鞅理論及其應(yīng)用ppt課件

1、第六章 鞅理論及其應(yīng)用,第一節(jié)鞅的簡單介紹,鞅這個術(shù)語早在20 世紀(jì)30 年代首先由Ville(1939)引進(jìn)，但是基本概念來自于法國概率學(xué)家列維(Levy，1934)。但是真正把鞅理論發(fā)揚(yáng)光大的則是美國數(shù)學(xué)家多布(Doob)，他于1953 年的名著隨機(jī)過程一書中介紹了(包括上鞅分解問題在內(nèi)的)他對于鞅論的系統(tǒng)研究成果。它引起了一般過程理論的研究，從此鞅成為現(xiàn)代概率和隨機(jī)過程的基礎(chǔ)，而且在決策和控制模型等方面有著重要應(yīng)用，并得到快速發(fā)展。,“鞅”一詞來源于法文martingale 的意譯，原意是指馬的籠套或者船的索具，同時也指一種逢輸就加倍賭注，直到贏為止的惡性賭博方法(double stra

2、tegy)。 簡單的說，鞅是“公平”賭博(fair game)的數(shù)學(xué)模型。,假設(shè)一個人在參加賭博，他已經(jīng)賭了n 次，正準(zhǔn)備參加第n +1 次賭博。如果不做什么手腳，他的運(yùn)氣應(yīng)當(dāng)是同他以前的賭博經(jīng)歷無關(guān)的，用Xn表示他在賭完第n次后擁有的賭本數(shù)，如果對于任何n都有 成立，即賭博的期望收獲為0，僅能維持原有財富水平不變，就可以認(rèn)為這種賭博在統(tǒng)計上是公平的。,在金融分析中，投資者通常會根據(jù)過去發(fā)生的事件來指導(dǎo)未來的投資決策，我們可以把X 設(shè)想為對由于信息發(fā)布而產(chǎn)生波動的金融資產(chǎn)價格(過程)，而EXn就是對這種價格運(yùn)動的預(yù)測，而恰好鞅就是用條件數(shù)學(xué)期望來定義的，這種相似性就激發(fā)了使用鞅和與之相關(guān)的數(shù)學(xué)

3、概念來描述金融資產(chǎn)價格運(yùn)動過程特征的熱情，鞅在20 世紀(jì)80 年代以后迅速成為主流金融經(jīng)濟(jì)學(xué)研究中標(biāo)準(zhǔn)的時髦。,一個隨機(jī)變量的時間序列沒有表現(xiàn)出任何的趨勢性(trend)，就可以稱之為鞅； 而如果它一直趨向上升，則稱之為下鞅(submartingale)；反之如果該過程總是在減少，則稱之為上鞅(supermartingale)。 實(shí)際上鞅是一種用條件數(shù)學(xué)期望定義的隨機(jī)運(yùn)動形式，或者說是具有某種可以用條件數(shù)學(xué)期望來進(jìn)行特征描述的隨機(jī)過程。,鞅定義,1、存在一概率空間,F ,P，要求-代數(shù)F 是P-完備的，即對于任何A F 且P(A) = 0，對一切N A都有N F 成立。 2、給定一個濾波（fi

4、lter）。 3、如果對于任何n 0， Sn 的值被包含在Fn 中，就稱Sn 是Fn 可測的，或者使用梅耶(Meyer)的術(shù)語，稱Sn為Fn 適應(yīng)的( Fn adapted)。,4、存在條件數(shù)學(xué)期望Ep(SN)=Ep(SN|Fn)，nN 這意味著在n 時刻對N 時刻的價格預(yù)期是基于在該時刻已確知的特定信息集合Fn的。 注意在這里我們在期望算子上加的P 代表這種期望是基于特定概率測度（或者分布）的，在不混淆的情況下它也可以被省略。,假定(Sn )nZ+ 是濾波空間,F ,P,F上的一個Fn -適應(yīng)過程，如果： 1)無條件的數(shù)學(xué)期望是有限的，E(Sn ) , n Z 2)對下一時刻的預(yù)測就是現(xiàn)在觀

5、察到的數(shù)據(jù)，即： En (Sn+1 | Fn ) = Sn ,nZ+ 則稱(Sn )nZ+ 為（ F 下的）離散時間鞅或者簡稱離散鞅。,模擬股票價格路徑的二項(xiàng)樹模型?，F(xiàn)在假定n 時刻的股票價格為Sn，而在n +1時刻，股票價格將以：p = (1 d) /(u d)的概率上漲到uSn ；或者以1 p的概率下降到dSn則下一時刻股票價格的數(shù)學(xué)期望？是鞅？ 遵循這種二項(xiàng)過程的股票價格運(yùn)動是一個鞅,連續(xù)時間,假定 (St )t0,)是濾波空間,F ,P,F上的一個適應(yīng)過程，如果： 1) E(St ) t 。 則稱St 為連續(xù)時間鞅或者簡稱鞅。,可證明維納過程（布朗運(yùn)動）Wt是一個連續(xù)鞅。 也是鞅。 反

