期權(quán)定價理論課件

1、第八講 期權(quán)定價理論,期權(quán)定價理論,模型如同汽車：你可以擁有世界上最好的汽車，但是如果你沒有擁有合適的駕駛技能，縱然是最好的汽車也無法保護(hù)你免于車禍。 Mamdouh Barakat Risk,1997,期權(quán)定價理論,期權(quán)定價的兩種基本思路: 一種方法是對基礎(chǔ)金融資產(chǎn)在期權(quán)有效期內(nèi)的價 格變動作出假定，進(jìn)而估計期權(quán)到期時的預(yù)期價格 。利用這種方法對期權(quán)定價就是著名的布萊克斯 科爾斯模型。 另一種定價方法是在出售期權(quán)時，設(shè)計一種無風(fēng) 險保值方案，然后根據(jù)基礎(chǔ)金融資產(chǎn)市場價格的變 化，對這種保值方案不斷進(jìn)行調(diào)整，直至期權(quán)到期 。這種期權(quán)定價方法就是所謂的“雙向式模型,期權(quán)定價理論,第一節(jié) 套利與跌

2、漲平價,一期權(quán)定價簡史 1早期 1877年，Charles Castelli ：“The Theory of Options in Stocks and Shares” 1900年 ，Louis Bachelier ：“Theorie de la Speculation.” 2中期 1955年 , Paul Samuelson :“Brownian Motion in the Stock Market,期權(quán)定價理論,1955年，Richard Kruizega：“Put and Call Option: A Theoretical and Market Analysis”。 1962年，A.

3、James Boness ：“A Theory and Measurement of Stock Option Value” 3當(dāng)代 1973年，F(xiàn)isher Black, Myron Scholes “B-S Option Pricing Model,期權(quán)定價理論,We sent the first draft of our paper to the Journal of Political Economy and promptly got back a rejection letter. We then sent it to the Review of Economics and Stat

4、istics where it also was rejected. Merton Miller and Eugene Fama at the University of Chicago then took an interest in the paper and gave us extensive comments on it. They suggested to the JPE that perhaps the paper was worth more serious consideration. The Journal then accepted the paper,期權(quán)定價理論,二.

5、期權(quán)定價思路 假定: 某種金融資產(chǎn)的現(xiàn)行市場價格(S)=100 一年期無風(fēng)險市場利率(Rf)=10% p.a. 如果該資產(chǎn)在一年期內(nèi)沒有其它任何收入,一 年后的本利為110. 該金融資產(chǎn)一年后的實際 市場價格雖然無法預(yù)知,但我們可以將其變動 范圍及概率描述如下(或規(guī)定,期權(quán)定價理論,預(yù)期一年后的市場價格 概率(%) 90 10 100 20 110 40 120 20 130 10 我們可以利用上述資料為下述看漲期權(quán)定價,期權(quán)定價理論,協(xié)定價格 K=110 ; 期限T=1年; 無風(fēng)險利率 Rf =10% p.a. 預(yù)期價格 概率(%) call價值 按概率調(diào)整 (一年后) 后的call 價值

6、90 10 0 0 100 20 0 0 110 40 0 0 120 20 10 2 130 10 20 2 4,期權(quán)定價理論,一年后期權(quán)到期時的預(yù)期價值為4, 將其 按一年期利率貼現(xiàn)成現(xiàn)值, 所以該看漲期權(quán)的 現(xiàn)在價值為3.64。 這一期權(quán)的定價思路，與所有期權(quán)的高 級定價模型一樣，含有以下變量： 期權(quán)到期時基礎(chǔ)資產(chǎn)的可能價格或價值； 可能價格或價值的概率 無風(fēng)險利率（將期權(quán)預(yù)期值貼現(xiàn),期權(quán)定價理論,二跌漲平價定理（put-call parity） 1. 套利（arbitrage）通常是指在金融市場 上利用金融產(chǎn)品在不同的時間和空間上所存 在的定價差異、或不同金融產(chǎn)品之間在風(fēng)險 程度和定價

7、上的差異，同時進(jìn)行一系列組合 交易，獲取無風(fēng)險利潤的行為。 2跌漲平價定理（put-call parity） 推導(dǎo),期權(quán)定價理論,將以下幾筆交易組合起來，構(gòu)成某種綜 合金融結(jié)構(gòu)： 某投資者借入一筆資金 用這筆資金購買股票 出售一份以該股票作為基礎(chǔ)資產(chǎn)的看漲期權(quán) 買入一份以該股票作為基礎(chǔ)資產(chǎn)的看跌期權(quán),期權(quán)定價理論,期權(quán)的定價應(yīng)使上述組合交易所產(chǎn)生的現(xiàn)金流 量凈值為零，即下式成立： 式中各符號的含義分別為： C 看漲期權(quán)費 P 看跌期權(quán)費 S 股票價值（一份合約含100股） r 無風(fēng)險利率,期權(quán)定價理論,對上述方程進(jìn)行整理后得到： 即看漲期權(quán)費應(yīng)該超過看跌期權(quán)費，看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的相對價格之差

