河北省秦皇島市盧龍縣中學2019_2020學年高二數(shù)學上學期期中試題含解析

1、河北省秦皇島市盧龍縣中學2019-2020學年高二數(shù)學上學期期中試題（含解析）一.選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分.1. 直線的傾斜角為（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】由直線方程求出直線的斜率，再利用傾斜角的正切值等于斜率即可求得【詳解】設直線的傾斜角是，直線化為，故選c【點睛】本題考查了直線的傾斜角與斜率的關(guān)系，屬于基礎題2. 命題“”的否定是（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】利用全稱命題的否定是特稱命題，即可直接得解.【詳解】因為全稱命題的否定是特稱命題，所以命題“，”的否定為“，”.故選：d.【點睛】本題考查了全稱命題的否定，

2、屬于基礎題.3. 已知的頂點坐標為，則邊上的中線的長為（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】利用中點坐標公式求得，再利用兩點間距離公式求得結(jié)果.【詳解】由，可得中點又 本題正確選項：【點睛】本題考查兩點間距離公式的應用，關(guān)鍵是能夠利用中點坐標公式求得中點坐標.4. 已知直線與圓相交于a，b兩點(o為坐標原點)，則“”是“”的a 充分不必要條件b. 必要不充分條件c. 充要條件d. 既不充分也不必要條件【答案】a【解析】【分析】設，聯(lián)立，化為，由，可得，根據(jù)韋達定理解出，進而可得結(jié)果.【詳解】設，聯(lián)立，化為，直線與圓相交于兩點，為坐標原點），解得，解得，則“”是“”的充分不必要

3、條件，故選a.【點睛】本題主要考查充分條件與必要條件的定義、直線與圓的位置關(guān)系，以及平面向量數(shù)量積公式的應用，屬于中檔題. 利用向量的位置關(guān)系求參數(shù)是出題的熱點，主要命題方式有兩個：（1）兩向量平行，利用解答；（2）兩向量垂直，利用解答.5. 若直線和直線平行，則的值為（ ）a. b. c. 或d. 【答案】a【解析】【分析】由題知兩直線平行，直接列出()即可求得【詳解】直線和直線平行，可得，得.故選：a.【點睛】本題考查了已知兩直線平行求參的問題，注意要排除兩直線重合的情況，屬于基礎題.6. q是橢圓上一點，為左、右焦點，過f1作外角平分線的垂線交的延長線于點，當點在橢圓上運動時，點的軌跡是

4、（ ）a. 直線b. 圓c. 橢圓d. 雙曲線【答案】b【解析】設從引的外角平分線的垂線，垂足為，中，是的平分線，可得，根據(jù)橢圓的定義，可得，即動點到點的距離為定值，因此,點的軌跡是以點為圓心，半徑為的圓，故選b.7. 已知雙曲線的右焦點與拋物線的焦點重合，且其漸近線方程為，則該雙曲線的方程為（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】先求出拋物線的焦點，即可得雙曲線的焦點，可得到的值，結(jié)合雙曲線的漸近線方程可以設雙曲線的方程為,由雙曲線的幾何性質(zhì)可得 , 可解得,將代入所設雙曲線的方程即可得結(jié)果.【詳解】因為拋物線的焦點為，所以雙曲線的右焦點也為,則有，因為雙曲線的漸近線方程為,

5、所以可設其方程為,因,則 ,解得，則雙曲線的方程為,故選b .【點睛】本題主要考查拋物線的方程與與性質(zhì)，以及雙曲線的方程與性質(zhì)，屬于中檔題. 求解雙曲線方程的題型一般步驟：（1）判斷焦點位置；（2）設方程；（3）列方程組求參數(shù)；（4）得結(jié)論.8. 古希臘數(shù)學家阿波羅尼奧斯的著作圓錐曲線論中給出了圓的另一種定義：平面內(nèi)，到兩個定點、距離之比是常數(shù)的點的軌跡是圓.若兩定點、的距離為3，動點滿足，則點的軌跡圍成區(qū)域的面積為（ ）.a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】以a為原點，直線ab為x軸建立平面直角坐標系，首先確定圓的方程，然后確定其面積即可.【詳解】以a為原點，直線ab為x軸建立

6、平面直角坐標系，則設，依題意有，化簡整理得，即，則圓的面積為故選d【點睛】本題考查軌跡方程求解、圓的面積的求解等知識，屬于中等題9. 下列說法正確的是（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【詳解】對a,若 或，故錯誤；或或a與斜交 ，故錯誤由線面垂直的性質(zhì)定理可知，若，則，正確或a與斜交 ，故錯誤本題選擇c選項.10. 唐代詩人李頎的詩古從軍行開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河.”詩中隱含著一個有趣的數(shù)學問題“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設軍營所在區(qū)域為，若將軍從點處出發(fā)，河岸線

