高中數(shù)學(xué) 每日一題（3月20日-3月26日）文 新人教A版選修4-4

1、3月20日 平面直角坐標(biāo)系高考頻度： 難易程度：已知平行四邊形ABCD，求證：AC2BD22(AB2AD2)【參考答案】見試題解析【試題解析】如圖所示，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，邊AB所在的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系xAy，則A(0，0)設(shè)B(a，0)，C(b，c)由對稱性知D(ba，c)，所以AB2a2，AD2(ba)2c2，AC2b2c2，BD2(b2a)2c2AC2BD24a22b22c24ab2(2a2b2c22ab)，而AB2AD22a2b2c22ab，所以AC2BD22(AB2AD2)【解題必備】（1）平面直角坐標(biāo)系：在平面內(nèi)兩條互相垂直的數(shù)軸構(gòu)成了平面直角坐標(biāo)系，其中，橫軸表示為x軸

2、，縱軸表示為y軸，兩軸的交點(diǎn)叫做坐標(biāo)原點(diǎn)，習(xí)慣上用O表示（2）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P與有序?qū)崝?shù)對(x，y)能夠建立一一對應(yīng)關(guān)系，就是說，如果給定一點(diǎn)P，那么就有唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)與該點(diǎn)對應(yīng)，反過來，如果給定有序?qū)崝?shù)對(x，y)那么就有唯一的點(diǎn)P與之對應(yīng)（3）兩點(diǎn)間的距離公式：在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之間的距離公式為|P1P2|；中點(diǎn)坐標(biāo)公式：在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，若兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)所確定線段的中點(diǎn)為M(x，y)，則一定有，（4）本題實(shí)際上為平行四邊形的一個(gè)重要結(jié)論：平行四邊形的兩條對角線的平方和等于其四邊的平方和一般可有兩種方

3、法解決：運(yùn)用代數(shù)方法即解析法實(shí)現(xiàn)幾何結(jié)論的證明，這種“以算代證”的解題策略是坐標(biāo)方法的表現(xiàn)形式之一；也可運(yùn)用向量的數(shù)量積運(yùn)算，這種運(yùn)算更加言簡意賅，給人以簡捷明快之感（5）應(yīng)用坐標(biāo)法解決實(shí)際問題的步驟如下：1點(diǎn)P(4，5)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為A(4，5)B(4，5)C(4，5)D(5，4)2臺(tái)風(fēng)中心從A地以20 km/h的速度向東北方向移動(dòng)，離臺(tái)風(fēng)中心30 km內(nèi)的地區(qū)為危險(xiǎn)區(qū)，城市B在A地正東40 km處，則城市B處于危險(xiǎn)區(qū)內(nèi)的時(shí)間為_h3已知矩形ABCD，對于矩形所在的平面內(nèi)任意一點(diǎn)M，試用坐標(biāo)法證明：AM2CM2BM2DM21B 【解析】點(diǎn)(x，y)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，所以

4、點(diǎn)(4，5)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(4，5)故選B2 【解析】如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則B(40，0)，以點(diǎn)B為圓心，30為半徑的圓的方程為(x40)2y2302，臺(tái)風(fēng)中心移動(dòng)到圓B內(nèi)時(shí)，城市B處于危險(xiǎn)區(qū)，臺(tái)風(fēng)中心移動(dòng)的軌跡為直線yx，與圓B相交于點(diǎn)M，N，點(diǎn)B到直線yx的距離故，故城市B處于危險(xiǎn)區(qū)內(nèi)的時(shí)間為 h3【解析】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)O，AB所在直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系xOy，則A(0，0)設(shè)B(a，0)，C(a，b)，D(0，b)，M(x，y)，則AM2CM2x2y2(xa)2(yb)22(x2y2)(a2b2)2(axby)，BM2

5、DM2(xa)2y2x2(yb)22(x2y2)(a2b2)2(axby)，所以AM2CM2BM2DM23月21日 平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換（1）高考頻度： 難易程度：將正弦曲線ysin x的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)縮短為原來的，所得曲線的方程為Aysin 3xBy3sin xCysin xDysin x【參考答案】A【試題解析】伸縮變換為，變形得，代入ysin x，得ysin 3x，即所求曲線方程為ysin 3x故選A【解題必備】（1）設(shè)點(diǎn)P(x，y)是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn)，在變換：的作用下，點(diǎn)P(x，y)對應(yīng)到點(diǎn)P(x，y)，稱為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換，簡稱伸縮變換（2）三角

