第5章氣體動理論

1、第五章思考題及其解答5-1 什么是熱運動？其基本特征是什么？說明微粒做布朗運動的原因。答：系統(tǒng)中物質分子運動的劇烈程度隨系統(tǒng)溫度的升高而加劇，因此，將大量分子的無規(guī)則運動叫做分子的熱運動。分子熱運動的基本特征是分子的永不停息地運動和頻繁地相互碰撞。由于氣體分子的熱運動，即從微觀角度看，氣體分子的無規(guī)則運動和對微粒的頻繁碰撞，是微粒產生布朗運動的原因。5-2 何謂理想氣體？從微觀結構來看，它與實際氣體有何區(qū)別？答： 所謂理想氣體就是指比較稀薄的氣體，即平均間距很大的分子集合。具體地講，理想氣體（1）分子本身線度與分子之間的平均距離相比可以忽略不計，分子看作質點；（2）除碰撞的瞬間外，分子與分子、

2、分子與器壁間無相互作用力；（3）分子之間，分子與器壁之間的碰撞是完全彈性的。 而實際氣體分子之間有相互作用力，在短程斥力的作用下，實際氣體分子不能當著質點來處理，應考慮到其本身體積的大小。實際氣體的狀態(tài)方程和實際氣體的等溫線和理想氣體相比較也有較大的差別。5-3 若給出一個矩形容器，設內部充有同一種氣體，每一個分子的質量為，分子數密度為，由此可以導出理想氣體的壓強公式。若容器是一個球形的，壓強公式的形式仍然是不變的。請證明之。答：在球形容器內，分子運動的軌跡如本圖中帶箭頭實線所示。設分子i的速率為，分子與器壁的碰撞為完全彈性碰撞，分子碰撞器壁只改變分子運動方向，不改變速度的大小，并且，“入射角

3、”等于“反射角”。對分子i來說，在每次和器壁的碰撞中，分子對器壁作用的法向沖量為。該分子每秒鐘內與器壁的碰撞次數為，所以，該分子每秒內作用在器壁上的作用力為qqOR思考題5-3用圖viq對于總數為N的全部分子（分子是全同的，每一個分子的質量均為m。）來說，球形內壁每秒內所受到的總作用力等于由于球形內壁的總面積為，氣體的體積為。所以，按照壓強的定義得證畢。5-4 對汽車輪胎打氣，使之達到所需要的壓強。在冬天與夏天，打入輪胎內的空氣質量是否相同？為什么？答：不相同，在冬天打入輪胎內的空氣質量要大一些。因為夏天氣溫高，空氣分子的平均平動能較大；冬天氣溫低，空氣分子的平均平動能較小。根據理想氣體的壓強

4、公式可知，當壓強相同時，在冬天打入輪胎內的空氣密度（即質量）要大一些。5-5如何理解分子平均平動動能？對于某一個分子，能否根據此式計算它的動能？答：為大量分子的平均平動動能的統(tǒng)計平均值，對于一個給定的分子，它的平動動能可能在0與之間的任何上一個值，故無法直接用計算它的平均平動動能。 5-6 根據理想氣體的溫度公式，當K時，0。由此可推斷，K(即273)時，分子將停止運動。對此推論，你有何看法？請評判之。答：這種看法是錯誤的。因為理想氣體的溫度公式只適用于理想氣體，而在273時，已經不存在理想氣體了，溫度公式也就不成立了，如此的推論自然也就是錯誤的。事實上，即使達到273，分子也還在作微小的振動

5、，運動仍不會停止。 5-7 如盛有氣體的容器相對于某坐標系從靜止開始運動，容器內的分子速度相對于這坐標系也將增大，則氣體的溫度會不會因此升高呢?答：容器內氣體的溫度是大量分子無規(guī)則熱運動的平均效果，是表征容器內氣體平衡狀態(tài)的宏觀參量。若因容器的運動而破壞了容器內氣體的平衡狀態(tài)，則無溫度可言。在容器一般運動的情況下(比如直線運動)，由于氣體分子的頻繁碰撞，總能維持平衡狀態(tài)，所有分子的熱運動疊加了一個整體定向運動的速度，這并未增加或減少分子問的碰撞機會。因此，容器內氣體的溫度不會變化(通過取相對容器靜止的參考系，可證明這一結論)。但當容器突然停止運動時，大量分子定向運動的動能將通過與器壁以及分子問

6、的碰撞而轉換為熱運動的能量，會使容器內氣體的溫度有所升高。5-8 麥克斯韋速率分布是指氣體在平衡態(tài)下的統(tǒng)計分布。一般而言，速率分布函數還可以有其他形式。但是，無論何種形式，它們的意義是相同的。設為速率分布函數，請思考下列各式所代表的意義：（1） ； （2）； （3）； （4）。答：（1）表示速率分布在區(qū)間內的分子數占總分子數的百分比。（2）表示速率分布在區(qū)間內的氣體分子數。（3） 表示速率分布在區(qū)間內的分子數占總分子數的百分比。（4） 表示速率分布在區(qū)間內的氣體分子數。5-9 何謂速度空間？速度空間中的一個點代表什么？速度空間中的一個微分體積元代表什么？ 答：速度空間是以，作為直角坐標系三個坐