8、約等于無風(fēng)險利率,期權(quán)定價理論,跌漲平價套利表 期權(quán)到期時的股價 transaction cash flow S1K S1 K Sell call + C 0 K - S1 Buy stock - S0 S1 S1 Buy put - P K- S1 0 borrowing - K - K 總計 0 0,期權(quán)定價理論,跌漲平價定理告訴我們，當(dāng)期權(quán)為平價期權(quán)時，不考慮股息紅利的支付，看漲期權(quán)的相對價格（C/S）應(yīng)該大于看跌期權(quán)的相對價格（P/S），其差額約等于無風(fēng)險利率,跌漲平價關(guān)系,期權(quán)定價理論,第二節(jié) B-S期權(quán)定價模型,B-S 模型,期權(quán)定價理論,式中， C 看漲期權(quán)費（理論值）； S 現(xiàn)

9、行股價 K 期權(quán)協(xié)定價 t 期權(quán)至到期的時間 r 無風(fēng)險利率 e 指數(shù)函數(shù)（2.71828） 股票收益的標(biāo)準(zhǔn)偏差 N 累積正態(tài)分布 ln 自然對數(shù),期權(quán)定價理論,有關(guān)BS模型的假設(shè)條件 1. 不支付股息和紅利 2. 期權(quán)為歐式期權(quán) 3. 不存在無風(fēng)險套利機會 4. 不考慮交易成本 5. 利率為常數(shù)或已知 6. 收益呈對數(shù)正態(tài)分布,期權(quán)定價理論,波動率(volatility)的計算 1. 正向計算法（forwards）:歷史波動率 正向法舉例: =ln(Pn/Pn-1)/N = 0.0246/10 = 0.00246 0.004290/N-1 = 0.004290/9 = 0.000476 =

10、0.021817,期權(quán)定價理論,歷史波動率的計算 時期 價格 相對價格 相對價格的對數(shù) 離差的平方 2 n Pn Pn/Pn-1 ln(Pn/Pn-1) ln(Pn/Pn-1)- 0 100.00 1 101.50 1.0150 0.0149 0.000154 2 98.00 0.9655 -0.0351 0.001410 3 96.75 0.9872 -0.0128 0.000234 4 100.50 1.0388 0.0380 0.001264 5 101.00 1.0050 0.0050 0.000006 6 103.25 1.0223 0.0220 0.000382 7 105.00

11、1.0169 0.0168 0.000205 8 102.75 0.9786 -0.0217 0.000582 9 103.00 1.0024 0.0024 0.000000 10 102.50 0.9951 -0.0049 0.000053 總計 0.0246 0.004290,期權(quán)定價理論,期權(quán)費的決定因素 1. 市場因素 2. 會計因素 五. 應(yīng)用B-S模型需要注意的問題,期權(quán)定價理論,2. 逆向計算法 (backwards)：隱含波動率 隱含波動率是指根據(jù)期權(quán)的報價，反推 出隱含于期權(quán)價格中的金融資產(chǎn)價格波動 率。 其計算思路如下： 將現(xiàn)行市場已知的五大數(shù)據(jù)基礎(chǔ)金融資產(chǎn)的市場價格、期權(quán)

12、執(zhí)行價格、無風(fēng)險利率、期權(quán)有效期、期權(quán)價格匯集。選定初始的波動率數(shù)值（任意），代入B-S模型計算，若所得結(jié)果不等于原先的期權(quán)價格，則調(diào)整初始波動率。反復(fù)測試直至相等為止,期權(quán)定價理論,可見，傳統(tǒng)的計算方法是一個不斷試錯的過程，整個程序可能異常復(fù)雜，利用計算機可以大大減輕計算工作量。 舉例： 假定某家公司在美國華爾街上市，現(xiàn)行市場相關(guān)數(shù)據(jù)歸集如下： 股價： S 125.93 期權(quán)執(zhí)行價格： X125 無風(fēng)險利率：r4.46% 期權(quán)有效期：T0.0959 （時間分?jǐn)?shù),期權(quán)定價理論,現(xiàn)在金融市場上對該公司股票看漲期權(quán)的 期權(quán)價格定為： C13.50 我們需要反推出隱含在該價格中的波動率 是多少？ 若

13、選擇初始波動率0.5,代入B-S模型求 出的期權(quán)價格為： C8.48 價格過低，可以繼續(xù)測試。將0.6 入，求得結(jié)果為10.02，直至結(jié)束,期權(quán)定價理論,計算隱含波動率的一種便捷方法,在計算隱含波動率的過程中，需要經(jīng)歷一個煩瑣的試錯過程。為了避免過于冗繁的計算過程，Manaster and Koehler(1984)利用牛頓拉夫森檢索程序（Newton-Raphson）提出了一種便捷計算方法。 思路：與上述介紹過的試錯過程類似，但在計算技術(shù)上加以改進(jìn)，從而簡化了計算步驟,期權(quán)定價理論,首先設(shè)定任意一個波動率值，譬如 ，然后將其代入下式中進(jìn)行試算： 如果計算出來的價格與期權(quán)價格不吻合，就設(shè)定另一

