社會(huì)統(tǒng)計(jì)學(xué)(盧淑華),第十章列聯(lián)表

1、第十講,列聯(lián)表,第一節(jié) 概念, ,1、研究?jī)?nèi)容 1）研究?jī)啥愖兞康年P(guān)系 2）為研究y的分類是否與x之分類有關(guān)，將 數(shù)據(jù)先按x分類，再分別統(tǒng)計(jì)x分類情況下y 的分類。 3）按兩個(gè)定類變量進(jìn)行交叉分類的頻次分 配表，即二維列聯(lián)表。,4、列聯(lián)表的一般形式,Nij：x=xi y=yj時(shí)所具有的頻次,y,x,y1 y2,x1 N11 N12,x2 N21 N22,. . .,. . .,. . .,xc Nc1 Nc2,. . .,. . .,. . .,. . .,yr,N1r,N2r,.,.,.,Ncr,學(xué)生上網(wǎng)調(diào)查 (統(tǒng)計(jì)各項(xiàng)比例，能發(fā)現(xiàn)什么問題？）,男生,女生,聊天 玩游戲 網(wǎng)戀 學(xué)習(xí),20

2、50 15 15,20 50 15 15,Nij,后者可以通過前者求出 p N ,N, p 1,i 1 j 1,2、列聯(lián)表中變量的分布, ,1）聯(lián)合分布 對(duì)于二變量來說，為了知道分布，集合中的變量值，必須同時(shí)具有x和y 兩個(gè)變量的取值。 （ x1 y1 N11） （ x2 y2 N12）,（ x1 yr,N1r）,此稱聯(lián)合分布, ,（ xi yj Nij） （ xc yr Ncr）,Nij,表示頻次時(shí),聯(lián)合頻次分布表,Pij 表示概率時(shí) 聯(lián)合概率分布表, ,ij,Nij,c r i 1 j 1,c r,ij, ,2）邊緣分布： 對(duì)聯(lián)合分布進(jìn)行簡(jiǎn)比，只研究其中某一 變量的分布，而不管另一變量的取

3、值， 這樣就得到邊緣分布。 按行加總y的邊緣分布： P y yr P1r P2 r Pcr Pr 按列加總x的邊緣分布： Px xc Pc1 P2c Pcr Pc, ,3）條件分布： 將其中一個(gè)變量控制起來取固定值，再看另 一變量的分布，即條件分布。 控制x時(shí)，條件分布中的每一項(xiàng)都以邊緣分布 的 N1* N 2* N c* 為分母 控制y時(shí)，條件分布中的每一項(xiàng)都以邊緣分布 的 N *1 N *2 N *r 為分母,3、列聯(lián)表中的相互獨(dú)立性：, ,1）列聯(lián)表研究定類變量之間的關(guān)系，實(shí)際上 是通過條件分布的比較進(jìn)行的。 如果兩個(gè)變量之間沒有關(guān)系，則稱變量之間 是相互獨(dú)立的。 2）如果兩個(gè)變量之間是

4、相互獨(dú)立的，則必然 存在變量的條件分布與其邊緣分布相同 。,條件分布=邊緣分布是列聯(lián)表檢驗(yàn)的基礎(chǔ)：,（控制x時(shí)）,N* j N,N N i*,Nij N,N* j N,Nij Ni*,N*1 N,N 21 N 2*,N11 N1*,Pij Pi*P* j, ,ni,n j,Pi ,第二節(jié) 列聯(lián)表的檢驗(yàn), ,一、原假設(shè)： 將總體中變量間無關(guān)系或相互獨(dú)立作為檢驗(yàn),的原假設(shè)。 H 0 : pij,pi* p* j,總體 pi* 和 p* j 未知時(shí)，用樣本 p i 和 P j 代 替。 P j n n,2 2 c r 2 2 ij,E,ij,ni* n* j n,E np,* j ij,統(tǒng)計(jì)量的討論