7、標軸來描述的空間，是一種假想的空間，利用它可以描述粒子的速度大小和方向。從速度空間的原點向速度空間中的某一點畫出一個矢量，該矢量的大小和方向就是所對應的速度矢量。速度空間中的微分元表示速度矢量的取值范圍在，內的所有速度矢量的整體，而，是該立方體微分元中最靠近原點的那一點的坐標。5-10 空氣中含有氮分子和氧分子。試問哪種分子的平均速率較大？這個結論是否對空氣中的任意一個氮分子及氧分子都適用？答：由于氮分子質量小于氧分子，在溫度相同的情況下，氮分子的平均速率大于氧分子的平均速率。但是對于任意一個分子來說，其速度的大小與方向瞬息萬變，是個隨機變量，無法進行比較。5-11 氣體分子的平均速率、最概然

8、速率和均方根速率的物理意義有什么區(qū)別？最概然速率是否是速率分布中最大速率的值？在數值上，這三個速率哪個最大？那個最?。看穑河善骄俾士梢粤私鈿怏w分子平均的運動快慢，由方均根速率可知分子平均平動動能的大小，而最概然速率則表明速率在此速率附近的分子數占總分子數的比率最大。顯然，最概然速率不是速率分布中最大速率的值。在數值上，此三個速率大小關系是5-12 兩瓶不同種類的理想氣體，它們的溫度和壓強相同，但體積不同。試問：（1）單位體積內的分子數是否相同？（2）單位體積內的氣體質量是否相同？（3）單位體積內的氣體分子總平動動能是否相同？（4）單位體積氣體的內能是否相同？答：（1）根據，T和p相同，則n相

9、同；（2）n相同，但是兩種不同氣體，每個分子質量不同，所以單位體積內氣體質量不同； （3）n相同，根據，T相同，則相同，所以單位體積內氣體分子總平動動能相同； （4）因為每種氣體的自由度未知，所以無法判斷內能是否相同。5-13 若盛有某種理想氣體的容器漏氣，使氣體的壓強和分子數密度各減為原來的一半，氣體的內能和分子平均動能是否改變？為什么？答： 根據理想氣體的溫度公式由于溫度不變，氣體分子平均動能沒有改變。但由于分子數密度減少了，容器中的氣體質量減小，根據理想氣體的內能公式 可知，氣體的內能減少。5-14 1mol的水蒸汽（H2O）分解成同溫度的氧氣和氫氣，內能增加了百分之幾？（提示：將水蒸汽

10、視為理想氣體，不計振動自由度，水蒸汽的自由度為6）答：由水分解成同溫度的氧氣和氫氣的化學方程式為 根據理想氣體的內能公式，分別計算H2O、H2、O2的內能為 根據化學方程式可知水分解后的內能E2為 水分解前的內能為 分解前后內能增量為于是，內能增加的百分比為5-15 在氣體的遷移現象中本質上是那些量在遷移？分子熱運動和分子碰撞在遷移現象中起什么作用？答：在氣體的遷移現象中本質上是氣體的動量、能量或質量從一部分向另一部分的定向遷移。動量、能量或質量的定向遷移是通過分子熱運動和分子碰撞實現的。第五章練習題及其習題解答5-1 每秒有1023個氧分子以500ms-1的速度沿與器壁法線成45角的方向撞在

11、面積為m2的器壁上，問這群分子作用在器壁上的壓強為多大? 解：每個分子對器壁碰撞時，對器壁的作用沖量為 每秒內全部N個分子對器壁的作用沖量，即沖力為根據壓強定義式得 （Pa）5-2 目前，真空設備內部的壓強可達Pa，在此壓強下溫度為27時1m3體積中有多少個氣體分子?解：由 得5-3 一個容器內儲有氧氣，其壓強為Pa，溫度為27，計算:(1)氣體分子數密度；（2）氧氣的密度；（3）分子平均平動動能；（4）分子間的平均距離（設分子均勻等距排列）。 解：由題意知 、（1） 分子數密度可由下式求出：（2） 設氧氣分子的密度為，每個分子的質量為m,則 設分子的摩爾質量為，1mol氣體所含的分子數為（阿