14、數(shù)值，代入下式中，再進(jìn)行試算,期權(quán)定價理論,如果計算出來的價格與期權(quán)價格不吻合，就設(shè)定另一數(shù)值，代入下式中，再進(jìn)行試算： 其中， 是利用第一個試算數(shù)據(jù)，按B-S模型計算出來的累積分布值。 如果結(jié)果依然不同于期權(quán)標(biāo)價，則將新設(shè)定的波動率數(shù)據(jù)代入上式中繼續(xù)試算，直至吻合為止,期權(quán)定價理論,舉例:同前例（見上例） 假定某家公司在美國華爾街上市，現(xiàn)行 市場相關(guān)數(shù)據(jù)歸集如下： 股價： S 125.93 期權(quán)執(zhí)行價格： X125 無風(fēng)險利率：r4.46% 期權(quán)有效期：T0.0959 （時間分?jǐn)?shù)） 期權(quán)價格：C13.50,期權(quán)定價理論,將上述數(shù)據(jù)代入（1）式，試算出來的數(shù)值如下,期權(quán)定價理論,當(dāng)波動率為0.

15、4950時，運用B-S模型得出的期權(quán)價格為8.41。于是，繼續(xù)進(jìn)行下一步試算,期權(quán)定價理論,上式中的0.1533是利用0.4950從B-S模型中求得的累積分布值d1。 將求出的新的波動率數(shù)據(jù)代入B-S模型計算，求出的期權(quán)價格為： 13.49 可見，只經(jīng)過二步計算，期權(quán)價格與期權(quán)市場價格已經(jīng)足夠接近。由此判斷，隱含波動率約為0.83左右,期權(quán)定價理論,第三節(jié) 雙向式期權(quán)定價模型（Binomial Options Pricing Model,1模型的假定(以股票為例) 某種股票的現(xiàn)行市場價為每股S0,一段時 間后，股票的價格可能出現(xiàn)兩種變化： 股價上漲（Su） 股價下降（Sd） 設(shè)定未來的價格變化

16、只有以上這兩種可 能,期權(quán)定價理論,在看漲期權(quán)到期時，期權(quán)的價值有可能增加或減 少： Cu（股價上漲） Cd（股價下跌） 如果期權(quán)的協(xié)定價格設(shè)為K，則有 Su - K Cu = Max 0 Sd - K Cd = Max 0,期權(quán)定價理論,定價原理 股票價格 期權(quán)價值 Su =120 Cu =20 100 C Sd = 80 Cd = 0,期權(quán)定價理論,如何來求解期權(quán)到期前的價值C？ 我們可以通過構(gòu)造一份無風(fēng)險資產(chǎn)組合的方法來確定C的值。 以無風(fēng)險利率r，借入數(shù)額為L的資金，用于購買N股股票。這份資產(chǎn)組合的價值就可以表達(dá)為： V0 = N S0 L 股票期權(quán)到期時,資產(chǎn)組合的價值就有兩種可能：

17、 若股價上漲， Vu = N Su L（1+ r） 若股價下跌， Vd = N Sd L（1+ r,期權(quán)定價理論,令其價值恰好等于看漲期權(quán)的價值（若 等，則調(diào)整L及N），有： Cu = N Su L（1+ r） Cd = N Sd L（1+ r） 求得均衡的N和L值，代入上式 V0 = N S0 L 求得的V0就是期權(quán)的初始價值C 。所以 C = N S0 L 這就是雙項期權(quán)定價公式,期權(quán)定價理論,案例討論,背景： 張三在一家期權(quán)交易所交易A公司股票期權(quán)。A公司股票的現(xiàn)行市場價格為70元。市場上A公司股票看跌期權(quán)（9月份，距到期還有60天）的信息如下：執(zhí)行價格為70元的看跌期權(quán)價格為4.50元

18、。張三正在考慮是否要買入這類看跌期權(quán)，同時要確保年收益率達(dá)到10,期權(quán)定價理論,1. 如果其他交易成本很小，可以忽略不計，請為張三設(shè)計一套無風(fēng)險套利交易方案。2. 如果A公司股票的價格上升到70.50元，9月份到期、執(zhí)行價格為70元的看跌期權(quán)價格為4.30元，你將如何調(diào)整你的設(shè)計方案,期權(quán)定價理論,案例研究：提示,套利交易包含：買入股票、買入看跌期權(quán)、出售看漲期權(quán)。 如果要獲得10%的年回報率，交易之初的投資量應(yīng)該是 68.85元。（盈利會是1.1570-68.85） 因為，如果股價高于70,空頭看漲期權(quán)會被執(zhí)行；如果股價低 于70,多頭看跌期權(quán)會被執(zhí)行。無論出現(xiàn)哪一種情況，股票都 將被出售，并同時獲得70元現(xiàn)金。 于是問題就成為：如果在60天內(nèi)要得到每股70元的收益，今 天應(yīng)該投資多少才能得到10%的年收益率？ 60天里68.85元獲得1.15元，其年收益率就是10,期權(quán)定價理論,案例討論繼續(xù),若執(zhí)行價格為70的看跌期權(quán)價格為4.50元, 則構(gòu)造套利組合時出售執(zhí)行價格為70