第9章 湍流基礎(chǔ)

1、第9章 湍流基礎(chǔ)透平葉柵中的流動(dòng)是一種性質(zhì)極為復(fù)雜的流動(dòng)，由于在現(xiàn)代透平中流動(dòng)的雷諾數(shù)很高，同時(shí)透平轉(zhuǎn)子對(duì)流動(dòng)的強(qiáng)烈影響，都使得流道中的實(shí)際流動(dòng)呈現(xiàn)湍流狀態(tài)。 如果仍然采用層流模型進(jìn)行數(shù)值研究，結(jié)果與真實(shí)值間的差距就會(huì)加大。此外，湍流其本身也是一個(gè)很復(fù)雜的問題，一方面它是流體力學(xué)領(lǐng)域中尚未解決的問題之一；另一方面，在求解湍流模型的過程中還會(huì)產(chǎn)生很多數(shù)學(xué)上的問題。 如此一來，葉柵流道內(nèi)的三維湍流的數(shù)值計(jì)算就吸引了眾多的學(xué)者和工程技術(shù)人員。 9.1 湍流的基本概念9.1.1 湍流的概念和基本結(jié)構(gòu)自然界中的流動(dòng)問題和工程實(shí)踐中所處理的各種流體運(yùn)動(dòng)問題更多的是湍流流動(dòng)問題。 如水在江河中的流動(dòng)水通過各

2、種水工建筑物、水處理建筑物的流動(dòng)，管道中水的流動(dòng)，污染物質(zhì)在河流及海洋中的擴(kuò)散，大氣邊界層流動(dòng)等均多為湍流。 湍流是不同于層流的又一種流動(dòng)形態(tài)。 英國(guó)的雷諾于1883年，通過其著名的圓管實(shí)驗(yàn)深入的揭示了這兩種不同的粘性流動(dòng)形態(tài)。 雖然一百多年來人們對(duì)湍流的研究不斷深入，但是由于湍流運(yùn)動(dòng)的極端復(fù)雜性，它的基本機(jī)理至今仍未被人們所掌握，甚至至今仍然沒有一個(gè)精確的定義。 雷諾（Osborne Reynolds,1842年1912年）把湍流定義為一種蜿蜒曲折、起伏不定的流動(dòng)（sinuous motion）。 泰勒（GITaylor 1886年1975年）和馮卡門對(duì)湍流的定義是“湍流是常在流體流過固體表

3、面或者相同流體分層流動(dòng)中出現(xiàn)的一種不規(guī)則的流動(dòng)”。 欣策（JOHinze ）在他的著作“Turbulence”一書中則認(rèn)為湍流的更為確切的定義應(yīng)該是“湍流是流體運(yùn)動(dòng)的一種不規(guī)則的情形。 在湍流中各種流動(dòng)的物理量隨時(shí)間和空間坐標(biāo)而呈現(xiàn)出隨機(jī)的變化，因而具有明確的統(tǒng)計(jì)平均值”。 同時(shí)，在這本書中還把泰勒和卡門對(duì)湍流所下定義中提到的兩種流動(dòng)狀況給予專門名稱：“壁面湍流”表示流過固體壁面的湍流，“自由湍流”表示流動(dòng)中沒有固體壁面限制的湍流流動(dòng)。 湍流的運(yùn)動(dòng)極不規(guī)則，極不穩(wěn)定，每一點(diǎn)的速度隨時(shí)間和空間都是隨機(jī)變化的，因此其結(jié)構(gòu)十分復(fù)雜。 現(xiàn)代湍流理論認(rèn)為：湍流是由各種不同尺度的渦構(gòu)成的，大渦的作用是從平

4、均流動(dòng)中獲得能量，是湍流的生成因素，但這種大渦是不穩(wěn)定的，它不斷地破碎成小渦。 換句話說，從低頻的大渦到高頻的小渦是一個(gè)能量級(jí)聯(lián)過程，這個(gè)過程一直進(jìn)行到湍動(dòng)能的耗散。 如果沒有連續(xù)的外部能量的提供，湍流將逐漸衰退消失，但是湍流應(yīng)力和平均流動(dòng)的速度梯度之間的相互作用通過頻譜提供能量來防止湍流的衰退，這個(gè)過程稱作“湍流的生成過程”，且能量相對(duì)粘性耗散的產(chǎn)生率是一個(gè)測(cè)量流動(dòng)均衡狀態(tài)的量。 湍流流動(dòng)是一種大雷諾數(shù)、非線性、三維非定常流動(dòng)。 它具有隨機(jī)性、擴(kuò)散性、耗散性、有旋性、記憶特性和間歇現(xiàn)象等特點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)極不規(guī)則。 為了方便研究湍流的基本特性，將湍流分為均勻湍流、各向同性湍流和各向異性湍流。 均勻湍

