2014高考數(shù)學(xué)一輪匯總訓(xùn)練《函數(shù)y=Asinωx+φ的圖象及三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用 》理 新人教A版

1、第四節(jié) 函數(shù)yAsin(x)的圖象及三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用 備考方向要明了考 什 么怎 么 考1.了解函數(shù)yAsin(x)的物理意義；能畫出yAsin(x)的圖象，了解參數(shù)A，對(duì)函數(shù)圖象變化的影響2.了解三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型，會(huì)用三角函數(shù)解決一些簡(jiǎn)單實(shí)際問題.1.以選擇題的形式考查三角函數(shù)的圖象變換及由圖象確定解析式等，如2012年浙江T4等2.與三角恒等變換相結(jié)合考查yAsin(x)的性質(zhì)及簡(jiǎn)單應(yīng)用且以解答題的形式考查，如2012年安徽T16等.歸納知識(shí)整合1yAsin(x)的有關(guān)概念yAsin(x)(A0，0)，x0，)表示一個(gè)振動(dòng)量時(shí)振幅周期頻率相位初相ATfx2用五

2、點(diǎn)法畫yAsin(x)一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖用五點(diǎn)法畫yAsin(x)一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖時(shí)，要找五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，如下表所示：xx02yAsin(x)0A0A0探究1.用五點(diǎn)法作yAsin(x)的圖象，應(yīng)首先確定哪些數(shù)據(jù)？提示：先確定x，即先使x等于0，2，然后求出x的值3函數(shù)ysin x的圖象變換得到y(tǒng)Asin(x)(A0，0)的圖象的步驟 法一法二探究2.在圖象變換時(shí)運(yùn)用“先平移后伸縮”與“先伸縮后平移”兩種途徑，向左或向右平移的單位個(gè)數(shù)為什么不一樣？提示：可以看出，前者平移|個(gè)單位，后者平移個(gè)單位，原因在于相位變換和周期變換都是針對(duì)變量x而言的，因此在用這樣的變換法作圖象時(shí)一定要注意平移與伸縮的先后順

3、序，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤自測(cè)牛刀小試1(教材習(xí)題改編)為了得到函數(shù)y3sin的圖象，只要把函數(shù)y3sin的圖象上所有的點(diǎn)()A向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度B向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度C向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度D向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度解析：選Cy3sin3sin，要得到函數(shù)y3sin的圖象，應(yīng)把函數(shù)y3sin的圖象上所有點(diǎn)向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度2(教材習(xí)題改編)y2sin的振幅、頻率和初相分別為()A2，B2，C2， D2，解析：選A由振幅、頻率和初相的定義可知，函數(shù)y2sin的振幅為2，周期為，頻率為，初相為.3將函數(shù)ysin x的圖象上所有的點(diǎn)向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍(縱坐

4、標(biāo)不變)，所得圖象的函數(shù)解析式是()Aysin BysinCysin Dysin解析：選C將ysin x的圖象向右平移個(gè)單位得到y(tǒng)sin的圖象，再將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍得到y(tǒng)sin的圖象4將函數(shù)ysin(2x)(0)的圖象向左平移個(gè)單位后，所得的函數(shù)恰好是偶函數(shù)，則的值是_解析：函數(shù)ysin(2x)的圖象向左平移個(gè)單位后，得ysin，則k.又0，故.答案：5函數(shù)yAsin(x)(A、為常數(shù)，A0，0)在閉區(qū)間，0上的圖象如圖所示，則_.解析：由函數(shù)yAsin(x)的圖象可知：，則T.T，3.答案：3函數(shù)yAsin(x)的圖象及變換例1已知函數(shù)y2sin，(1)求它的振幅、周期、初

5、相；(2)用“五點(diǎn)法”作出它在一個(gè)周期內(nèi)的圖象；(3)說明y2sin的圖象可由ysin x的圖象經(jīng)過怎樣的變換而得到自主解答(1)y2sin的振幅A2，周期T，初相.(2)令X2x，則y2sin2sin X.列表，并描點(diǎn)畫出圖象：xX02ysin X01010y2sin02020(3)法一：把ysin x的圖象上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位，得到y(tǒng)sin的圖象，再把ysin的圖象上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍(縱坐標(biāo)不變)，得到y(tǒng)sin的圖象，最后把ysin上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍(橫坐標(biāo)不變)，即可得到y(tǒng)2sin的圖象法二：將ysin x的圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)x縮短為原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得