5、,1、對(duì)于22列聯(lián)表，由于格數(shù)過少，為,減少作為離散觀測(cè)值與作為連續(xù)型變量x 值之間的偏差，可作連續(xù)性修正： 2 2 2 2 Eij 2、二項(xiàng)總體 2 2 2 E1 E2 p0 為總體成數(shù) 1 2,男女休閑愛好, ,x,ni Ei ,x r 1,4、使用統(tǒng)計(jì)量 x 對(duì)列聯(lián)表迚行檢驗(yàn)，每一格值的 E,值時(shí) nij Eij 值的波勱就會(huì)較大。,2,那么在計(jì)算,3、對(duì)多項(xiàng)總體：, ,Ei,2,統(tǒng)計(jì)量： r 2 i 1,2,p,E,i,i 0, n,ij,2 要保持在一定數(shù)目乊上。如果有的格值 Eij 過小， 2 x Eij,每格要求：,處理方法：將期望值偏小的格值合并。 右例，做檢驗(yàn)。,Eij,20

6、 30 3 1,nij,18,29,4,2,E ij 5,注意： 列聯(lián)表就其檢驗(yàn)內(nèi)容來看是雙邊檢驗(yàn)，但從 形式上看，卻又很像單邊檢驗(yàn)。其判斷的內(nèi) 容僅是變量間是否存在關(guān)系。至于方向，由 于列聯(lián)表屬定類變量，因此是不存在的。,ni Ei , ,x,E,i 1,x r 1,列聯(lián)表檢驗(yàn)步驟, ,1、 H,0,H,1,i,2,2,2、統(tǒng)計(jì)量： r 2 3、 4、比較,例：以下是老、中、青三代對(duì)某影片的抽 樣，能否認(rèn)為三代人對(duì)該影片評(píng)價(jià)有顯 著差異,老,中,青,很高 一般,45 47,39 26,21 22,第三節(jié) 列聯(lián)強(qiáng)度, ,一、變量間的相關(guān) 1、列聯(lián)表中的頻次分布情況，不僅是檢驗(yàn)是否存 在關(guān)系的依

7、據(jù)，同時(shí)也是度量變量間關(guān)系強(qiáng)弱的依 據(jù)。相關(guān)性程度越高，說明社會(huì)現(xiàn)象與社會(huì)現(xiàn)象間 的關(guān)系愈密切。 2、列聯(lián)表中變量間的關(guān)系的強(qiáng)度分析，可以將頻 次轉(zhuǎn)化為條件分布，然后比較自變量取不同值時(shí)， 因變量條件分布的不同。,例,右表中，男生上網(wǎng)玩游,生；,想一想，當(dāng)x取值大于2,時(shí)，怎樣比較？,戲的比例高于女生；而 上網(wǎng)聊天的比例低于女 y x,男生,女生,聊天,玩游戲 40 67% 10 25%,30 33% 30 75%,即：ad bc, ,二、 2 2表 系數(shù)和系數(shù),列聯(lián)表中兩個(gè)變量都只有二種取值時(shí)，就是 22表 y,x,a c,b d,x1,x,2,y1 y2 ,當(dāng)變量間無關(guān)系時(shí)（獨(dú)立） a b

8、 a c b d 對(duì)于22表，無論 系數(shù)或系數(shù)，都以差值 ad bc 為基礎(chǔ)進(jìn)行的討論，同時(shí)，也把關(guān)系強(qiáng)度的取值范圍定義 在1，1之間。, ,1、 系數(shù),ad bc a bc d a cb d , , 0 當(dāng)兩變量相互獨(dú)立 1 b、c為零， 值最大1 a、d為零， 值最小-1 1 一般情況 前例中計(jì)算,Q , ,2、系數(shù) ad - bc ad bc 當(dāng)a、b、c、d中有一個(gè)是零時(shí)，則 Q 1 對(duì)應(yīng)的實(shí)際情況是配對(duì)樣本研究 3、 、Q 系數(shù)的選擇 當(dāng)自變量的不同取值都會(huì)影響因變量 時(shí)，用 系數(shù)。當(dāng)存在控制組時(shí)，用 系數(shù),x,x 值構(gòu)成 系數(shù), ,4、r c 列聯(lián)表 2 2 2 Eij 期望頻次

