高等數(shù)學A-第2章-11-1(導數(shù)的基本概念).ppt

1、中南大學開放式精品示范課堂高等數(shù)學建設(shè)組,第2章 一元函數(shù)微分學,高等數(shù)學A,2.1 導數(shù)及微分,2.1.1 引例 2.1.2 導數(shù)概念 2.1.3 導數(shù)的幾何意義 2.1.4 可導與連續(xù)的關(guān)系 2.1.5 求導數(shù)的例題 導數(shù)基本公式表,微積分學(calculus),以研究函數(shù)的微分和積分及其應(yīng)用為主的一門,數(shù)學學科,微分學,1.物體運動時要求出它在任一時刻的速度和加速度,2.研究光線通過透鏡的規(guī)律時要求出光滑曲線上給定,點的切線和法線,3.研究炮彈的射程時要求出函數(shù)的最大值和最小值,積分學,研究曲線的長度、物體的體積、曲面的面積、,以及天體間的引力等,2.1 導數(shù)及微分,2.1.1 引例,速

2、度問題,2.1.2 導數(shù)的概念,左右導數(shù)定義,區(qū)間上導函數(shù)定義,用導數(shù)定義求函數(shù)導數(shù),用定義求導數(shù)習例1-5,2.1.3 導數(shù)的意義,物理意義,2.1.4 可導與連續(xù)的關(guān)系,2.1.5 求導數(shù)的例題導數(shù)基本公式,連續(xù)函數(shù)不存在導數(shù)舉例,導數(shù)基本公式,內(nèi)容小結(jié),課堂思考與練習,導數(shù)及微分,一.引例,1.切線問題,割線的極限位置切線,割線 MN 的斜率為,2.速度問題,二、導數(shù)定義,(變化率),定義:,注意:,單側(cè)導數(shù),(左右導數(shù)),左導數(shù):,右導數(shù):,注：單側(cè)導數(shù)經(jīng)常在研究分段函數(shù)分段點和區(qū)間端點的 可導性時碰到, 并且有結(jié)論:,(導函數(shù)),(2) 速度是路程函數(shù)的導數(shù), 即,用定義求函數(shù)導數(shù)步

3、驟:,用導數(shù)定義求函數(shù)導數(shù)習例,解:,由導數(shù)定義得,解:,注意:,解:,解:,解:,切線方程:,法線方程:,幾何意義,注意:,此時切線與x軸平行;,此時切線與x軸垂直.,(2)當導數(shù)存在時, 一定能夠找到切線; 反之, 當有切線時,不一定導數(shù)存在!,解:,割線的斜率為,所求點為 (2,4).,物理意義,(非均勻變化量的瞬時變化率),變速直線運動:路程對時間的導數(shù)為物體的瞬時速度.,交流電路:電量對時間的導數(shù)為電流強度.,非均勻的物體:質(zhì)量對長度(面積,體積)的導數(shù)為物體的線(面,體)密度.,三、函數(shù)的可導性與連續(xù)性的關(guān)系,定理:,-可導必連續(xù),證明:,注意:,解:,四、求導數(shù)的習例,解:,所以

4、 f (x) 在 x=0 處連續(xù).,解:,因為 f(x) 在 x=1處連續(xù),可得,由 f (x)在 x=1處可導,可得,解:,解:,連續(xù)函數(shù)不存在導數(shù)舉例,例如,例如,例如,導數(shù)基本公式（已學求導公式） :,內(nèi)容小結(jié),1. 導數(shù)的實質(zhì):,3. 導數(shù)的幾何意義:,4. 可導必連續(xù), 但連續(xù)不一定可導;,5. 已學求導公式 :,6. 判斷可導性,不連續(xù), 一定不可導.,直接用導數(shù)定義;,看左右導數(shù)是否存在且相等.,2.,增量比的極限;,切線的斜率;,思考題,1函數(shù),在連續(xù)點不可導有哪些類型？,2函數(shù),在點,可導，是否函數(shù)在點,的某個鄰域內(nèi)每一點可導？,3符號,與,4. 求哪些函數(shù)個別點的導數(shù)或左右導數(shù)應(yīng)用導數(shù)的定義？,在點,不可導，則曲線,在點,