5、流和各向同性湍流是湍流中最簡(jiǎn)單而且在理論上研究最多的。 所謂均勻湍流是指湍流場(chǎng)中任何一點(diǎn)同一方向的速度分量的均方值處處都是相等的，任何兩點(diǎn)的速度相關(guān)只與該兩點(diǎn)的相對(duì)位置有關(guān)；各向同性湍流是指湍流的湍動(dòng)速度分量及其對(duì)空間導(dǎo)數(shù)的平均值不受坐標(biāo)系在空間的方位而改變。 實(shí)際的湍流，一般都是非各向同性的。 這是由于尺度大的湍動(dòng)運(yùn)動(dòng)的速度受到平均運(yùn)動(dòng)流場(chǎng)的影響。 但對(duì)于尺度很小的湍動(dòng)運(yùn)動(dòng)，湍動(dòng)的特性不直接依賴于平均運(yùn)動(dòng)流場(chǎng)的性質(zhì)，具有各向同性的特征。 因此研究這種局部各向同性的湍流具有重要的理論和實(shí)際意義。 9.1.2 湍流的基本研究方法考慮到湍流的隨機(jī)性,因此統(tǒng)計(jì)平均方法是處理湍流運(yùn)動(dòng)的基本方法。 設(shè)湍

6、流運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)流場(chǎng)為: (9.1.1)瞬時(shí)流場(chǎng)中某一點(diǎn)流速u是隨時(shí)間變化的。 但是湍流運(yùn)動(dòng)的這種非定常性并不等同于一般概念的非定常流動(dòng)。 它可能是非定常的湍流，也可能僅僅是因?yàn)橥牧鞯碾S機(jī)性所表現(xiàn)出的非定常性。 湍流中的各物理量：流速、壓強(qiáng)等都是隨機(jī)函數(shù)，具有隨機(jī)函數(shù)的特點(diǎn)：某個(gè)量的個(gè)別測(cè)量量具有不確定性，但是大量測(cè)量結(jié)果的平均值具有確定性。 比如： (9.1.2)式中 表示的統(tǒng)計(jì)平均值，具有確定的函數(shù)值。 統(tǒng)計(jì)平均方法有很多種，在湍流研究中通常應(yīng)用三種平均方法：時(shí)間平均法，空間平均法和系綜平均法。 上式的方法就是系綜平均法。 9.1.3 湍流的度量湍流的度量包括湍流強(qiáng)度，湍流尺度和湍流的能譜等。

7、 所謂湍流強(qiáng)度是指脈動(dòng)流速的均方根與時(shí)均流速的比值，用表示。 沿三個(gè)方向的湍流強(qiáng)度都相等的湍流場(chǎng)叫“各向同性湍流場(chǎng)”。 (9.1.3)脈動(dòng)流速均方根 (9.1.4)所謂湍流尺度是指湍流氣團(tuán)翻滾脈動(dòng)一個(gè)周期所掃過的距離。 (9.1.5)但是，大大小小的湍流氣團(tuán)的數(shù)目龐大，脈動(dòng)周期或頻率各不相同，脈動(dòng)方向也不同，氣團(tuán)尺寸及湍流強(qiáng)度均隨空間而衰減變化。 大湍流氣團(tuán)脈動(dòng)頻率低，每個(gè)周期掃過的距離長(zhǎng)。 小湍流氣團(tuán)脈動(dòng)頻率高，每個(gè)周期掃過的距離短。 大小湍流氣團(tuán)之間可以擴(kuò)散交換質(zhì)量、動(dòng)量、能量而互相影響。 所以個(gè)別湍流氣團(tuán)的行為是雜亂無章，隨機(jī)變化的。 但是，可以按統(tǒng)計(jì)學(xué)法則測(cè)量湍流集體的空間平均或時(shí)間平