6、到y(tǒng)sin 2x的圖象；再將ysin 2x的圖象向左平移個(gè)單位，得到y(tǒng)sin 2sin的圖象；再將ysin的圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍，得到y(tǒng)2sin的圖象若將本例(3)中“ysin x”改為“y2cos 2x”，則如何變換？解：y2cos 2x2siny2sin 2xy2sin，即將y2cos 2x的圖象向右平移個(gè)單位即可得到y(tǒng)2sin的圖象 函數(shù)yAsin(x)(A0，0)的圖象的作法(1)五點(diǎn)法：用“五點(diǎn)法”作yAsin(x)的簡(jiǎn)圖，主要是通過變量代換，設(shè)zx，由z取0，2來求出相應(yīng)的x，通過列表，計(jì)算得出五點(diǎn)坐標(biāo)，描點(diǎn)后得出圖象(2)圖象變換法：由函數(shù)ysin

7、 x的圖象通過變換得到y(tǒng)Asin(x)的圖象，有兩種主要途徑：“先平移后伸縮”與“先伸縮后平移”1(2012山東高考)已知向量m(sin x,1)，nAcos x，cos 2x(A0)，函數(shù)f(x)mn的最大值為6.(1)求A；(2)將函數(shù)yf(x)的圖象向左平移個(gè)單位，再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)yg(x)的圖象，求g(x)在上的值域解：(1)f(x)mnAsin xcos xcos 2xAAsin.因?yàn)锳0，由題意知A6.(2)由(1)知f(x)6sin.將函數(shù)yf(x)的圖象向左平移個(gè)單位后得到y(tǒng)6sin6sin的圖象；再將得到圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短為原來

8、的倍，縱坐標(biāo)不變，得到y(tǒng)6sin的圖象因此g(x)6sin.因?yàn)閤，所以4x，故g(x)在上的值域?yàn)?,6.求函數(shù)yAsin(x)的解析式例2(1)函數(shù)f(x)Asin(x)(A，是常數(shù)，A0，0)的部分圖象如圖(1)所示，則f(0)_.(2)如圖(2)所示是函數(shù)f(x)Asin(x)B圖象的一部分，則f(x)的解析式為_圖(1)圖(2)自主解答(1)由圖可知A.，T.又T，2.又圖象過點(diǎn)，sin0.由圖可知2k，kZ.2k，kZ.故f(x)sin，f(0)sin.(2)由于最大值和最小值之差等于4，故A2，B1.把(0,2)代入f(x)，得22sin 1，取.由圖，可知01，令()2k，得.

9、所以函數(shù)的解析式是f(x)2sin1.答案：(1)(2)f(x)2sin1確定yAsin(x)b(A0，0)的解析式的步驟(1)求A，b，確定函數(shù)的最大值M和最小值m，則A，b.(2)求，確定函數(shù)的周期T，則.(3)求，常用方法有：代入法：把圖象上的一個(gè)已知點(diǎn)代入(此時(shí)A，b已知)或代入圖象與直線yb的交點(diǎn)求解(此時(shí)要注意交點(diǎn)在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上)五點(diǎn)法：確定值時(shí)，往往以尋找“五點(diǎn)法”中的特殊點(diǎn)作為突破口具體如下：“第一點(diǎn)”(即圖象上升時(shí)與x軸的交點(diǎn))為x0；“第二點(diǎn)”(即圖象的“峰點(diǎn)”)為x；“第三點(diǎn)”(即圖象下降時(shí)與x軸的交點(diǎn))為x；“第四點(diǎn)”(即圖象的“谷點(diǎn)”)為x；“第五點(diǎn)”為

10、x2.2設(shè)函數(shù)f(x)sin(x)(0,0)的部分圖象如圖所示，直線x是它的一條對(duì)稱軸，則函數(shù)f(x)的解析式為()Af(x)sin Bf(x)sinCf(x)sin Df(x)sin解析：選D由題意可知，T，2.再將x代入B，D檢驗(yàn)直線x是否是對(duì)稱軸，得D選項(xiàng)正確.函數(shù)yAsin(x)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用例3函數(shù)f(x)6cos2sin x3(0)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示，A為圖象的最高點(diǎn)，B、C為圖象與x軸的交點(diǎn)，且ABC為正三角形(1)求的值及函數(shù)f(x)的值域；(2)若f(x0)，且x0，求f(x01)的值自主解答(1)由已知可得，f(x)3cos xsin x2sin.又正三角形

11、ABC的高為2，從而BC4.所以函數(shù)f(x)的周期T428，即8，.函數(shù)f(x)的值域?yàn)?，2(2)因?yàn)閒(x0)，由(1)有f(x0)2sin，即sin.由x0，知，所以cos .故f(x01)2sin2sin22.解決三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合問題的方法認(rèn)識(shí)并理解三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解決此類問題的關(guān)鍵此類問題往往先用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，再來研究其性質(zhì)，因此對(duì)三角恒等變換的公式應(yīng)熟練掌握3已知函數(shù)f(x)Asin(x)，xR，其部分圖象如圖所示(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)已知橫坐標(biāo)分別為1、1、5的三點(diǎn)M、N、P都在函數(shù)f(x)的圖象上，求sinMNP的值解：(1)由圖可知，

