鞅理論及其應(yīng)用ppt課件

1、第六章 鞅理論及其應(yīng)用,第一節(jié)鞅的簡(jiǎn)單介紹,鞅這個(gè)術(shù)語(yǔ)早在20 世紀(jì)30 年代首先由Ville(1939)引進(jìn)，但是基本概念來(lái)自于法國(guó)概率學(xué)家列維(Levy，1934)。但是真正把鞅理論發(fā)揚(yáng)光大的則是美國(guó)數(shù)學(xué)家多布(Doob)，他于1953 年的名著隨機(jī)過(guò)程一書(shū)中介紹了(包括上鞅分解問(wèn)題在內(nèi)的)他對(duì)于鞅論的系統(tǒng)研究成果。它引起了一般過(guò)程理論的研究，從此鞅成為現(xiàn)代概率和隨機(jī)過(guò)程的基礎(chǔ)，而且在決策和控制模型等方面有著重要應(yīng)用，并得到快速發(fā)展。,“鞅”一詞來(lái)源于法文martingale 的意譯，原意是指馬的籠套或者船的索具，同時(shí)也指一種逢輸就加倍賭注，直到贏為止的惡性賭博方法(double stra

2、tegy)。 簡(jiǎn)單的說(shuō)，鞅是“公平”賭博(fair game)的數(shù)學(xué)模型。,假設(shè)一個(gè)人在參加賭博，他已經(jīng)賭了n 次，正準(zhǔn)備參加第n +1 次賭博。如果不做什么手腳，他的運(yùn)氣應(yīng)當(dāng)是同他以前的賭博經(jīng)歷無(wú)關(guān)的，用Xn表示他在賭完第n次后擁有的賭本數(shù)，如果對(duì)于任何n都有 成立，即賭博的期望收獲為0，僅能維持原有財(cái)富水平不變，就可以認(rèn)為這種賭博在統(tǒng)計(jì)上是公平的。,在金融分析中，投資者通常會(huì)根據(jù)過(guò)去發(fā)生的事件來(lái)指導(dǎo)未來(lái)的投資決策，我們可以把X 設(shè)想為對(duì)由于信息發(fā)布而產(chǎn)生波動(dòng)的金融資產(chǎn)價(jià)格(過(guò)程)，而EXn就是對(duì)這種價(jià)格運(yùn)動(dòng)的預(yù)測(cè)，而恰好鞅就是用條件數(shù)學(xué)期望來(lái)定義的，這種相似性就激發(fā)了使用鞅和與之相關(guān)的數(shù)學(xué)

3、概念來(lái)描述金融資產(chǎn)價(jià)格運(yùn)動(dòng)過(guò)程特征的熱情，鞅在20 世紀(jì)80 年代以后迅速成為主流金融經(jīng)濟(jì)學(xué)研究中標(biāo)準(zhǔn)的時(shí)髦。,一個(gè)隨機(jī)變量的時(shí)間序列沒(méi)有表現(xiàn)出任何的趨勢(shì)性(trend)，就可以稱之為鞅； 而如果它一直趨向上升，則稱之為下鞅(submartingale)；反之如果該過(guò)程總是在減少，則稱之為上鞅(supermartingale)。 實(shí)際上鞅是一種用條件數(shù)學(xué)期望定義的隨機(jī)運(yùn)動(dòng)形式，或者說(shuō)是具有某種可以用條件數(shù)學(xué)期望來(lái)進(jìn)行特征描述的隨機(jī)過(guò)程。,鞅定義,1、存在一概率空間,F ,P，要求-代數(shù)F 是P-完備的，即對(duì)于任何A F 且P(A) = 0，對(duì)一切N A都有N F 成立。 2、給定一個(gè)濾波（fi