8、均特征。 湍流氣團(tuán)沿x方向每單位質(zhì)量脈動(dòng)能 (9.1.6)顯然與脈動(dòng)頻率有關(guān)。 兩種特殊情況：大低小和小高大，出現(xiàn)的機(jī)會(huì)都很少。 若假設(shè)每單位質(zhì)量湍流動(dòng)能隨的變化率為 (9.1.7)以為橫坐標(biāo)可以畫出如下概率分布曲線 圖 9-1 概率分布曲線9.2 湍流的統(tǒng)計(jì)平均方法統(tǒng)計(jì)平均方法是處理湍流運(yùn)動(dòng)問題的一個(gè)基本方法，這是由湍流的隨機(jī)性質(zhì)所決定的，正如前一節(jié)所介紹的。 本節(jié)將對(duì)各種統(tǒng)計(jì)平均法作一較詳細(xì)的介紹。 9.2.1 時(shí)間平均法（時(shí)均法）在湍流流場(chǎng)中的一點(diǎn)處測(cè)量流速隨時(shí)間的變化，可以得到如下圖象。 u T t圖9-2 流速隨時(shí)間變化時(shí)均值的定義為： (9.2.1)這樣就可以把湍流運(yùn)動(dòng)中某一固定點(diǎn)

9、的瞬時(shí)流速分為兩部分，即時(shí)均流速部分和脈動(dòng)流速部分： (9.2.2)式中，表示脈動(dòng)流速。 由定義可知脈動(dòng)流速的時(shí)間平均值等于零，即： (9.2.3)從隨機(jī)函數(shù)的性質(zhì)可以知道是任意取值的，應(yīng)不影響時(shí)均值的大小。 但是必須足夠大，也就是說要有足夠長(zhǎng)的時(shí)段才能使時(shí)均值成為一個(gè)穩(wěn)定值。 通常要求，是湍流的脈動(dòng)周期。 由此可見，對(duì)于不恒定流動(dòng)，其流速不僅是因?yàn)橥牧鞯碾S機(jī)性質(zhì)而時(shí)有變化，而且因流動(dòng)本身也在變化，這時(shí)時(shí)均法就不適用了。 在湍流運(yùn)動(dòng)中所謂流動(dòng)的恒定是指其在時(shí)均的意義上是恒定的。 對(duì)于時(shí)均值，有以下計(jì)算法則。 假設(shè)、為兩個(gè)物理量，表示任一獨(dú)立的自變量，有： (9.2.4)通常，對(duì)湍流中的各物理量

10、進(jìn)行時(shí)間平均，然后再應(yīng)用N-S方程求解，是解決湍流運(yùn)動(dòng)問題的重要途徑。 9.2.2 空間平均法湍流的隨機(jī)性質(zhì)不僅表現(xiàn)在時(shí)間上，同樣也表現(xiàn)在空間分布上。 例如在管道中的湍流流動(dòng)，在任一段距離上任一時(shí)刻的軸向速度分布都很不規(guī)則。 但如果在距離上取空間平均值： (9.2.5)式中，表示空間平均值，為任一空間起始坐標(biāo)，則為一點(diǎn)的流速，注意各點(diǎn)的流速值應(yīng)是同一時(shí)刻的。 要有足夠的長(zhǎng)度。 另外，空間平均值也可在一個(gè)體積范圍內(nèi)進(jìn)行。 要求空間范圍必須足夠大，以保證測(cè)量流速（或其他物理量）值的樣本有足夠的數(shù)量。 在三維情況下，空間點(diǎn)的體積平均值為： (9.2.6)V為所取空間的體積,包含點(diǎn),且要求足夠大。 只

