立體幾何專(zhuān)題一：空間角第一節(jié)：異面直線(xiàn)所成的角（2課時(shí)）

1、立體幾何專(zhuān)題一：空間角第一節(jié)：異面直線(xiàn)所成的角（2課時(shí)）一、基礎(chǔ)知識(shí)1.定義： 直線(xiàn)a、b是異面直線(xiàn)，經(jīng)過(guò)空間一交o，分別a/a，b/b，相交直線(xiàn)ab所成的銳角（或直角）叫做 。2.范圍： 3.方法： 平移法、問(wèn)量法、三線(xiàn)角公式（1）平移法：在圖中選一個(gè)恰當(dāng)?shù)狞c(diǎn)（通常是線(xiàn)段端點(diǎn)或中點(diǎn)）作a、b的平行線(xiàn)，構(gòu)造一個(gè)三角形，并解三角形求角。（2）向量法：可適當(dāng)選取異面直線(xiàn)上的方向向量，利用公式 求出來(lái)方法1：利用向量計(jì)算。選取一組基向量，分別算出 ，代入上式方法2：利用向量坐標(biāo)計(jì)算，建系，確定直線(xiàn)上某兩點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)而求出方向向量 （3）三線(xiàn)角公式 用于求線(xiàn)面角和線(xiàn)線(xiàn)角斜線(xiàn)和平面內(nèi)的直線(xiàn)與斜線(xiàn)的射影所成角

2、的余弦之積等于斜線(xiàn)和平面內(nèi)的直線(xiàn)所成角的余弦 即： 二、例題講練例1、（2007年全國(guó)高考）如圖，正四棱柱中， ，則異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為 例2、在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=，BC=,AA1=c，求異面直線(xiàn)D1B和AC所成的角的余弦值。方法一：過(guò)B點(diǎn)作 AC的平行線(xiàn)（補(bǔ)形平移法）方法二：過(guò)AC的中點(diǎn)作BD1平行線(xiàn)方法三：（向量法）例3、 已知四棱錐的底面為直角梯形，底面，且，是的中點(diǎn) （）證明：面面；（）求與所成的角；證明：以為坐標(biāo)原點(diǎn)長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則各點(diǎn)坐標(biāo)為 （）證明：因由題設(shè)知，且與是平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)，由此得面 又在面上，故面面 （）解

3、：因例4、 如圖，在四棱錐中，底面為矩形，側(cè)棱底面， 為的中點(diǎn) 求直線(xiàn)與所成角的余弦值；解：（）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則的坐標(biāo)為、，從而設(shè)的夾角為，則與所成角的余弦值為 訓(xùn)練題1、P219 T12 P234 三基能力強(qiáng)化 T11.正方體的12條棱和12條 面對(duì)角線(xiàn)中，互相異面的兩條線(xiàn)成的角大小構(gòu)成的集合是 。2.正方體中，O是底面ABCD的中心，則OA1和BD1所成角的大小為 。3.已知為異面直線(xiàn)a與b的公垂線(xiàn)，點(diǎn)，若a、b間距離為2，點(diǎn)P到的距離為2，P到b的距離為 ，則異面直線(xiàn)a與b所成的角為 。4.如圖正三棱柱ABC-A1B1C1中AB=AA1，M、N分別是A1B1，A1C1的中

4、點(diǎn)，則AM與CN所成角為 。5.如圖PD平面ABCD,四邊形ABCD為矩形，AB=2AD=2DP，E為CD中點(diǎn)。（1）與BE所成的角為 （2）若直線(xiàn)PD，且AF與BE所成角為1. =30行嗎？2. =75時(shí)；= 。6.空間四邊形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC，BD與各邊長(zhǎng)均為1，O為的重心，M是AC的中點(diǎn)，E是 AO的中點(diǎn)，求異面直線(xiàn)OM與BE所成的角 。7.空間四邊形ABCD中AB=BC=CD，BCD=ABC=120，ABCD，M、N分別是中點(diǎn)（1）AC和BD所成的角為。（2）MN與BC所成的角為。8.已知正方體AC1中，（1）E、F分別是A1D1，A1C1的中點(diǎn)，則AE與CF所成的角為（2）M、N

