相似三角形競賽試題

1、第十六講 相似三角形(二)上一講主要講述了相似三角形與比例線段之間的關(guān)系的計算與證明，本講主要講述相似三角形的判定與性質(zhì)的應(yīng)用例1 如圖2-76所示ABC中，AD是BAC的平分線求證：ABAC=BDDC分析 設(shè)法通過添輔助線構(gòu)造相似三角形，這里應(yīng)注意利用角平分線產(chǎn)生等角的條件證 過B引BEAC，且與AD的延長線交于E因為AD平分BAC，所以1=2又因為BEAC，所以2=3從而1=3，AB=BE顯然BDECDA，所以 BEAC=BDDC，所以 ABAC=BDDC說明 這個例題在解決相似三角形有關(guān)問題中，常起重要作用，可當(dāng)作一個定理使用類似的還有一個關(guān)于三角形外角分三角形的邊成比例的命題，這個命題

2、將在練習(xí)中出現(xiàn)，請同學(xué)們自己試證在構(gòu)造相似三角形的方法中，利用平行線的性質(zhì)(如內(nèi)錯角相等、同位角相等)，將等角“轉(zhuǎn)移”到合適的位置，形成相似三角形是一種常用的方法例2 如圖 2-77所示在ABC中，AM是BC邊上的中線，AE平分BAC，BDAE的延長線于D，且交AM延長線于F求證：EFAB分析 利用角平分線分三角形中線段成比例的性質(zhì)，構(gòu)造三角形，設(shè)法證明MEFMAB，從而EFAB證 過B引BGAC交AE的延長線于G，交AM的延長線于H因為AE是BAC的平分線，所以BAE=CAE因為BGAC，所以CAE=G，BAE=G，所以 BA=BG又BDAG，所以ABG是等腰三角形，所以ABF=HBF，從而

3、ABBH=AFFH又M是BC邊的中點，且BHAC，易知ABHC是平行四邊形，從而BH=AC，所以 ABAC=AFFH因為AE是ABC中BAC的平分線，所以ABAC=BEEC，所以 AFFH=BEEC，即(AM+MF)(AM-MF)=(BM+ME)(BM-ME)(這是因為ABHC是平行四邊形，所以AM=MH及BM=MC)由合分比定理，上式變?yōu)锳MMB=FMME在MEF與MAB中，EMF=AMB，所以MEFMAB(兩個三角形兩條邊對應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似)所以ABM=FEM，所以 EFAB例3 如圖2-78所示在ABC中，ABC=124 即可，為此若能設(shè)法利用長度分別為AB，

4、BC，CA及l(fā)=ABAC這4條線段，構(gòu)造一對相似三角形，問題可能解決注意到，原ABC中，已含上述4條線段中的三條，因此，不妨以原三角形ABC為基礎(chǔ)添加輔助線，構(gòu)造一個三角形，使它與ABC相似，期望能解決問題證 延長AB至D，使BD=AC(此時，AD=ABAC)，又延長BC至E，使AE=AC，連結(jié)ED下面證明，ADEABC設(shè)A=，B=2，C=4，則A+B+C=7=180由作圖知，ACB是等腰三角形ACE的外角，所以ACE=180-43，所以 CAE=180-3-3=7-6=從而EAB=2EBA，AEBE又由作圖AE=AC，AE=BD，所以 BE=BD，BDE是等腰三角形，所以DBEDCAB，所以

5、 ABCDAE，所以例4 如圖2-79所示P，Q分別是正方形ABCD的邊AB， BC上的點，且BP=BQ，BHPC于H求證：QHDH.分析 要證QHDH，只要證明BHQ=CHD由于PBC是直角三角形，且BHPC，熟知PBH=PCB，從而HBQ=HCD，因而BHQ與DHC應(yīng)該相似證 在RtPBC中，因為BHPC，所以PBC=PHB=90，從而 PBH=PCB顯然，RtPBCRtBHC，所以由已知，BP=BQ，BC=DC，所以因為ABC=BCD=90，所以HBQ=HCD，所以 HBQHCD，BHQ=DHC，BHQQHC=DHCQHC又因為BHQQHC=90，所以 QHD=QHCDHC=90，即 D

6、HHQ例5 如圖2-80所示P，Q分別是RtABC兩直角邊AB，AC上兩點，M為斜邊BC的中點，且PMQM求證：PB2QC2=PM2QM2分析與證明 若作MDAB于D，MEAC于E，并連接PQ，則PM2QM2=PQ2=AP2AQ2于是求證式等價于PB2+QC2=PA2+QA2， 等價于PB2-PA2=QA2-QC2 因為M是BC中點，且MDAC，MEAB，所以D，E分別是AB，AC的中點，即有AD=BD，AE=CE，等價于(ADPD)2-(AD-PD)2=(AEEQ)2-(AE-EQ)2， 等價于ADPD=AEEQ 因為ADME是矩形，所以AD=ME，AE=MD，故等價于MEPD=MDEQ 為

7、此，只要證明MPDMEQ即可下面我們來證明這一點事實上，這兩個三角形都是直角三角形，因此，只要再證明有一對銳角相等即可由于ADME為矩形，所以DME=90=PMQ(已知) 在的兩邊都減去一個公共角PME，所得差角相等，即PMD=QME 由，所以MPDMEQ由此成立，自逆上，步步均可逆推，從而成立，則原命題獲證例6 如圖2-81所示ABC中，E，D是BC邊上的兩個三等分點，AF=2CF，BF=12厘米求：FM，MN，BN的長解 取AF的中點G，連接DF，EG由平行線等分線段定理的逆定理知DFEGBA，所以CFDCAB，MFDMBA 所以MB=3MF，從而BF=4FM=12，所以FM=3(厘米)又在BDF中，E是BD的中點，且EHDF，所以因為EHAB，所以NEHNAB，從而顯然，H是BF的中點，所以故所求的三條線段長分別為練習(xí)十六1如圖2-82所示在ABC中，AD是BAC的外角CAE的平分線求證：ABAC=BDDC2如圖2-83所示在ABC中，ACB=90，CDAB于D，AE平分CAB，CF平分BCD求證：EFBC3如圖2-84所示在ABC內(nèi)有一點P，滿足APB=BPC=CPA若2B=A+C，求證：PB2PAPC(提示：設(shè)法證明PABPBC)4如圖2-85所示D是等腰直角三角形ABC的直角邊BC的中點，E在斜邊AB上，且AEEB=21求證：CE