11、要取值范圍足夠大，空間平均值就與取值范圍及其位置無關(guān)。 可見，空間平均法只適用于均勻流場(chǎng)。 9.2.3 統(tǒng)計(jì)平均法（系綜平均法）從上面的介紹可以知道，時(shí)間平均法適用于恒定湍流流動(dòng)，而空間平均法適用于湍流的均勻流場(chǎng)。 對(duì)于不均勻的或非定常的湍流流動(dòng)則只能應(yīng)用對(duì)于隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)平均法。 它的做法是對(duì)重復(fù)多次的實(shí)驗(yàn)進(jìn)行算術(shù)平均。 例如，流速u的統(tǒng)計(jì)平均值為： (9.2.7)式中表示流速的統(tǒng)計(jì)平均值。為第k個(gè)實(shí)驗(yàn)的流速值，N為重復(fù)實(shí)驗(yàn)的次數(shù)，要求N必須足夠大。 雖然統(tǒng)計(jì)平均法對(duì)于流動(dòng)本身不要求符合某些特殊的條件，例如它并不要求流動(dòng)為定常的或是均勻的，但是利用它對(duì)湍流流動(dòng)進(jìn)行分析時(shí)必須同時(shí)做大量相同的試

12、驗(yàn)，這是比較困難的。 反之，時(shí)間平均法和空間平均法則比較容易通過試驗(yàn)來確定，特別是時(shí)間平均法。 為此，應(yīng)該根據(jù)湍流自身的特點(diǎn)運(yùn)用不同的方法來研究湍流流動(dòng)。 通常我們都假定流場(chǎng)是各態(tài)遍歷的，這樣就可以應(yīng)用任何一種平均方法了。 9.3 湍流的基本平均方程在前一節(jié)中已經(jīng)介紹了研究湍流運(yùn)動(dòng)的統(tǒng)計(jì)平均方法，本節(jié)主要是在一般粘性流體流動(dòng)基本方程的基礎(chǔ)上運(yùn)用統(tǒng)計(jì)平均的方法建立湍流運(yùn)動(dòng)的時(shí)均方程和脈動(dòng)方程。 包括湍流的連續(xù)方程、時(shí)均運(yùn)動(dòng)方程（通常稱為雷諾方程）和能量方程、渦量方程。 9.3.1 湍流的連續(xù)方程粘性流動(dòng)的連續(xù)方程對(duì)于湍流的瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)同樣適用。粘性流體的連續(xù)方程（寫成相對(duì)坐標(biāo)形式）是： (9.3.1

13、)表示相對(duì)坐標(biāo)系下的流動(dòng)速度瞬時(shí)值。 若假定湍流是各態(tài)遍歷的，在湍流馬赫數(shù)1時(shí)，可以用時(shí)間平均值代替統(tǒng)計(jì)平均值。 以和代入，對(duì)連續(xù)方程取時(shí)間平均，并應(yīng)用時(shí)均值的計(jì)算法則，可以得到： (9.3.2)即， (9.3.3)等式左端第三項(xiàng)表示由于湍流脈動(dòng)影響而產(chǎn)生的質(zhì)量變化。 由于在具體計(jì)算中很難處理，因此往往對(duì)以上方程進(jìn)行簡(jiǎn)化：1. 一般平均法簡(jiǎn)化由于與是同數(shù)量級(jí)，記作。 可以把看作脈動(dòng)值，看作瞬時(shí)值，有 (9.3.4)得到 (9.3.5)當(dāng)湍動(dòng)度比較小時(shí)，可以把看作脈動(dòng)值，因此有 (9.3.6)其中，為湍流馬赫數(shù)，當(dāng)湍流馬赫數(shù)遠(yuǎn)小于1，即湍流度比較小時(shí)，平均連續(xù)方程可以寫為： (9.3.7)即，

14、(9.3.8)上式適合于不可壓流動(dòng)或湍流度即湍流馬赫數(shù)比較小的情況。2.質(zhì)量加權(quán)平均法（Favre平均法）把瞬時(shí)值寫成質(zhì)量加權(quán)的形式為： (9.3.9)質(zhì)量加權(quán)平均值 或 把（9.3.9）式兩端同時(shí)乘以，再取平均值后得到： (9.3.10)推出 (9.3.11)連續(xù)方程 求平均后有： (9.3.12)即 (9.3.13)9.3.2 湍流的運(yùn)動(dòng)方程（雷諾方程）和推導(dǎo)連續(xù)方程的步驟一樣，我們還是在粘性流動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程所表示的湍流瞬時(shí)流動(dòng)方程的基礎(chǔ)上，給出湍流的運(yùn)動(dòng)方程。 對(duì)運(yùn)動(dòng)方程 (9.3.14)在湍流馬赫數(shù)1的條件下取時(shí)間平均，有 (9.3.15)注意到其它各項(xiàng)推導(dǎo)過程類似于連續(xù)方程，因此整理后得

