,5,確定常數(shù),a,b,c,的值,使,解,原式,=,?,b,?,0,.,c,0 ,故,a,?,1,.,又由,1,.,c,?,得,2,上頁,下頁,返回,結(jié)束,例,6,設(shè),f,(,x,),在,0,1,上連續(xù),且,f,(,x,),?,1,.,證明,2,x,?,?,f,(,t,),d,t,?,1,0,x,在,0,1,上只有一個解,.,證,令,F,(,x,),?,2,x,?

10、,?,f,(,t,),d,t,?,1,0,x,因為,f,(,x,),?,1,所以,F,?,(,x,),?,2,?,f,(,x,),?,0,從而,F,(,x,),在,0,1,上為單調(diào)增加函數(shù),由于,F,(,0,),?,?,1,?,0,F,(,1,),?,1,?,?,f,(,t,),d,t,?,0,1,?,0,1,1,?,f,(,t,),d,t,?,0,所以,F,(,x,),?,0,即原方程在,0,1,上只有一個解,.,上頁,下頁,返回,結(jié)束,例,7,證明,只要證,F,?,(,x,),?,0,x,在,證,x,內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù),.,x,0,0,x,x,f,(,x,),?,f,(,t,),d,t,?,

11、f,(,x,),?,t,f,(,t,),d,t,?,?,0,f,(,t,),d,t,?,?,f,(,x,),f,(,t,),d,t,(,x,?,t,),?,0,2,?,?,0,f,(,t,),d,t,?,x,2,?,(,x,?,?,),f,(,?,),x,f,(,x,),?,?,?,0,f,(,t,),d,t,?,x,2,?,0,(,0,?,?,?,x,),上頁,下頁,返回,結(jié)束,三、牛頓,萊布尼茨公式,（微積分基本公式）,定理,3,函數(shù),則,?,f,(,x,),d,x,?,F,(,b,),?,F,(,a,).,(,牛頓,-,萊布尼茨公式,),a,b,證,根據(jù)定理,1,故,的一個原函數(shù)，,x,

12、a,x,F,(,x,),?,?,f,(,t,)d,t,?,C,因此,得,?,a,f,(,t,)d,t,?,F,(,x,),?,F,(,a,),記作,記作,上頁,下頁,返回,結(jié)束,?,a,b,f,(,x,),dx,?,F,(,b,),?,F,(,a,),?,?,F,(,x,),?,b,a,注,微積分基本公式表明：,(1),一個,連續(xù)函數(shù),在區(qū)間,a,b,上的定積分等于,它在,該區(qū)間,上的,任意一個原函數(shù),在區(qū)間,a,b,上,的增量,.,（,2,）,N-L,公式揭示了積分學兩類基本問題,不定積分與定積分兩者之間的內(nèi)在聯(lián)系。,（,3,）求定積分問題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的問題。,（,4,）為定積分的計算提供

13、了一個普遍、有效而又簡,便的方法，使得定積分的計算大為簡化。,注意,當,a,?,b,時，,?,a,f,(,x,),dx,?,F,(,b,),?,F,(,a,),仍成立,.,上頁,下頁,返回,結(jié)束,b,例,計算,?,0,x,dx,.,2,1,1,3,2,解,由于,x,是,x,的一個原函數(shù),所以按牛頓,?,3,有,萊布尼茨公式,1,1,3,1,1,3,1,3,1,2,x,dx,?,x,0,?,?,1,?,?,0,?,.,?,0,3,3,3,3,例,?,2,0,?,?,cos,x,d,x,?,sin,x,?,sin,2,0,?,2,?,sin,0,?,1,.,1,1,?,1,?,(sin,2,?,?

14、,sin,0,),?,.,例,?,4,cos,2,x,d,x,?,sin,2,x,4,0,0,2,2,4,2,?,?,問題的關(guān)鍵是如何求一個,函數(shù)的原函數(shù),.,上頁,下頁,返回,結(jié)束,例,8,計算,解,?,?,1,3,3,d,x,?,arctan,x,?,arctan,3,?,arctan(,?,1,),2,?,1,1,?,x,7,?,?,(,?,),?,4,12,3,例,9,計算正弦曲線,的面積,.,解,A,?,?,0,sin,x,d,x,?,?,cos,x,?,?,(,?,1,?,1,),?,2,0,y,y,?,sin,x,O,?,x,上頁,下頁,返回,結(jié)束,例,10,求,?,?,1,1,

15、d,x,.,解,例,11,解,?,2,x,x,?,0,時,，,1,x,的一個原函數(shù)是,ln,|,x,|,?,?,1,1,?,2,x,d,x,?,?,ln,|,x,|,?,?,1,?,2,?,ln,1,?,ln,2,?,?,ln,2,.,求,?,?,2,0,(,2,cos,x,?,sin,x,?,1,),d,x,.,原式,?,?,2,sin,x,?,cos,x,?,x,?,?,2,?,3,?,?,0,2,.,上頁,下頁,返回,結(jié)束,當,2,?,2,x,0,?,x,?,1,例,12,設(shè),f,(,x,),?,?,求,?,0,f,(,x,),d,x,.,1,?,x,?,2,?,5,2,1,2,解,?,