4、lter）。 3、如果對(duì)于任何n 0， Sn 的值被包含在Fn 中，就稱Sn 是Fn 可測(cè)的，或者使用梅耶(Meyer)的術(shù)語(yǔ)，稱Sn為Fn 適應(yīng)的( Fn adapted)。,4、存在條件數(shù)學(xué)期望Ep(SN)=Ep(SN|Fn)，nN 這意味著在n 時(shí)刻對(duì)N 時(shí)刻的價(jià)格預(yù)期是基于在該時(shí)刻已確知的特定信息集合Fn的。 注意在這里我們?cè)谄谕阕由霞拥腜 代表這種期望是基于特定概率測(cè)度（或者分布）的，在不混淆的情況下它也可以被省略。,假定(Sn )nZ+ 是濾波空間,F ,P,F上的一個(gè)Fn -適應(yīng)過(guò)程，如果： 1)無(wú)條件的數(shù)學(xué)期望是有限的，E(Sn ) , n Z 2)對(duì)下一時(shí)刻的預(yù)測(cè)就是現(xiàn)在觀

5、察到的數(shù)據(jù)，即： En (Sn+1 | Fn ) = Sn ,nZ+ 則稱(Sn )nZ+ 為（ F 下的）離散時(shí)間鞅或者簡(jiǎn)稱離散鞅。,模擬股票價(jià)格路徑的二項(xiàng)樹(shù)模型?，F(xiàn)在假定n 時(shí)刻的股票價(jià)格為Sn，而在n +1時(shí)刻，股票價(jià)格將以：p = (1 d) /(u d)的概率上漲到uSn ；或者以1 p的概率下降到dSn則下一時(shí)刻股票價(jià)格的數(shù)學(xué)期望？是鞅？ 遵循這種二項(xiàng)過(guò)程的股票價(jià)格運(yùn)動(dòng)是一個(gè)鞅,連續(xù)時(shí)間,假定 (St )t0,)是濾波空間,F ,P,F上的一個(gè)適應(yīng)過(guò)程，如果： 1) E(St ) t 。 則稱St 為連續(xù)時(shí)間鞅或者簡(jiǎn)稱鞅。,可證明維納過(guò)程（布朗運(yùn)動(dòng)）Wt是一個(gè)連續(xù)鞅。 也是鞅。 反

6、過(guò)來(lái)說(shuō)也是正確的，即如果 是一個(gè)連續(xù)時(shí)間鞅，而Wt也是連續(xù)時(shí)間鞅，則Wt必然是布朗運(yùn)動(dòng)。（參考Elliot & Kopp 1999）,隨機(jī)過(guò)程 也是鞅，其中a是任意實(shí)數(shù)，Wt為維納過(guò)程。,王爾德鞅（Walds martingale）,項(xiàng)服從0均值和 方差的正態(tài)概率分布。 服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，期望是 那么 即證明 是鞅。,如果一個(gè)鞅具有有限的二階矩，即 稱之為平方可積鞅。,平方可積鞅,金融資產(chǎn)價(jià)格運(yùn)動(dòng)和鞅,一般說(shuō)來(lái)，風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格變化，在給定信息集下，并非完全不可預(yù)測(cè)的。比方說(shuō)折扣發(fā)行的零息票債券(zero coupon bond)的價(jià)格B 會(huì)隨著到期日的臨近，越來(lái)越接近其面值，即越來(lái)越大，顯然這

7、是一個(gè)下鞅。類似的，股票通常會(huì)有一個(gè)正的預(yù)期收益，因而也不具有鞅性。例如期權(quán)有時(shí)間價(jià)值，并且會(huì)隨著到期日的臨近不斷地衰減，這是上鞅的一個(gè)特征。,鞅的定義是基于特定概率分布和信息集合的，通過(guò)對(duì)信息集和概率測(cè)度的適當(dāng)處理，就可以把上(下)鞅轉(zhuǎn)化為鞅。 比方說(shuō)我們能不能找到某一種概率分布Q ，它把資產(chǎn)的未來(lái)價(jià)格用無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率貼現(xiàn)后的值，轉(zhuǎn)變成一個(gè)鞅，即：,停時(shí)(stopping time),t 是時(shí)間， Ft代表積累到t時(shí)刻的信息。停時(shí)可以理解為某一隨機(jī)事件第一次發(fā)生的時(shí)刻。不妨假想我們對(duì)某些特定現(xiàn)象的發(fā)生感興趣：例如某個(gè)“黑色星期五”的出現(xiàn)，我們對(duì)這些特定現(xiàn)象第一次出現(xiàn)的時(shí)刻T ()給予特別的注視