15、到時(shí)間平均的運(yùn)動(dòng)方程為： (9.3.16)9.3.3 湍流的能量方程接下來在粘性流動(dòng)能量方程（相對(duì)坐標(biāo)形式）的基礎(chǔ)上推導(dǎo)平均形式的能量方程。 (9.3.17)注意到 代入后求平均，有 (9.3.18)即 (9.3.19)其中 稱為對(duì)流換熱項(xiàng)，若假定流動(dòng)為絕熱流動(dòng)，可以將該項(xiàng)?；癁椤?則方程變?yōu)椋?(9.3.20)式中、分別表示層流和湍流情況下的導(dǎo)熱系數(shù)，可以通過相應(yīng)流態(tài)下的普朗特?cái)?shù)和粘性系數(shù)求得： (9.3.21)9.3.4 平均湍動(dòng)能方程用左點(diǎn)乘(9.3.16)得：(9.3.22)注意到 (9.3.23)所以有 (9.3.24)同理，用右點(diǎn)乘(9.3.16)可以得到： (9.3.25)把兩次

16、點(diǎn)乘的結(jié)果相加，考慮連續(xù)方程并注意到 (9.3.26)得： (9.3.27)對(duì)方程（(9.3.14)）應(yīng)用同樣的方法，可以得到 (9.3.28)對(duì)上式取時(shí)間平均，有 (9.3.29)用(9.3.29)減去(9.3.27)得： (9.3.30)整理后得平均湍動(dòng)能方程： (9.3.31)由推導(dǎo)過程可以看出，運(yùn)動(dòng)方程中反映哥氏力和向心力的項(xiàng)均被消去，也就是說平均湍動(dòng)能方程不能反映這兩種力的作用。 當(dāng)時(shí)， (9.3.32)所以有： (9.3.33)代入式得： (9.3.34)上式是在的條件下推出的湍動(dòng)能方程。 通常情況下令，則方程變?yōu)椋?(9.3.35)這就是所謂的可壓縮的K方程。 其中第一項(xiàng)表示平均

17、湍動(dòng)能當(dāng)?shù)氐臅r(shí)間變化率。 第二項(xiàng)表示湍流度的輸運(yùn)特性。 第三項(xiàng)是脈動(dòng)速度、壓力的做功項(xiàng)。 第四項(xiàng)是平均湍動(dòng)能的產(chǎn)生項(xiàng)，可以為正也可以為負(fù)。 若它為正，則它使平均運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能減小，相應(yīng)的湍動(dòng)能則增加，此時(shí)一部分能量由平均運(yùn)動(dòng)輸運(yùn)給平均運(yùn)動(dòng)：若該項(xiàng)為負(fù)則過程剛好相反。 第五項(xiàng)是擴(kuò)散項(xiàng)，第六項(xiàng)是耗散項(xiàng)，最后兩項(xiàng)是由于流體的可壓縮性引起的。 通常當(dāng)馬赫數(shù)小于5時(shí)可以忽略。 通常用來表示耗散項(xiàng)，即 (9.3.36)方程可以改寫為： (9.3.37)其中 和是待定系數(shù)。9.3.5 雷諾應(yīng)力方程為了研究湍流內(nèi)部機(jī)理和提供計(jì)算用的基本方程，除了前面介紹的一些方程外，常常還需要了解在湍流內(nèi)各種相關(guān)量之間的關(guān)系。

18、其中一個(gè)常用的方程就是雷諾應(yīng)力方程，又稱應(yīng)力輸運(yùn)方程。用左并方程(9.3.14)，得： (9.3.38)用右并方程(9.3.14)，得： (9.3.39)兩式相加并考慮連續(xù)方程得： (9.3.40)對(duì)上式取時(shí)間平均得：(9.3.41)對(duì)方程(9.3.16)左并得： (9.3.42)對(duì)方程(9.3.16)右并得： (9.3.43)兩個(gè)方程相加，并根據(jù)連續(xù)方程得： (9.3.44)用(9.3.41)式減(9.3.44)式得： (9.3.45)考慮到， (9.3.46a) (9.3.46b) (9.3.46c)所以式(9.3.45)可以改寫為： (9.3.47)上式就是矢量形式的雷諾應(yīng)力方程。 在時(shí)