12、最小正周期T428，所以T8，.又f(1)sin1，且，所以，所以，.所以f(x)sin(x1)(2)因?yàn)閒(1)sin(11)0，f(1)sin(11)1，f(5)sin(51)1，所以M(1,0)，N(1,1)，P(5，1)，所以|MN|，|MP|，|PN|，從而cosMNP，由MNP(0，)，得sinMNP.1個(gè)區(qū)別兩種圖象變換的區(qū)別由ysin x的圖象變換到y(tǒng)Asin(x)的圖象，兩種變換的區(qū)別：先相位變換再周期變換(伸縮變換)，平移的量是|個(gè)單位；而先周期變換(伸縮變換)再相位變換，平移的量是(0)個(gè)單位原因在于相位變換和周期變換都是針對(duì)x而言，即x本身加減多少值，而不是依賴于x加減

13、多少值2個(gè)注意作函數(shù)yAsin(x)的圖象應(yīng)注意的問題(1)首先要確定函數(shù)的定義域；(2)對(duì)于具有周期性的函數(shù)，應(yīng)先求出周期，作圖象時(shí)只要作出一個(gè)周期的圖象，就可根據(jù)周期性作出整個(gè)函數(shù)的圖象3種方法由函數(shù)圖象求解析式的方法方法一如果從圖象可確定振幅和周期，則可直接確定函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)Asin(x)中的參數(shù)A和，再選取“第一零點(diǎn)”(即五點(diǎn)作圖法中的第一個(gè)點(diǎn))的數(shù)據(jù)代入“x0”(要注意正確判斷哪一點(diǎn)是“第一零點(diǎn)”)求得.方法二通過若干特殊點(diǎn)代入函數(shù)式，可以求得相關(guān)待定系數(shù)A，.依據(jù)是五點(diǎn)法方法三運(yùn)用逆向思維的方法，根據(jù)圖象變換可以確定相關(guān)的參數(shù). 答題模板由三角函數(shù)圖象確定解析式典例(2012湖南高考

14、)(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)Asin(x)的部分圖象如圖所示(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)求函數(shù)g(x)ff的單調(diào)遞增區(qū)間快速規(guī)范審題第(1)問1審條件，挖解題信息觀察條件：函數(shù)f(x)Asin(x)的部分圖象(0,1)，T2.2審結(jié)論，明確解題方向觀察所求結(jié)論：求函數(shù)f(x)的解析式應(yīng)建立關(guān)于A，的三個(gè)方程3建聯(lián)系，找解題突破口結(jié)合條件和求解可知，即222k，kZ，即f(x)Asinf(0)1Asin1A2f(x)2sin.第(2)問1審條件，挖解題信息觀察條件：f(x)2sin.2審結(jié)論，明確解題方向觀察所求結(jié)論：求函數(shù)g(x)ff的單調(diào)遞增區(qū)間g(x)2sin.3建聯(lián)系，

15、找解題突破口聯(lián)想函數(shù)ysin x的單調(diào)性2k2x2kkxk，kZg(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是，kZ. 準(zhǔn)確規(guī)范答題(1)由題設(shè)圖象知，周期T2，所以2.(2分)易忽視的范圍或點(diǎn)為第二個(gè)平衡點(diǎn)而導(dǎo)致解題錯(cuò)誤.因?yàn)辄c(diǎn)(，0)在函數(shù)圖象上，所以Asin0，即sin0.又因?yàn)?，所以0，00，R)的部分圖象如圖所示，那么f(0)()A BC1 D解析：選C由圖可知，A2，f2，2sin2，sin1，2k(kZ)，2k(kZ)，f(0)2sin 2sin21.3設(shè)函數(shù)f(x)sin xcos x(0)的周期為.(1)求它的振幅、初相；(2)用五點(diǎn)法作出它在長(zhǎng)度為一個(gè)周期的閉區(qū)間上的圖象；(3)說明函數(shù)f(x)的圖象可由ysin x的圖象經(jīng)過怎樣的變換而得到解：(1)f(x)sin xcos x22sin.又T，即2.f(x)2sin，函數(shù)f(x)sin xcos x的振幅為2，初相為.(2)列出下表2x02xy2sin02020描點(diǎn)畫出圖象如圖(3)把ysin x圖象上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位，得到y(tǒng)sin的圖象，再把ysin的圖象