6、函數(shù)的伸縮變換（由函數(shù)的圖象變換得到的圖象）：方法1：的圖象的圖象的圖象的圖象方法2：的圖象的圖象的圖象的圖象注意：求已知三角函數(shù)圖象經(jīng)過平移后的圖象的函數(shù)解析式，或由平移前后的函數(shù)圖象推測平移過程是高考的?？键c(diǎn)，題目難度不大，解題的關(guān)鍵是牢記確定圖象的左右平移，確定圖象的橫向伸縮，A確定圖象的縱向伸縮1為了得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象A向左平移個(gè)單位B向右平移個(gè)單位C向左平移個(gè)單位D向右平移個(gè)單位2在同一平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過伸縮變換后，曲線C變?yōu)榍€，則曲線C的方程為A50x272y21B9x2100y21C10x224y21Dx2y213在伸縮變換：作用下，點(diǎn)P(1，2)變換為點(diǎn)P，

7、則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_1D 【解析】，為了得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，故選D2A 【解析】將坐標(biāo)直接代入新方程，即可得原來的曲線方程將直接代入2x28y21，得2(5x)28(3y)21，則50x272y21即所求曲線C的方程3(2，1) 【解析】根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換公式，x1，y2，x2x2，yy1，所以P(2，1)3月22日 平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換（2）高考頻度： 難易程度：在同一平面直角坐標(biāo)系中，求一個(gè)伸縮變換，使曲線變換為正弦曲線，并敘述變換的過程【參考答案】見試題解析【試題解析】待定系數(shù)法將變換后的曲線的方程改寫為，設(shè)伸縮變換為，代入得，即，故，故所求變換

8、為，即先使曲線上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，將曲線上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的，得到曲線，再將其縱坐標(biāo)縮短為原來的，得到正弦曲線【解題必備】（1）點(diǎn)A(a，b)在伸縮變換：的作用下，可得點(diǎn)A(a，b)；若點(diǎn)B在伸縮變換：的作用下，得點(diǎn)B(c，d)，則點(diǎn)（2）一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過伸縮變換，直線伸縮后仍為直線，雙曲線伸縮后仍為雙曲線，拋物線伸縮后仍為拋物線，而橢圓伸縮后可能是橢圓或圓1將曲線上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)縮短為原來的，得到的曲線方程為ABCD2將對數(shù)函數(shù)圖象上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍得到的曲線方程為_3在同一平面直角坐標(biāo)系中，求一個(gè)伸縮變換，使得圓變換為橢圓1A 【解析

9、】由橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，知，縱坐標(biāo)縮短為原來的，知，故變換后的曲線方程為，即，故選A2 【解析】設(shè)P(x，y)為上任意一點(diǎn)，變換后的對應(yīng)點(diǎn)為P(x，y)，由題意知伸縮變換為，所以，代入，得，即3【解析】將變換后的橢圓的方程改寫為，設(shè)伸縮變換為，代入上式得，即，與比較系數(shù)，可得得且，故，所以所求伸縮變換為即先使圓上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，將圓上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的3倍，得到橢圓，再將該橢圓的縱坐標(biāo)伸長為原來的2倍，得到橢圓3月23日 極坐標(biāo)系的概念高考頻度： 難易程度：若120，12，則點(diǎn)M1(1，1)與點(diǎn)M2(2，2)的位置關(guān)系是A關(guān)于極軸所在直線對稱B關(guān)于極點(diǎn)對稱C關(guān)于過極點(diǎn)垂直于極軸的直