19、， (9.3.48) (9.3.49)將上式代入(9.3.47)，得： (9.3.50)這就是在時(shí)矢量形式的雷諾應(yīng)力方程。9.4 湍流模型所謂湍流模型就是雷諾應(yīng)力的模化。 從1895年建立了雷諾時(shí)均方程之后，雷諾應(yīng)力的表達(dá)形式一直是湍流理論的中心議題之一。 一百多年來，雷諾應(yīng)力的?；瘑栴}已經(jīng)發(fā)展了許多方法，但就其形式和內(nèi)容來講，不過就是如下兩種：（1）應(yīng)用Boussinesq假設(shè)，通過代數(shù)或微分方程來確定湍流粘性系數(shù)。 主要包括“0”模型、“1”模型和“2”模型。（2）直接建立雷諾應(yīng)力的代數(shù)或微分方程。 本節(jié)將對(duì)常用的幾種模型作一簡(jiǎn)單介紹。 9.4.1 基于Boussinesq假設(shè)的湍流模型對(duì)

20、于三維流動(dòng)，Boussinesq假設(shè)為： (9.4.1)其中 湍流運(yùn)動(dòng)粘性系數(shù)湍流動(dòng)力粘性系數(shù)也就是說，Boussinesq認(rèn)為湍流雜亂無章的運(yùn)動(dòng)與分子雜亂無章的熱運(yùn)動(dòng)有相似之處，從而仿照層流中切應(yīng)力與流速梯度關(guān)系的公式： (9.4.2)而引入了一個(gè)湍流粘性系數(shù)，使湍流的雷諾應(yīng)力與流場(chǎng)中的時(shí)均流速梯度建立了如下關(guān)系： (9.4.3)這樣求解湍流流場(chǎng)問題就轉(zhuǎn)化成為求解。 相應(yīng)的，引入湍流的運(yùn)動(dòng)粘性系數(shù)與層流的運(yùn)動(dòng)粘性系數(shù)相對(duì)應(yīng)。 1.“0”模型“0”模型中最具代表性的就是Prandtl于1925年提出的混合長(zhǎng)度模型。 它是將湍流運(yùn)動(dòng)與分子運(yùn)動(dòng)作了相似的比擬而得出的。 Prandtl假設(shè)在湍流運(yùn)動(dòng)

21、中，流體微團(tuán)象氣體分子一樣是在運(yùn)行某一距離后才與周圍的其它流體混合，失去其原有的流動(dòng)特征，而在流動(dòng)過程中流體微團(tuán)則保持其原有流動(dòng)特征不變。 流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)的這個(gè)距離稱為混合長(zhǎng)度。 它與湍流的粘性系數(shù)存在著下列關(guān)系： (9.4.4)其中 湍流的特征速度。 對(duì)于流經(jīng)一固體壁面的湍流流動(dòng)，時(shí)均流速分布如圖所示： y x圖9-3 時(shí)均流速分布流體微團(tuán)原在位置,其時(shí)均流速為，這一流體微團(tuán)在豎向移動(dòng)了一個(gè)混合長(zhǎng)度后與周圍流體混合。 微團(tuán)所到達(dá)的新位置y速度變?yōu)椋钪禐椋豪肨aylor級(jí)數(shù)展開，舍去二階小量，得： (9.4.5)類似地，原來處于處的流體微團(tuán)向下方運(yùn)動(dòng)時(shí)，速度之差為， (9.4.6)由豎向運(yùn)動(dòng)

22、引起的速度差可以認(rèn)為是y處產(chǎn)生脈動(dòng)速度的原因，Prandtl假設(shè)： (9.4.7)當(dāng)然，Prandtl的這些假設(shè)中有些問題尚未澄清，例如為什么流體微團(tuán)在的距離內(nèi)不與周圍流體相混合而保持原有流速？脈動(dòng)速度分量的確定也不能用試驗(yàn)所證實(shí)等等。豎向脈動(dòng)速度從連續(xù)性原理可以假定它必然與具有相同的數(shù)量級(jí)，所以 (9.4.8)即湍流的特征速度可得，通常寫成偏微分形式有 (9.4.9)所以 (9.4.10) (9.4.11)這樣，湍流切應(yīng)力與時(shí)均流速聯(lián)系在一起使湍流方程不封閉問題得到了解決。 混合長(zhǎng)度則由實(shí)驗(yàn)確定，它不是流體的一種物理性質(zhì)而是與流動(dòng)情況有關(guān)的一個(gè)度量。 很多情況下可以把與流動(dòng)的某些尺度聯(lián)系起來