8、。很明顯事件,T () t的發(fā)生，當(dāng)且僅當(dāng)這一現(xiàn)象出現(xiàn)在t 時(shí)刻上或者t 時(shí)刻之前。應(yīng)當(dāng)是積累到那個(gè)時(shí)刻的信息集的一部分。,例如一個(gè)賭徒?jīng)Q定在他賭贏100 次后就收手，那么他停止賭博的時(shí)刻就是一個(gè)隨機(jī)變量T = n ，就是說(shuō)當(dāng)他賭到n次時(shí)，他才贏足100 次， Fn是他賭到第n次的所能掌握的全部信息。故T 是否等于n 是依賴他賭到第n 次才能知道的。從這里體會(huì)它似乎有點(diǎn)“你到那就知道了”那種無(wú)奈的意味。,停時(shí)是一個(gè)定義在濾波空間,F ,P,F上的隨機(jī)變量T :0,)對(duì)于任何t R ，它滿足,顯然任意非負(fù)的常值隨機(jī)變量T = t 是一個(gè)停時(shí)，而且T + s,(s 0) 也是停時(shí)。容易知道： 1）

9、如果T 1 ,T 2是停時(shí)，則T 1 + T 2， T 1 T 2， T 1 T 2也都是停時(shí)； 2）如果(T n )n1是一個(gè)停時(shí)序列，則 也都是停時(shí)。,假設(shè)Wt代表一個(gè)賭徒在t 時(shí)刻的財(cái)富，他連續(xù)的參加“公平”的賭博，現(xiàn)在的問(wèn)題是： 他能不能通過(guò)精心的選擇停止賭博的次數(shù)來(lái)最大化他的個(gè)人財(cái)富呢？答案是否定的。這就是著名的多布有界停時(shí)定理(Doobs bounded stopping time theorem),定理：如果(Mn )nZ+ 是在隨機(jī)基 ,F ,P,F 上的一個(gè)Fn -適應(yīng)的離散鞅；T 是一個(gè)有界停時(shí)，則有EMT|F0=MT，以及E(MT)=E(M0),多布分解定理,在微觀金融學(xué)

10、中有一系列的重要定理表明當(dāng)市場(chǎng)上不存在套利機(jī)會(huì)時(shí)，所有資產(chǎn)價(jià)格都是均衡價(jià)格測(cè)度(equilibrium price measure)下的鞅。 上(下)鞅中有一種向上或者向下趨勢(shì)，只要從它們之中分離出這種趨勢(shì)，就可以得到一個(gè)純粹的鞅。,Doob分解定理：令(X n )nZ+為一個(gè)Fn -適應(yīng)的下鞅，則它可以唯一的分解為一個(gè)鞅和可料遞增隨機(jī)序列的和： X n = Mn + An , n Z 多布分解(Doob decomposition)定理(又稱為下鞅分解定理)就顯示了下鞅、鞅和可料增量過(guò)程相互之間的關(guān)系。,如果 是一個(gè)Ft -適應(yīng)的右連續(xù)的下鞅， E St ,t ，則對(duì)于任何0 t ， St 都可以分解為下列形式： St = Mt + At Mt是右連續(xù)鞅， At是一個(gè)Ft -可料的增量過(guò)程。,Doob-Meyer定理,考慮一個(gè)歐式看漲期權(quán)，到期日收益函數(shù)為， 在 t 時(shí)刻(tT)，該期權(quán)價(jià)格ct是待定的，但可根據(jù)t 時(shí)刻的信息預(yù)測(cè)它在到期日的期望價(jià)值： 假定r是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，那么 是否就是它在t時(shí)刻的“公平”市