5、分別是AA1，BB1的中點(diǎn)，則CM和D1N所成的角是。9、如圖，三棱錐PABC中， PC平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一點(diǎn)，且CD平面PAB (I) 求證：AB平面PCB； (II) 求異面直線(xiàn)AP與BC所成角的大小；（） 解法一：(I) PC平面ABC，平面ABC，PCABCD平面PAB，平面PAB，CDAB又，AB平面PCB (II) 過(guò)點(diǎn)A作AF/BC，且AF=BC，連結(jié)PF，CF則為異面直線(xiàn)PA與BC所成的角由（）可得ABBC，CFAF由三垂線(xiàn)定理，得PFAF則AF=CF=，PF=，在中， tanPAF=，異面直線(xiàn)PA與BC所成的角為解法二：(II) 由(I) AB

6、平面PCB，PC=AC=2，又AB=BC，可求得BC=以B為原點(diǎn)，如圖建立坐標(biāo)系則（，），（0，0，0），C（，0），P（，2）， 則+0+0=2 = 異面直線(xiàn)AP與BC所成的角為第二節(jié)、直線(xiàn)和平面所成的角 （2課時(shí)）一、基礎(chǔ)知識(shí)1.定義： （斜線(xiàn)和平面所成的角垂線(xiàn)與平面所成的角）2.直線(xiàn)與平面所成角范圍是。3.斜線(xiàn)與平面所成的角是此斜線(xiàn)與平面內(nèi)所有直線(xiàn)所成角中最小的角。（最小值定理）4. 求法： 幾何法公式法問(wèn)量法（1）幾何法：作出斜線(xiàn)與射影所成的角，論證所作（或所找）的角就是要滶的角，解三角形求出此角。（2）公式法：（即：與斜線(xiàn)射影所成的兩角的余弦的積等于斜線(xiàn)和平面內(nèi)的直線(xiàn)所成角的余弦值）

7、（3）向量法：設(shè)直線(xiàn)與平面所成角為，直線(xiàn)的方向向量與面的法向量分別是, 則的余角或其補(bǔ)角的余角即為與所成的角，二、例題講解例1、在長(zhǎng)方體AC1中，AB=2，BC=CC1=1，求（1）CD與面ABC1D1所成的角（2）A1C與平面ABC1D1所成的角（3）A1C與平面BC1D所成的角例2、四面體ABCD中，所有棱長(zhǎng)都相等，M為AD的中點(diǎn)，求CM與平面BCD所成角的余弦值。例3、（P236例2）（2007高考全國(guó)卷1）四棱錐中，底面為平行四邊形，側(cè)面底面已知，（）證明；（）求直線(xiàn)與平面所成角的大小例4、如圖,是互相垂直的異面直線(xiàn)，M、N分別在上，且MN，MN，點(diǎn)AB在上，C在上，AM=MB=MN。

8、（1）證明：AC NB（2）若ABC=60，求NB與平面ABC所成角的余弦值。()訓(xùn)練題1、三基能力強(qiáng)化 T32、P239 T7 (利用公式求解)3、P239 T3（2008年高考全國(guó)卷1）已知三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)都相等，A1在底面ABC內(nèi)的射影為三角形ABC的中心，則AB1與底面ABC所成的角的正弦值等于 4、P240 T10AEB1D1DC1A1BC（2008上海高考）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，是的中點(diǎn)。求直線(xiàn)與平面所成角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）.5.過(guò)點(diǎn)P作平面的兩條斜線(xiàn)段PA和PB，則PA=PB是斜線(xiàn)PA和PB與平面成等角的 條件。6.如圖所示，BOC在

9、平面內(nèi)，OA是的斜線(xiàn)，AOB=AOC=60，OA=OB=OC=a，BC=a，求OA和平面所成的角的大小。7.如圖，已知正方形ABCD，SA現(xiàn)面ABCD，且SA=AB，M、N分別為SB、SD的中點(diǎn)，求SC和平面AMN所成的角第6題圖第7題圖8.給出下列命題，其中正確命題序號(hào)是。（1）若PA、PB、PC與平面成等角，則迠P在平面上的射影O是ABC的外心（2）已知直線(xiàn)上與平面所成角是，直線(xiàn)a是內(nèi)與異面的任一直線(xiàn)，則與平面 所成角范圍是(3)在三棱錐P-ABC中，若二面角P-AB-C，P-BC-A，P-CA-B，大小相等，則點(diǎn)P在平面ABC上射影O是ABC內(nèi)心。（4）坡度為的斜坡，有一條與坡腳水平線(xiàn)成