12、伏伽德羅常數），則，將其帶入上式得（3） 分子平均平動動能可由溫度公式求出（4） 由分子數密度可知每一個分子所占據的空間為此空間為正方體，相鄰的兩個分子的間距即為5-4 kg的氫氣裝在m3的容器內，當容器內的壓強為Pa時，氫氣分子的平均平動動能為多大？已知氫氣的摩爾質量。解：由理想氣體狀態(tài)方程解出將其帶入理想氣體的溫度公式可得 5-5 某些恒星的溫度可達到K，這是發(fā)生聚變反應（也稱熱核反應）所需的溫度。在此溫度下的恒星可視為由質子組成。試求（1）質子的平均動能；（2）質子的方均根速率。（提示：大量質子可視為由質點組成的理想氣體，質子的摩爾質量）。）解：（1）將質子視為理想氣體，由理想氣體的溫度

13、公式得質子的平均動能為(J)（2）質子的方均根速率可由下式求出5-6 在容積為1 m3的密閉容器內，有900g水和1.6kg的氧氣。計算溫度為500時容器中的壓強。解：在500時，水變?yōu)樗羝?，容器內的壓強?帶入已知條件可得 5-7 若使氫分子和氧分子的方均根速率等于它們在地球表面上的逃逸速率（ ms-1），各需要多高的溫度？若等于它們在月球表面上的逃逸速率（ ms-1），各需要多高的溫度？解：已知氫氣的摩爾質量為，氧氣的摩爾質量為，由得當時，由上式可解出氫氣分子所需要的溫度為 氧氣分子所需要的溫度為當時，可解出氫氣分子所需要的溫度為 氧氣分子所需要的溫度為5-8 CO2氣體的范德瓦耳斯常量

14、，。0時其摩爾體積為，計算其壓強。如果將其當作理想氣體，壓強又為多少？ 解：（1）由范德瓦耳斯方程解得帶入已知數據得（2）若將氣體當作理想氣體，由可得5-9 質量為g的粒子懸浮在27的液體中，觀測到它的方均根速率為1.40 cms-1 。（1）計算阿伏伽德羅常量；（2）設粒子遵守麥克斯韋速率分布，計算該粒子的平均速率。解:（1）將在液體中的粒子運動看作理想氣體的運動，則由理想氣體的溫度公式可得由此解得（2）設粒子遵守麥克斯韋速率分布，由麥克斯韋速率分布規(guī)律可求出粒子的平均速率為5-10 由麥克斯韋速率分布計算速率倒數的平均值。解: 由麥克斯韋速率分布函數可得5-11 20個質點速率如下：2個具

15、有速率，3個具有速率2，5個具有速率3，4個具有速率4，3個具有速率5， 2個具有速率6，1個具有速率7。試計算：（1）平均速率；（2）方均根速率；（3）最概然速率。答：據平均速率、方均根速率和最概然速率的定義得 20個質點中出現速率為的概率最大，有5個，故。5-12 有N個粒子，其速率分布函數為 （0）voOvf(v)C練習題5-11圖（1） 畫出該粒子的速率分布曲線（2） 由求出常量（3） 求粒子的平均速率解: （1）粒子的速率分布曲線如本題圖所示（2） 由于由分布函數的歸一化條件 ，得則（3） 粒子平均速率為5-13 用流體靜力學原理及理想氣體壓強公式導出等溫條件下單位體積中大氣分子數隨

16、高度的變化為其中，為0處單位體積的分子數，為分子平均摩爾質量。解:由流體靜力學可知，大氣壓強隨高度的增加而減小，并且滿足 其中，p為大氣壓強、Z為高度、為大氣分子的密度、g 為重力加速度。將上式分離變量，可寫為 設分子質量為m、分子數密度為n，則。將其帶入上式，得由理想氣體壓強公式p=nkT，考慮到等溫條件，可得dp=kTdn。將其帶入上式 ，整理后可得 積分上式，并考慮到Z=0時，n=n0，可得 5-14 假定海平面處的大氣壓為Pa，大氣等溫并保持0，那么，珠穆朗瑪峰頂（海拔8882m）處的大氣壓為多少？（已知空氣的摩爾質量2.89 kgmol1） 解：由大氣壓強公式可得：帶入已知數據可得：

17、5-15 求上升到什么高度處，大氣壓強減到地面的75。設空氣的溫度為0，空氣的摩爾質量為2.89 kgmol1。答：利用理想氣體狀態(tài)方程可得等溫條件下高度隨壓強的變化關系可得 km5-16 儲有氧氣的容器以速率100ms-1運動，假設容器突然停止運動，全部定向運動的動能轉變?yōu)闅怏w分子熱運動動能，容器中氧氣的溫度將上升多少? 解:設每一個分子的質量為m，1mol氣體的質量為，總分子數為N，則全部分子的定向運動動能為 按照能量均分原理，每一個分子的熱運動動能為 N個分子的熱運動動能為溫度變化時，熱運動動能的增量為按題意，并考慮到氧氣的自由度為5，可得即5-17 在容積為的容器中，有內能為J的剛性雙原子分子理想氣體。（1）計算氣體的壓強；（2）設分子總數為個，計算氣體的溫度和分子的平均平動動能。 解：（1）由理想氣體狀態(tài)