7、所在直線方程為，并假定將軍只要到達軍營所在區(qū)域即回到軍營，則“將軍飲馬”的最短總路程為（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】先求出點a關(guān)于直線的對稱點，點到圓心的距離減去半徑即為最短.【詳解】解：設點a關(guān)于直線的對稱點，的中點為，故解得，要使從點a到軍營總路程最短，即為點到軍營最短的距離，“將軍飲馬”的最短總路程為，故選a.【點睛】本題考查了數(shù)學文化問題、點關(guān)于直線的對稱問題、點與圓的位置關(guān)系等等，解決問題的關(guān)鍵是將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，建立出數(shù)學模型，從而解決問題.11. 已知三棱錐中，平面，且，.則該三棱錐外接球的體積為( )a. b. c. d. 【答案】d【解析】【

8、詳解】， 是以 為斜邊的直角三角形，其外接圓半徑 ，則三棱錐外接球即為以為底面，以 為高的三棱柱的外接球，三棱錐外接球的半徑滿足 故三棱錐外接球的體積 故選d.【點睛】本題考查的知識點是球內(nèi)接多面體，其中根據(jù)已知求出球的半徑是解答的關(guān)鍵12. 已知雙曲線c：-=1（）的左、右焦點分別為，過點且與雙曲線的一條漸近線垂直的直線與的兩條漸近線分別交于兩點，若=，則雙曲線c的離心率為（ ）.a. b. c. d. 或【答案】d【解析】【分析】當位于的兩側(cè)時，由=知，可得，在中，由，由勾股定理可得的關(guān)系，即可求出離心率.當位于的同側(cè)時，由圖可以找出的關(guān)系，即可求出離心率.【詳解】由題意知：雙曲線的漸近線

9、方程為 ，當位于的兩側(cè)時，如圖設在上， ，則 ， ， ， ，即 ， ， ，在中，由勾股定理得：，.當位于的同側(cè)時， 點到直線距離 ， ， ， ，直線與垂直，是等腰三角形，由圖知 ， ， ， 是直角三角形.，故選：d【點睛】本題主要考查了圓錐曲線的性質(zhì)和離心率，找出關(guān)于的關(guān)系式是關(guān)鍵，屬于中檔題.二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13. 已知拋物線的方程為，則的焦點坐標是_【答案】【解析】【分析】把拋物線的方程轉(zhuǎn)化為標準方程，再由標準方程得出的焦點坐標.【詳解】解：由拋物線的方程為，得出其標準方程為，則焦點坐標為.故答案為：.【點睛】本題主要考查拋物線的標準方程以及由標準方程

10、求拋物線的焦點，屬于基礎題型.14. 過點的直線被曲線截得的弦長為2，則直線的方程為_.【答案】或【解析】【分析】考慮斜率存在和不存在兩種情況，利用垂徑定理計算得到答案.【詳解】圓的方程可化為圓心，半徑為；直線過點且被圓截得的弦長為2，的斜率不存在時，直線，圓心到的距離為弦長為：滿足題意；的斜率存在時，設：，即， 圓心到的距離，：綜上所述，直線的方程或；故答案為或【點睛】本題考查了直線與圓相交問題，忽略掉斜率不存在的情況是容易發(fā)生的錯誤.15. 已知直線，若成等差數(shù)列，則當點到直線的距離最大時，直線的斜率是_.【答案】【解析】【分析】由已知得直線過定點，根據(jù)點到直線距離定義求解.【詳解】根據(jù)題

11、意得即，直線的方程為，可化為，所以直線過點，若點到直線的距離最大，則直線 ，所以，解得.【點睛】本題考查等差數(shù)列，直線方程的應用，兩直線垂直的斜率關(guān)系.16. 已知拋物線：，過焦點作傾斜角為的直線交拋物線于，兩點，且，則_.【答案】3【解析】【分析】首先寫出拋物線的焦點坐標，然后求解直線的方程，利用焦半徑公式求解比值【詳解】解：拋物線y22px（p0）的焦點坐標為（，0），直線l傾斜角為60，直線l的方程為：y0（x）設直線與拋物線的交點為a（，）、b（，），|af|，|bf|，聯(lián)立方程組，消去y并整理，得12x220px+3p20，解得，|af|2p，|bf|，|af|：|bf|3：1，的值