10、30的小道，若沿小道每前進(jìn)100m，高度就上升25m,那么此坡坡度為30。BVADC9、（2007湖北高考）如圖，在三棱錐中，底面，是 的中點(diǎn)，且，（I）求證：平面；（II）試確定的值，使得直線(xiàn)與平面所成的角為。（）當(dāng)解變化時(shí)，求直線(xiàn)與平面所成的角的取值范圍 第三節(jié) 平面與平面所成的角一、基礎(chǔ)知識(shí)1.定義：二面角:由一條直線(xiàn)出發(fā)的 所組成的圖形叫做二面角平面角：過(guò)棱上同一點(diǎn)分別位于二面角的兩個(gè)面內(nèi)，且與棱同時(shí)垂直的兩條射線(xiàn)所成的角叫做二面角的平面角，二面角的取值范圍是 .注:二面角是空間圖形，平面角是平面圖形。在書(shū)寫(xiě)時(shí)不要寫(xiě)成”AOB為所求二面角”，而應(yīng)寫(xiě)成”AOB為二面角的平面角”。2.求法

11、：幾何法 向量法 公式法（1）幾何法：作出二面角的平面角，再求解，常見(jiàn)的有作 法圖 形定義法在棱CD上找一點(diǎn)O，在兩個(gè)面內(nèi)分別作棱的垂線(xiàn)AO,BOAOB為二面角的平面角垂面法過(guò)棱上一點(diǎn)O作棱的垂直平面與兩個(gè)半平面的交線(xiàn)分別為AOBOAOB為的平面角三垂線(xiàn)法過(guò)B內(nèi)一點(diǎn)A，作AB交于B，作BOCD于O，連結(jié)AO,AOB的平面角或其補(bǔ)角（2）向量法：分別求出和的法向量，則二面角的大小為或 用此法須知：1需建空間直角坐標(biāo)系，定準(zhǔn)相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)2通常容易找到一個(gè)面的法向量，只需通過(guò)二次垂直，求另一個(gè)平面的法向量3當(dāng)為銳角時(shí) （為銳角）或 （為鈍角）在平面內(nèi) 在平面內(nèi)，BDEF，且BEF分別求出，則即為二面

12、角的大小（3）公式法：設(shè)二面角的大小為令則注意：與所成的角一定與二面角的平面角大小相等，但不一定是異面直線(xiàn)BA和CD所成角的大小。 面積法： 設(shè)二面角的平面內(nèi)某一圖形（一般取三角形）面積為S，該圖形在平面上射影面積為，二面角的大小為，則 二、例題講練ABCDA1B1C1D1FMOE例1、如圖，已知棱柱的底面是菱形，且面，為棱的中點(diǎn)，為線(xiàn)段的中點(diǎn)，（1）求證：面；（2）求面與面所成二面角的大小（1）證明：底面是菱形， 又面，面 ，面 又面 （2）延長(zhǎng)、交于點(diǎn) 是的中點(diǎn)且是菱形又 由三垂線(xiàn)定理可知 為所求角 在菱形中， 例2、如圖，直二面角DABE中，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，AE=EB，

13、F為CE上的點(diǎn)，且BF平面ACE。（1）求證：AE平面BCE；（2）求二面角BACE的大小；解：（1）如圖， BF平面ACE BFAE又 二面角DABE為直二面角，且CBAB CB平面ABE CBAE AE平面BCE（2）連BD交AC于G，連FG 正方形ABCD邊長(zhǎng)為2 BGAC， BF平面ACE 由三垂線(xiàn)定理逆定理得FGAC BGF是二面角BACE的平面角由（1）AE平面BCE AEEB又 AE=EB 在等腰直角三角形AEB中，又 RtBCE中，QONPEDCBAAMA 在RtBFG中， 二面角BACE等于例3、如圖所示的幾何體中,平面， ,，是的中點(diǎn).()求證:;()求二面角的余弦值.解法

14、一:()證明:取的中點(diǎn),連接,則,故四點(diǎn)共面，平面，. 又 由，平面 ; ()取的中點(diǎn),連,則平面過(guò)作,連,則是二面角的平面角. 設(shè), 與的交點(diǎn)為,記 ,則有, 又在中,即二面角的余弦值為. zyxEDCBAAMA解法二: 分別以直線(xiàn)為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，所以. ()證:,即.()解:設(shè)平面的法向量為, ，由,得取得平面的一非零法向量為 又平面BDA的法向量為 ，二面角的余弦值為. 例4、 已知四棱錐的底面為直角梯形，底面，且，是的中點(diǎn) （）證明：面面；（）求面與面所成二面角的大小 證明：以為坐標(biāo)原點(diǎn)長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則 各點(diǎn)坐標(biāo)為 （）證明：