23、。 Prandtl假定與從固體壁面算起的法向距離y成正比，即 (9.4.12)式中 k為一常數(shù)，稱為Karman常數(shù)，由實(shí)驗(yàn)確定。 對(duì)于圓管內(nèi)的三維湍流流動(dòng)，Nikurade給出了如下的計(jì)算公式來確定值： (9.4.13)式中 R圓管半徑。可見，混合長(zhǎng)度模型模型簡(jiǎn)單，不需要附加的微分方程。 只要選取合適，那么應(yīng)用這種模型可以求得可靠的速度和減切應(yīng)力分布。 而且在長(zhǎng)期的使用中，人們積累了豐富的使用經(jīng)驗(yàn)。但它也有許多缺點(diǎn)。 主要是它不能考慮湍流的擴(kuò)散性和疏運(yùn)性等性質(zhì)。而且由于在有回流的區(qū)域，很難給出準(zhǔn)確的混合長(zhǎng)度，因而一般來講，該模型無法計(jì)算分離流動(dòng)，對(duì)于其它復(fù)雜的流動(dòng)也無法給出很好的預(yù)測(cè)結(jié)果。

24、（2）“1”方程模型由于“0”模型的局限性，特別是要較多的依靠經(jīng)驗(yàn)，促使人們轉(zhuǎn)向追求更高級(jí)的封閉形式。湍流的一些特征量除了取決于當(dāng)?shù)氐牧鲃?dòng)條件外，還取決于非當(dāng)?shù)氐臈l件。 1945年P(guān)randtl采用了一個(gè)微分方程來考慮湍流的輸運(yùn)等非當(dāng)?shù)赜绊懸蛩?，即?”模型。 最常用的“1”方程模型就是通過補(bǔ)充湍流脈動(dòng)動(dòng)能方程（K方程），使時(shí)均湍流動(dòng)量方程和連續(xù)方程這一不封閉的方程組得到封閉，實(shí)現(xiàn)求解。 對(duì)于K方程： (9.4.14)為了使它與動(dòng)量方程和連續(xù)方程所組成的方程組封閉，并且便于求解，故做如下假設(shè)： (9.4.15a) (9.4.15b) (9.4.16c)而且 (9.4.17)以上各式中，為給定的

25、實(shí)驗(yàn)常數(shù)，根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果，通常取. 由以上假設(shè)，湍動(dòng)能方程可以簡(jiǎn)化為適用于“1”方程模式所用的方程： (9.4.18)上式就是k方程的?；匠?。 它與時(shí)均動(dòng)量方程(9.3.16)，連續(xù)方程以及切應(yīng)力的表達(dá)式（即“0”方程模型），一起組成的方程組在理論上是封閉的。 在求解過程中，一般由混合長(zhǎng)度模型求得湍流的運(yùn)動(dòng)粘性系數(shù)，再由 (9.4.19)求得混合長(zhǎng)度，再代入(9.4.18)式中進(jìn)行求解。 可以說“1”方程模型從某種意義上講比混合長(zhǎng)度模型前進(jìn)了一步。 但這并不能說明“1”方程模型比“0”模型應(yīng)用更廣，因?yàn)椤?”方程模型的一個(gè)最大的弱點(diǎn)就是必須確定的值。 （3）“2”方程模型“1”方程模型雖比“0

26、”模型更能有效地描述某些湍流運(yùn)動(dòng)，但對(duì)那些復(fù)雜的流動(dòng)，象有回流的分離流動(dòng)，其湍流尺度必須由輸運(yùn)方程才能確定。 因?yàn)樵谝欢l件下，對(duì)流作用在流動(dòng)中已經(jīng)超過了擴(kuò)散作用的影響，企圖由經(jīng)驗(yàn)方法建立簡(jiǎn)單的湍流尺度的代數(shù)表達(dá)式已經(jīng)不可能了。 這樣，人們就想到用微分方程來描述湍流尺度，從而形成了“2”方程模型。 所謂“2”方程模型就是指補(bǔ)充兩個(gè)微分方程與湍流的時(shí)均動(dòng)量方程（3），連續(xù)方程以及給出的湍流附加切應(yīng)力的表達(dá)式（“0”模型）組成封閉的方程組，進(jìn)行求解。 在“2”方程模型中，模型是應(yīng)用最廣的，因?yàn)楹纳⒙实奈锢硪饬x很清楚，另一方面也是一個(gè)很重要的物理參數(shù)。 根據(jù)(9.4.18)式，k方程可以變?yōu)椋?(9