12、為3故答案為3【點睛】本題重點考查了拋物線的幾何性質(zhì)、方程、直線與拋物線的位置關(guān)系等知識，屬于中檔題三、解答題（本大題共6小題，其中第17題10分，其余各題均12分，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17. 已知命題：方程表示橢圓，命題：，.（1）若命題為真，求實數(shù)的取值范圍；（2）若為真，為真，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1) ;(2) .【解析】試題分析:(1) 命題為真，根據(jù)一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象討論和,求出范圍即可;(2)根據(jù)復合命題的關(guān)系可知p真q假,求出m的取值范圍即可.試題解析:（1）命題為真，當 時，；當時，不等式恒成立.綜上，. （2）若為真，則. .若為

13、真，為真，為假.18. 已知長方體中，棱，棱，連接，過b點作的垂線交于e，交于f. （1）求證：平面；（2）求平面與直線所成角的正弦值.【答案】（1）證明見詳解；（2）【解析】【分析】（1）利用已知條件證明和即可得證.（2）連接，由，知 平面，所以即為直線與平面所成的角.由條件，即可求出直線與平面所成的角的正弦值.【詳解】 （1）平面， ，連接，則， ， 平面，又 平面， ，又， ，平面，則，又 ，平面，（2）連接， 平面，即為直線與平面所成的角.， ，, ，所以平面與直線所成角正弦值.【點睛】本題主要考查了線面垂直的證明以及線面角的求法，屬于常考題.19. 已知的頂點邊上的中線所在直線方程為

14、，邊上的高所在直線方程為.求（1）頂點的坐標；（2）直線的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求所在邊的直線方程，然后與所在直線方程建立方程組求解.（2）先設，求出，代入直線方程，再根據(jù)在所在直線上，代入的直線方程，建立方程組求出點b的坐標，再用兩點式寫出bc所在的直線方程.【詳解】（1）因為邊上的高所在直線方程為，所以，又因點，所以所在邊的直線方程為：又因為邊上的中線所在直線方程為，由，得所以（2）設，則的中點在中線上所以，即又點在所在直線上所以由，解得所以所以直線的方程，即【點睛】本題主要考查兩條直線的交點，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.20. 已知為橢圓的右焦點，點在

15、上，且軸，橢圓的離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）若直線與橢圓相交于，兩點，且（為坐標原點），求的取值范圍.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，先求出，再由離心率求出，根據(jù)求出，即可得出橢圓方程；（2）先設，聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達定理與，以及判別式大于0，即可求出的取值范圍.【詳解】（1）因為為橢圓的右焦點，點在上，且軸，所以；又橢圓的離心率為，所以，因此，所以橢圓的方程為；（2）設，由得 ，所以，故，由，得，即，整理得，解得；又因，整理得，解得或；綜上，的取值范圍是.【點睛】本題主要考查橢圓的標準方程，以及根據(jù)直線與橢圓位置關(guān)系求參數(shù)的問題，通常需要聯(lián)立直線與橢圓方

16、程，結(jié)合韋達定理，判別式等求解，屬于常考題型.21. 如圖，四棱錐中，底面為菱形，平面，為的中點（）證明：平面；（）設，三棱錐的體積為，求二面角的余弦值【答案】()證明見解析；（）.【解析】【分析】() )連接交于點，連接，根據(jù)中位線定理可得，由線面平行的判定定理即可證明平面；（）以點為原點，以方向為軸，以方向為軸，以方向為軸，建立空間直角坐標系，分別求出平面 與平面 的一個法向量，根據(jù)空間向量夾角余弦公式，可得結(jié)果.【詳解】()連接交于點，連接，則為中點，為的中點，所以，平面平面，所以平面； （）設菱形的邊長為， ，則.取中點，連接.以點為原點，以方向為軸，以方向為軸，以方向為軸，建立如圖所

17、示坐標系. ， ，設平面的法向量為，由，得，令，則，平面的一個法向量為，即二面角的余弦值為.【點晴】本題主要考查線面平行的判定定理以及利用空間向量求二面角，屬于中檔題題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當?shù)目臻g直角坐標系；（2）寫出相應點的坐標，求出相應直線的方向向量；（3）設出相應平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)定理結(jié)論求出相應的角和距離.22. 已知拋物線，過其焦點的直線與拋物線相交于、兩點，滿足.（1）求拋物線的方程；（2）已知點的坐標為，記直線、的斜率分別為，求的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）設直線的方程為，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，消去，利用韋達定理并結(jié)合條件可求出實數(shù)的值，由此得出拋物線的方程；（2）由（1）得出直線的方程為，將該直線方程與拋