16、0,f,(,x,),d,x,?,?,f,(,x,),d,x,?,?,f,(,x,),d,x,0,1,y,在,1,2,上規(guī)定當,x,?,1,時,，,f,(,x,),?,5,原式,?,?,2,x,d,x,?,?,5,d,x,?,6,.,0,1,1,2,o,1,2,x,上頁,下頁,返回,結(jié)束,例,13,汽車以每小時,36,km,的速度行駛,到某處需要,減速停車,設(shè)汽車以等加速度,車到停車走了多少距離,?,解,設(shè)開始剎車時刻為,剎車,問從開始剎,則此時刻汽車速度,36,?,1000,m,(,),s,3600,?,?,10,(,m,s,),剎車后汽車減速行駛,其速度為,當汽車停住時,2,2,即,得,故在

17、這段時間內(nèi)汽車所走的距離為,5,2,2,s,?,?,v,(,t,),d,t,?,?,(,10,?,5,t,),d,t,?,?,10,t,?,t,?,0,?,10,(m),0,0,2,上頁,下頁,返回,結(jié)束,例,14,計算積分,?,sin,x,?,sin,x,d,x,.,3,解,0,?,0,sin,x,?,sin,3,x,d,x,?,?,0,sin,x,cos,x,d,x,?,?,2,0,sin,x,cos,x,d,x,?,?,sin,x,(,?,cos,x,),d,x,2,3,3,?,?,?,2,2,?,3,(sin,x,),2,?,2,?,?,2,?,4,?,?,?,(sin,x,),?,?

18、,.,0,?,3,?,3,2,上頁,下頁,返回,結(jié)束,練,習,題,一、,填空題：,x,2,?,b,?,d,?,1,、,?,?,e,2,dx,?,=_ .,a,?,dx,?,?,?,x,d,f,(,x,),dx,?,_ .,2,、,?,(,a,dx,d,?,2,3,2,t,ln(,t,?,1,),dt,?,_ .,3,、,?,dx,x,2,2,?,x,0,?,x,?,1,4,、,?,f,(,x,),dx,?,_,，,其中,f,(,x,),?,?,.,0,?,2,?,x,1,?,x,?,2,上頁,下頁,返回,結(jié)束,5,、,?,9,x,(,1,?,x,),dx,?,_ .,4,6,、,?,3,dx,

19、1,1,?,x,2,?,_ .,3,?,x,2,7,、,lim,0,cos,t,dt,x,?,0,x,?,_ .,上頁,下頁,返回,結(jié)束,二、,求導數(shù)：,1,、,設(shè)函數(shù),y,?,y,(,x,),由方程,?,e,dt,?,?,cos,tdt,?,0,所確,0,0,y,t,x,定，求,dy,dx,；,?,2,、,設(shè),?,x,?,?,?,t,2,1,u,ln,udu,2,(,t,?,1,),求,d,y,?,?,y,?,?,1,2,dx,2,t,2,u,ln,udu,3,、,d,cos,x,dx,?,sin,x,cos(,?,t,2,),dt,；,x,2,4,、設(shè),g,(,x,),?,?,dx,0,1

20、,?,x,3,，求,g,?,?,(,1,),.,；,上頁,下頁,返回,結(jié)束,三、,計,算下列各定積分：,1,、,?,2,2,1,1,(,x,?,x,2,),dx,; 2,3,、,?,0,3,x,4,?,3,x,2,?,1,?,1,x,2,?,1,dx,; 4,四、,求,下列極限：,x,t,2,2,1,、,lim,(,?,0,e,dt,),x,?,?,?,x,2,t,2,;,2,、,0,e,dt,1,、,?,2,dx,?,1,x,2,;,2,1,?,、,?,2,?,0,sin,x,dx,.,1,x,2,lim,?,0,(,1,?,cos,t,2,),dt,x,?,?,0,5,.,x,2,上頁,下

21、頁,返回,結(jié)束,五、,設(shè),f,(,x,),為連續(xù)函數(shù)，證明,:,?,f,(,t,)(,x,?,t,),dt,?,0,x,?,x,0,x,0,(,?,f,(,u,),du,),dt,.,0,t,六、,求,函數(shù),f,(,x,),?,?,3,t,?,1,?,?,0,1,dt,在區(qū)間,上的最,2,t,?,t,?,1,大值與最小值,.,?,1,?,sin,x,當,0,?,x,?,?,時，,七、,設(shè),f,(,x,),?,?,2,?,?,0,，當,x,?,0,或,x,?,?,時，,x,f,(,t,),dt,在,(,?,?,?,),內(nèi)的表達式,.,求,?,（,x,),?,?,0,上頁,下頁,返回,結(jié)束,八、,