10、線對稱D兩點(diǎn)重合【參考答案】A【試題解析】因?yàn)辄c(diǎn)(，)關(guān)于極軸所在直線對稱的點(diǎn)為(，)由此可知點(diǎn)(1，1)和(2，2)滿足120，12，關(guān)于極軸所在直線對稱故選A【解題必備】（1）如下圖所示，在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)O，叫做極點(diǎn)，自極點(diǎn)O引一條射線Ox，叫做極軸；再選定一個(gè)長度單位、一個(gè)角度單位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆時(shí)針方向），這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系（2）設(shè)M是平面內(nèi)一點(diǎn)，極點(diǎn)O與點(diǎn)M的距離|OM|叫做點(diǎn)M的極徑，記為；以極軸Ox為始邊，射線OM為終邊的角xOM叫做點(diǎn)M的極角，記為有序數(shù)對叫做點(diǎn)M的極坐標(biāo)，記為一般地，不作特殊說明時(shí)，我們認(rèn)為，可取任意實(shí)數(shù)（3）一般地，極坐標(biāo)與表示同一

11、個(gè)點(diǎn)特別地，極點(diǎn)O的坐標(biāo)為(0，)(R)和直角坐標(biāo)不同，平面內(nèi)一個(gè)點(diǎn)的極坐標(biāo)有無數(shù)種表示如果規(guī)定，那么除極點(diǎn)外，平面內(nèi)的點(diǎn)可用唯一的極坐標(biāo)表示；同時(shí)，極坐標(biāo)表示的點(diǎn)也是唯一確定的（4）由極坐標(biāo)確定點(diǎn)的位置的步驟：取定極點(diǎn)O；作方向?yàn)樗较蛴业纳渚€Ox為極軸；以極點(diǎn)O為頂點(diǎn)，以極軸Ox為始邊，通常按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)極軸Ox確定出極角的終邊；以極點(diǎn)O為圓心，以極徑為半徑畫弧，弧與極角終邊的交點(diǎn)即是所求點(diǎn)的位置1點(diǎn)關(guān)于極軸的對稱點(diǎn)的極坐標(biāo)為ABCD2將極軸Ox繞極點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到射線OP，在OP上取點(diǎn)M，使|OM|4，則0，0，2)時(shí)點(diǎn)M的極坐標(biāo)是ABCD3已知極坐標(biāo)系中，極點(diǎn)為O，在直線OM上與

12、點(diǎn)M的距離為4的點(diǎn)的極坐標(biāo)為_1D 【解析】如圖，點(diǎn)P關(guān)于極軸Ox的對稱點(diǎn)為故選D2A 【解析】因?yàn)閨OM|4，與OP終邊相同角為2k，kZ，令k1，所以故選A3或 【解析】如圖所示，|OM|3，xOM在直線OM上取點(diǎn)P，Q，使|OP|7，|OQ|1，顯然有|PM|OP|OM|734，|QM|OM|OQ|314點(diǎn)P，Q都滿足條件，且xOP，xOQ故所求極坐標(biāo)為或3月24日 極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化高考頻度： 難易程度：如圖所示，已知三個(gè)頂點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為，極點(diǎn)（1）判斷的形狀；（2）求的面積【參考答案】（1）OAB為等邊三角形；（2）【試題解析】所給各點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為，（1），為等邊三角形（2

13、），為等腰三角形的中點(diǎn)為，【解題必備】設(shè)M是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，它的直角坐標(biāo)是(x，y)，極坐標(biāo)是(，)(0)，于是極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式如下表：點(diǎn)M直角坐標(biāo)(x，y)極坐標(biāo)(，)互化公式，在一般情況下，由tan 確定角時(shí)，可根據(jù)點(diǎn)M所在的象限取最小正角1限定，時(shí)，若點(diǎn)M的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)相同，則點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為_2已知點(diǎn)M的極坐標(biāo)為，則點(diǎn)M關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的直角坐標(biāo)為_3在極坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)和，則PQ的中點(diǎn)M的極坐標(biāo)為_1(，0) 【解析】點(diǎn)M的極坐標(biāo)為(，)，設(shè)其直角坐標(biāo)為(x，y)，依題意得x，y，即x2y2x2，故y0，0，所以M(，0)2 【解析】因?yàn)辄c(diǎn)M的極坐標(biāo)為，所以，所以點(diǎn)M