6、過來說也是正確的，即如果 是一個連續(xù)時間鞅，而Wt也是連續(xù)時間鞅，則Wt必然是布朗運(yùn)動。（參考Elliot & Kopp 1999）,隨機(jī)過程 也是鞅，其中a是任意實(shí)數(shù)，Wt為維納過程。,王爾德鞅（Walds martingale）,項(xiàng)服從0均值和 方差的正態(tài)概率分布。 服從對數(shù)正態(tài)分布，期望是 那么 即證明 是鞅。,如果一個鞅具有有限的二階矩，即 稱之為平方可積鞅。,平方可積鞅,金融資產(chǎn)價格運(yùn)動和鞅,一般說來，風(fēng)險資產(chǎn)的價格變化，在給定信息集下，并非完全不可預(yù)測的。比方說折扣發(fā)行的零息票債券(zero coupon bond)的價格B 會隨著到期日的臨近，越來越接近其面值，即越來越大，顯然這

7、是一個下鞅。類似的，股票通常會有一個正的預(yù)期收益，因而也不具有鞅性。例如期權(quán)有時間價值，并且會隨著到期日的臨近不斷地衰減，這是上鞅的一個特征。,鞅的定義是基于特定概率分布和信息集合的，通過對信息集和概率測度的適當(dāng)處理，就可以把上(下)鞅轉(zhuǎn)化為鞅。 比方說我們能不能找到某一種概率分布Q ，它把資產(chǎn)的未來價格用無風(fēng)險收益率貼現(xiàn)后的值，轉(zhuǎn)變成一個鞅，即：,停時(stopping time),t 是時間， Ft代表積累到t時刻的信息。停時可以理解為某一隨機(jī)事件第一次發(fā)生的時刻。不妨假想我們對某些特定現(xiàn)象的發(fā)生感興趣：例如某個“黑色星期五”的出現(xiàn)，我們對這些特定現(xiàn)象第一次出現(xiàn)的時刻T ()給予特別的注視

8、。很明顯事件,T () t的發(fā)生，當(dāng)且僅當(dāng)這一現(xiàn)象出現(xiàn)在t 時刻上或者t 時刻之前。應(yīng)當(dāng)是積累到那個時刻的信息集的一部分。,例如一個賭徒?jīng)Q定在他賭贏100 次后就收手，那么他停止賭博的時刻就是一個隨機(jī)變量T = n ，就是說當(dāng)他賭到n次時，他才贏足100 次， Fn是他賭到第n次的所能掌握的全部信息。故T 是否等于n 是依賴他賭到第n 次才能知道的。從這里體會它似乎有點(diǎn)“你到那就知道了”那種無奈的意味。,停時是一個定義在濾波空間,F ,P,F上的隨機(jī)變量T :0,)對于任何t R ，它滿足,顯然任意非負(fù)的常值隨機(jī)變量T = t 是一個停時，而且T + s,(s 0) 也是停時。容易知道： 1）

9、如果T 1 ,T 2是停時，則T 1 + T 2， T 1 T 2， T 1 T 2也都是停時； 2）如果(T n )n1是一個停時序列，則 也都是停時。,假設(shè)Wt代表一個賭徒在t 時刻的財富，他連續(xù)的參加“公平”的賭博，現(xiàn)在的問題是： 他能不能通過精心的選擇停止賭博的次數(shù)來最大化他的個人財富呢？答案是否定的。這就是著名的多布有界停時定理(Doobs bounded stopping time theorem),定理：如果(Mn )nZ+ 是在隨機(jī)基 ,F ,P,F 上的一個Fn -適應(yīng)的離散鞅；T 是一個有界停時，則有EMT|F0=MT，以及E(MT)=E(M0),多布分解定理,在微觀金融學(xué)

10、中有一系列的重要定理表明當(dāng)市場上不存在套利機(jī)會時，所有資產(chǎn)價格都是均衡價格測度(equilibrium price measure)下的鞅。 上(下)鞅中有一種向上或者向下趨勢，只要從它們之中分離出這種趨勢，就可以得到一個純粹的鞅。,Doob分解定理：令(X n )nZ+為一個Fn -適應(yīng)的下鞅，則它可以唯一的分解為一個鞅和可料遞增隨機(jī)序列的和： X n = Mn + An , n Z 多布分解(Doob decomposition)定理(又稱為下鞅分解定理)就顯示了下鞅、鞅和可料增量過程相互之間的關(guān)系。,如果 是一個Ft -適應(yīng)的右連續(xù)的下鞅， E St ,t ，則對于任何0 t ， St 都可以分解為下列形式： St = Mt + At Mt是右連續(xù)鞅， At是一個Ft -可料的增量過程。,Doob-Meyer定理,考慮一個歐式看漲期權(quán)，到期日收益函數(shù)為， 在 t 時刻(tT)，該期權(quán)價格ct是待定的，但可根據(jù)t 時刻的信息預(yù)測它在到期日的期望價值： 假定r是無風(fēng)險利率，那么 是否就是它在t時刻的“公平”市