22、設(shè),f,(,x,),在,?,a,b,?,上連續(xù)且,f,(,x,),?,0,x,x,dt,證明：,F,(,x,),?,?,f,(,t,),dt,?,?,a,b,f,(,t,),（,1,）,、,F,(,x,),?,2,;,（,2,）,、方程,F,(,x,),?,0,在,(,a,b,),內(nèi)有且僅有一個根,.,上頁,下頁,返回,結(jié)束,練習題答案,一、,1,、,0,；,2,、,f,(,x,),?,f,(,a,),；,3,、,?,x,ln(,x,?,1,),；,?,1,5,4,、,；,5,、,45,;,6,、,；,7,、,1.,6,6,6,1,cos,x,二、,1,、,；,2,、,?,2,；,sin,x,

23、?,1,2,t,ln,t,2,3,、,(sin,x,?,cos,x,),?,cos(,?,sin,x,),；,4,、,?,2,.,?,?,5,三、,1,、,2,；,2,、,；,3,、,?,1,；,4,、,4.,8,3,4,3,2,上頁,下頁,返回,結(jié)束,1,四、,1,、,0,；,2,、,.,六、,七、,10,5,?,3,3, 0.,?,0,x,?,0,?,(,x,),?,?,?,?,1,(,1,?,cos,x,),0,?,x,?,?,.,?,2,?,?,1,x,?,?,上頁,下頁,返回,結(jié)束,四、小結(jié),1.,微積分基本公式,設(shè),f,(,x,),?,C,a,b,且,F,?,(,x,),?,f,(

24、,x,),則有,?,a,f,(,x,),d,x,?,f,(,?,)(,b,?,a,),?,F,?,(,?,)(,b,?,a,),?,F,(,b,),?,F,(,a,),積分中值定理,微分中值定理,b,牛頓,萊布尼茨公式,2.,變限積分求導公式,上頁,下頁,返回,結(jié)束,補充,:,定理,3,設(shè)函數(shù),f,(,t,),在區(qū)間,c,d,上連續(xù),函數(shù),?,(,x,),區(qū)間,a,b,上可導,且,?,(,a,b,),?,c,d,，,則函數(shù),G,(,x,),?,?,?,(,x,),?,(,x,),f,(,t,),dt,積分變限函數(shù),在區(qū)間,a,b,上可導,且,G,?,(,x,),?,f,?,?,(,x,),?,

25、?,?,(,x,),?,f,?,?,(,x,),?,?,?,(,x,),.,上頁,下頁,返回,結(jié)束,證明,因為函數(shù),f,(,t,),在區(qū)間,c,d,上連續(xù),所以,f,(,t,),在區(qū)間,c,d,上有原函數(shù),F,(,t,),定理,3,由,Newton,-,Leibniz,公式及復合函數(shù)求導法則得,d,?,F,?,?,(,x,),?,?,F,?,?,(,x,),?,?,?,dx,?,F,?,?,?,(,x,),?,?,?,(,x,),?,F,?,?,?,(,x,),?,?,?,(,x,),顯然,當,?,(,x,),?,a,?,(,x,),?,x,時,上式就是,定理,1,的,結(jié)論,.,上頁,下頁,返

26、回,結(jié)束,備用題,1.,設(shè),設(shè),求,f,(,x,).,解,：,定積分為常數(shù),故應用積分法定此常數(shù),.,?,1,0,f,(,x,)d,x,?,a,?,2,0,f,(,x,)d,x,?,b,則,上頁,下頁,返回,結(jié)束,2.,求,解,：,由于,I,n,?,1,?,?,?,0,的遞推公式,(,n,為正整數(shù),) .,2,sin,2,(,n,?,1,),x,sin,x,?,cos(,2,n,?,1,),x,sin,x,2,2,d,x,I,n,?,I,n,?,1,?,?,0,sin,x,n,?,1,?,2,(,?,1,),2,?,2,?,cos(,2,n,?,1,),x,d,x,?,0,2,n,?,1,d,

27、x,因此,所以,其中,I,n,?,I,n,?,1,上頁,下頁,返回,結(jié)束,公主能嫁出去嗎？,很久以前有位國王，住在一座通風良好的城堡里，他有三個,既漂亮又聰明的公主。三位公主漸漸長大，到了該結(jié)婚的年齡，,但是對她們感興趣的年輕人，沒有一個是有出息的，不是飆車族，,就是身無一技之長的流浪漢。于是國王設(shè)計了一個題目，來考察,她們的追求者，主要目的就是要難倒那些飆車族。他向全國臣民,宣布：任何人只要能夠告訴他全國農(nóng)民的正確人數(shù)，就可以得到,1000,塊金幣的獎賞，并得以任娶一位公主為妻；若是答錯了，就,得砍掉腦袋。（注：按照該國的法律規(guī)定，農(nóng)民的人口密度必須,剛好等于每平方英,里,15/8,人）,國王知道他這個問題不簡單，因為該國的領(lǐng)土面積很不好計,算。怎么說呢？它是一個不規(guī)則四邊形，其中三邊是直線，長度,分部是,100,英里、,110,英里和,10,