14、的直角坐標(biāo)為，所以點(diǎn)M關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的直角坐標(biāo)為3 【解析】先化為直角坐標(biāo)，再化為極坐標(biāo)，中點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為，中點(diǎn)M的極坐標(biāo)為3月25日 周六培優(yōu)特訓(xùn)高考頻度： 難易程度：已知邊長為的正方形的中心在極點(diǎn)，且一組對邊與極軸平行，求正方形的頂點(diǎn)的極坐標(biāo)（限定）【參考答案】見試題解析【試題解析】如下圖所示，由題意知，故正方形的頂點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為，【解題必備】準(zhǔn)確理解極坐標(biāo)系的概念是解題的關(guān)鍵，由點(diǎn)的極坐標(biāo)(，)可以確定點(diǎn)的位置，同樣地，由點(diǎn)的位置可以確定其極坐標(biāo)1已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，且，則點(diǎn)的直角坐標(biāo)為_2學(xué)?？萍夹〗M在計(jì)算機(jī)上模擬航天器變軌返回試驗(yàn)設(shè)計(jì)方案如圖所示，航天器運(yùn)行(按順時(shí)針方向)的軌跡方

15、程為，變軌（即航天器運(yùn)行軌跡由橢圓變?yōu)閽佄锞€）后返回的軌跡是以y軸為對稱軸，為頂點(diǎn)的拋物線的實(shí)線部分，降落點(diǎn)為觀測點(diǎn)為，（1）求航天器變軌后的運(yùn)行軌跡所在的曲線方程；（2）當(dāng)航天器在軸上方時(shí)，試求航天器離觀測點(diǎn)，分別為多遠(yuǎn)時(shí)，應(yīng)向航天器發(fā)出變軌指令3如果對點(diǎn)的極坐標(biāo)定義如下：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)關(guān)于極點(diǎn)的對稱點(diǎn)，如圖所示例如，關(guān)于極點(diǎn)的對稱點(diǎn)，也就是說與表示同一點(diǎn)已知點(diǎn)的極坐標(biāo)是，分別在下列給定條件下，寫出點(diǎn)的極坐標(biāo)（1），；（2），；（3），1 【解析】，點(diǎn)的直角坐標(biāo)為2（1）；（2）離觀測點(diǎn)，的距離分別為、時(shí)，應(yīng)向航天器發(fā)出變軌指令【解析】（1）設(shè)曲線方程為，點(diǎn)在拋物線上，曲線方程為（2）設(shè)變軌點(diǎn)為，

16、根據(jù)題意可知，消去可得，解得或(舍去)，此時(shí)或(舍去)點(diǎn)的坐標(biāo)為，當(dāng)航天器離觀測點(diǎn)，的距離分別為、時(shí)，應(yīng)向航天器發(fā)出變軌指令3（1）；（2）；（3）【解析】如下圖所示，即與關(guān)于極點(diǎn)對稱，由極坐標(biāo)的定義知（1）當(dāng)，時(shí)，；（2）當(dāng)，時(shí)，；（3）當(dāng)，時(shí)，3月26日 周日培優(yōu)特訓(xùn)高考頻度： 難易程度：已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)為，求的重心的極坐標(biāo)（限定，）【參考答案】【試題解析】如下圖所示，所以點(diǎn)、關(guān)于極軸對稱，所以等邊三角形設(shè)交極軸于點(diǎn)，則，所以，由于的重心在中線上，且，所以的重心的極坐標(biāo)為【解題必備】（1）把直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)，求極角時(shí)，應(yīng)注意判斷點(diǎn)所在的象限（即角的終邊的位置），以便準(zhǔn)確地求出角利用兩種坐標(biāo)的互化可以把不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題（2）在極坐標(biāo)系中，由點(diǎn)的位置求極坐標(biāo)時(shí)，隨著極角的范圍的不同，點(diǎn)的極坐標(biāo)的表示也會(huì)不同只有在，的限定條件下，點(diǎn)的極坐標(biāo)才是唯一的1兩點(diǎn)，的極坐標(biāo)分別為，則，兩點(diǎn)間的距離為ABCD2已知點(diǎn)的直角坐標(biāo)按伸縮變換變換為點(diǎn)，限定，時(shí)，點(diǎn)的極坐標(biāo)為_3如果點(diǎn)的極坐標(biāo)為，那么點(diǎn)關(guān)于極點(diǎn)O的對稱點(diǎn)可以表示為（1）試用點(diǎn)的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)的公式驗(yàn)證上述表示的合理性；（2）已知點(diǎn)的極坐標(biāo)為，若限定，求點(diǎn)的極坐標(biāo)；（3）試問：