15、因由題設(shè)知，且與是平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)，由此得面 又在面上，故面面 （）解：在上取一點(diǎn)，則存在使要使 所求二面角的平面角 例5、如圖，三棱錐PABC中， PC平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一點(diǎn)，且CD平面PAB (I) 求證：AB平面PCB； (II) 求二面角C-PA-B的大小解法一：(I) PC平面ABC，平面ABC，PCABCD平面PAB，平面PAB，CDAB又，AB平面PCB (II) 取AP的中點(diǎn)E，連結(jié)CE、DEPC=AC=2，CE PA，CE=CD平面PAB，由三垂線(xiàn)定理的逆定理，得 DE PA為二面角C-PA-B的平面角由(I) AB平面PCB，又AB=BC

16、，可求得BC=在中，PB=， 在中， sinCED=二面角C-PA-B的大小為arcsin解法二：（I）同解法一(II) 設(shè)平面PAB的法向量為m= (x，y，z)，則 即解得 令= -1, 得 m= (，0，-1) 設(shè)平面PAC的法向量為n=()， 則 即解得 令=1, 得 n= (1，1，0) = 二面角C-PA-B的大小為arccos訓(xùn)練題1.如圖：三棱錐A-BCD中，AC=AB=BD=DA=2，BC=CD=，則二面角A-BD-C大小為 。二面角B-AC-D大小為 2.已知，所成角為，與所成角為2，大小為3則恒成立的是（ ）A. B. C. D. 3.如圖，四邊形BCEF、AFED都是矩

17、形，且平面AFED平面BCEF，則下列結(jié)論中正確的是ABCD3.如圖，四棱錐P-ABCD中所有的棱長(zhǎng)都相等。求：二面角C-PD-B大小設(shè)M、N分別為AD、PC中點(diǎn)，試求MN與底面AC及平面BDP所成的角平面PAB與平面PCD所成二面角的大小4. 如圖，四邊形ABCD為直角梯形，AD/BC BAD=90，PA底面ABCD，且PA=AD=AB=2BC，M、N分別為PC、PB的中點(diǎn)求證：PBDM求BD與平面ADMN所成角的大小求二面角A-PB-C5.如圖所示多面體是由底面為ABCD的長(zhǎng)方體被截面AEC1F所截而得到的，其中AB=4，BC=2，C C1=3，BE=1 （補(bǔ)形成正方體）求BF求二面角A-

18、EF-B6.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E在棱CC1上求證：AEBD當(dāng)A1E與面BED所成角為多大時(shí)，面A1BD面EBD在（2）的結(jié)論下，求此時(shí)二面角A-A1D-E的大小8.如圖，在棱長(zhǎng)AB=AD=2，AA1=3的長(zhǎng)方體AC1中點(diǎn)E是平面BCC1B1上動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)試確定E的位置，使D1E平面AB1F求二面角B1-AF-B的大小9、 如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)面是正三角形,平面底面 （）證明：平面； （）求面與面所成的二面角的大小 證明：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的坐標(biāo)圖系 （）證明：不防設(shè)作，則， ， 由得，又，因而與平面內(nèi)兩條相交直線(xiàn)，都垂直 平面 （）解

19、：設(shè)為中點(diǎn)，則，由因此，是所求二面角的平面角，解得所求二面角的大小為ABCDP10、（2008年高考天津卷）如圖，在四棱錐中，底面是矩形已知，（）證明平面；（）求異面直線(xiàn)與所成的角的大小；（）求二面角的大小11、（2008高考山東卷）如圖，已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD為菱形，PA平面ABCD，,E，F(xiàn)分別是BC, PC的中點(diǎn).（）證明：AEPD; （）若H為PD上的動(dòng)點(diǎn)，EH與平面PAD所成最大角的正切值為，求二面角EAFC的余弦值.（）證明：由四邊形ABCD為菱形，ABC=60，可得ABC為正三角形.因?yàn)镋為BC的中點(diǎn)，所以AEBC. 又 BCAD，因此AEAD.因?yàn)镻A平面ABCD，AE平面ABC