27、.4.20)改寫為： (9.4.21)對(duì)照上式可以寫出方程 (9.4.22)其中 方程(9.4.21)和(9.4.22)中，、為修正系數(shù)，一般由實(shí)驗(yàn)給出。 通常按經(jīng)驗(yàn)可?。?關(guān)于模型的理論，由以上的簡(jiǎn)述中可以看出，“0”方程模型是用湍流時(shí)均動(dòng)量方程和連續(xù)方程作為方程組，在把方程組中的湍流附加切應(yīng)力假設(shè)為類似層流切應(yīng)力的代數(shù)表達(dá)式，也就是寫出的關(guān)系式，使方程組封閉。 “1”方程模式可以認(rèn)為是在“0”方程模型的基礎(chǔ)上，增加一個(gè)微分方程（K方程），然后作適當(dāng)?shù)募僭O(shè)（K方程?；?，使方程組封閉。 而“2”方程模型可以認(rèn)為是在“0”方程模型基礎(chǔ)上，作出適當(dāng)?shù)募僭O(shè)，增加兩個(gè)模型方程（方程），使方程組封閉。

28、 9.4.2 雷諾應(yīng)力模型以上模型都用到了湍流粘性的假設(shè)，屬于“有效粘性模式”，是一種比較簡(jiǎn)單的近似，適于工程應(yīng)用，但在某些流場(chǎng)的情況下會(huì)有較大誤差。 另有一種模型雷諾應(yīng)力模型，是完全脫離開湍流粘性的假設(shè)、把雷諾應(yīng)力方程作為補(bǔ)充方程，然后作適當(dāng)?shù)慕萍僭O(shè)，使方程組封閉。 在此只給出模型的基本思想，不做具體推導(dǎo)。 對(duì)于湍流的雷諾應(yīng)力方程，假設(shè)密度是均勻的并且忽略質(zhì)量力，則方程可以用文字表示為：對(duì)流輸運(yùn)=-擴(kuò)散輸運(yùn)-應(yīng)力產(chǎn)生+壓力應(yīng)變-耗散這就是直接從N-S方程推出的精確的應(yīng)力方程。 若進(jìn)行計(jì)算，必須將它同已知量建立聯(lián)系，進(jìn)行必要的?；幚?。 最早的雷諾應(yīng)力模型是Rotta給出的，對(duì)于一般問題采用

29、了k，構(gòu)成七個(gè)微分方程，以后又經(jīng)歷了許多改進(jìn)。 ?；幚碇校罾щy的就是對(duì)壓力應(yīng)變項(xiàng)的處理，目前常用的主要有Launder-Reece-Ridi和Noat-Shavit兩種處理方法。 Launder 等的處理方法是假設(shè)一個(gè)組成線性雷諾應(yīng)力元素的四階張量而得出的結(jié)果；Noat等的處理方法是通過引入兩點(diǎn)關(guān)聯(lián)函數(shù)的推測(cè)形式，在對(duì)空間進(jìn)行積分而得到壓力應(yīng)變的關(guān)系式。 若將雷諾應(yīng)力模型再進(jìn)一步簡(jiǎn)化，略去對(duì)流和擴(kuò)散項(xiàng)，就可以得到所謂的代數(shù)雷諾應(yīng)力模型。 9.4.3 大渦模擬前面所介紹的各種湍流模型雖然取得了很大的進(jìn)展，在工程上也得到了很多成功的應(yīng)用。 但是應(yīng)該注意到，很難找到一種通用的模型。 于是人們就開始尋找新的途徑，大渦模擬就是一種比較有希望的方法。 所謂大渦模擬是指：由于湍流的結(jié)構(gòu)可以將湍流運(yùn)動(dòng)