9、Eij 是基于無相關(guān)前提下計(jì)量出來的，,2 因 愈大，表示變量間距離無相關(guān)性愈遠(yuǎn)。 2 x2 n 其與22表中 系數(shù)是一致，22表中是 r c 表中 系數(shù)的特例。,x, n,c值在0，1但永遠(yuǎn)小于1，又出現(xiàn)了v系,數(shù)：,由于r c 表的數(shù)增多后， 值增加，沒 有上限，無法比較，因此以c系數(shù)修正。,x,c ,2,2,2 minr 1, c 1,V , 1,V 的取值：o V,表示所減少的相對(duì)誤差，越大表示y與x關(guān),2）以減少誤差比例為基礎(chǔ)的相關(guān)性測(cè)量, ,PRE不受變量層次的限制，通過現(xiàn)象之間的關(guān) 系研究，從一個(gè)現(xiàn)象預(yù)測(cè)另一個(gè)現(xiàn)象。 PRE E1 E 2 E1 E1 ：不知y與x有關(guān)系時(shí)，預(yù)測(cè)y

10、的全部誤差, E 2 ：知道y與x有關(guān)系后，用x去預(yù)測(cè)y的全部誤 差,E1 E2 E1 系越密切。,誤差為： jnn max,為 nn max, ,E,PRE的取值范圍： PRE=0：兩變量是無相關(guān)（知道x與否無 助于y的預(yù)測(cè)，1 E 2 誤差不變） PRE=1：兩變量是完全相關(guān)的（知道x與y 有關(guān)系后，可以消除預(yù)測(cè)的全部誤差） 0 PRE 1：其他 E1 ：不知y與x 有關(guān)，用y的邊緣和 n的最 大值去猜y值，猜中的頻次會(huì)更多。全部 E 2 ：知道有關(guān)后，先看它屬于x的哪一 類，然后用這一類的眾值去猜y值，誤差 c ij i 1, j, max n max n,n max n ,兩種系數(shù)：,

11、 , ,* j,ij * j,c i 1,1） 系數(shù) E1 E2 E1 即：,每列最高頻次之和 y邊緣和中最高頻次,觀察總數(shù) y邊緣和中最高頻次 的取值范圍： x與y無相關(guān)： 0 ；x與y全相關(guān)： 1,PRE，所得 值稱作 y ，,N,D,PRE，所得 值稱作 x，, N,D,Dy Dx , D D y D D x, , 值的非對(duì)稱性：,1）以x為自變量，用對(duì)y的預(yù)測(cè)來定義 y y y 2）以y為自變量，用對(duì)x的預(yù)測(cè)來定義 x x x 3）如果x和y孰因孰果不明顯的情況，這 時(shí)可同時(shí)計(jì)算 y 和 x ，并取其平均 值，作為x和y間的相關(guān)程度。,x x,N y N Dy D, y x y x ,

12、 ,邊緣分布所提供的信息。c r,n 1, n, E,n,n, E,i 1 j 1 j 1,1,n n,E,n,系數(shù)又有修正：, , 系數(shù)： 對(duì) E1 和 E 2 的定義比,當(dāng)不知道x與y有關(guān)系預(yù)測(cè)y時(shí)，充分考慮到y(tǒng)值 2 r ij 2 * j 1 2 i* r 2 1 * j j 1 的取值范圍： x與y無相關(guān)： 0（邊緣分布與條件分布相同） x與y全相關(guān)： 1（各行、各列均只有一個(gè)不為 0的頻次）,以前例為參照的推導(dǎo)：,1、不知x與y有關(guān)：,猜游戲與聊天：用邊緣分布：40%，60%,隨機(jī)指派40人，猜對(duì)游戲的人數(shù)4040/100=16 猜錯(cuò)的人數(shù)40-4040/100=40（1-40/10

13、0）=24,同理：,隨機(jī)指派60人，猜對(duì)聊天的人數(shù)6060/100=36 猜錯(cuò)的人數(shù)60-6060/100=60（1-60/100）=24,j1 n * j, ,E1即為猜錯(cuò)人數(shù)之和。 推廣：,1 r 2 n, n ,n*2 n,) n*2 (1 ,n*1 n,E1 n*1 (1 ,) n*r (,知道x與y有關(guān)后：用y的條件分布來猜y值,當(dāng)x=男生時(shí) 隨機(jī)10人，猜對(duì)聊天的人數(shù)：1010/50 猜錯(cuò)的人數(shù)：10-1010/50 隨機(jī)40人，猜對(duì)游戲的人數(shù)：4040/50 猜錯(cuò)的人數(shù)：40-4040/50 猜錯(cuò)二者相加：=（10-1010/50）+（40-4040/50） =50-1/50 （102 +402 ） 同理：當(dāng)x=女生時(shí)？,j1,E2即為全部誤差之和。,推廣：,1