任意四邊形梯形與相似模型題庫學(xué)生版

1、任意四邊形、梯形與相似模型例題精講板塊一 任意四邊形模型任意四邊形中的比例關(guān)系(“蝴蝶定理”)：或者蝴蝶定理為我們提供了解決不規(guī)則四邊形的面積問題的一個途徑通過構(gòu)造模型，一方面可以使不規(guī)則四邊形的面積關(guān)系與四邊形內(nèi)的三角形相聯(lián)系；另一方面，也可以得到與面積對應(yīng)的對角線的比例關(guān)系【例 1】 (小數(shù)報競賽活動試題)如圖，某公園的外輪廓是四邊形ABCD，被對角線AC、BD分成四個部分，AOB面積為1平方千米，BOC面積為2平方千米，COD的面積為3平方千米，公園由陸地面積是692平方千米和人工湖組成，求人工湖的面積是多少平方千米？【鞏固】如圖，四邊形被兩條對角線分成4個三角形，其中三個三角形的面積已

2、知，求：三角形的面積；？【例 2】 四邊形的對角線與交于點(如圖所示)如果三角形的面積等于三角形的面積的，且，那么的長度是的長度的_倍 【例 3】 如圖，平行四邊形的對角線交于點，、的面積依次是2、4、4和6求：求的面積；求的面積【例 4】 圖中的四邊形土地的總面積是52公頃，兩條對角線把它分成了4個小三角形，其中2個小三角形的面積分別是6公頃和7公頃那么最大的一個三角形的面積是多少公頃？【例 5】 (2008年清華附中入學(xué)測試題)如圖相鄰兩個格點間的距離是1，則圖中陰影三角形的面積為 【鞏固】如圖，每個小方格的邊長都是1，求三角形的面積【例 6】 (2007年人大附中考題)如圖，邊長為1的正

3、方形中，求三角形的面積【例 7】 如圖，長方形中，三角形的面積為平方厘米，求長方形的面積【例 8】 如圖，已知正方形的邊長為10厘米，為中點，為中點，為中點，求三角形的面積 【例 9】 如圖，在中，已知、分別在邊、上，與相交于,若、和的面積分別是3、2、1，則的面積是 【例 10】 (2009年迎春杯初賽六年級)正六邊形的面積是2009平方厘米，分別是正六邊形各邊的中點；那么圖中陰影六邊形的面積是 平方厘米板塊二 梯形模型的應(yīng)用梯形中比例關(guān)系(“梯形蝴蝶定理”)：；的對應(yīng)份數(shù)為梯形蝴蝶定理給我們提供了解決梯形面積與上、下底之間關(guān)系互相轉(zhuǎn)換的渠道，通過構(gòu)造模型，直接應(yīng)用結(jié)論，往往在題目中有事半功

4、倍的效果(具體的推理過程我們可以用將在第九講所要講的相似模型進行說明)【例 11】 如圖，求梯形的面積【鞏固】(2006年南京智力數(shù)學(xué)冬令營)如下圖，梯形的平行于，對角線，交于，已知與的面積分別為 平方厘米與平方厘米，那么梯形的面積是_平方厘米 【例 12】 梯形的對角線與交于點，已知梯形上底為2，且三角形的面積等于三角形面積的，求三角形與三角形的面積之比 【例 13】 (第十屆華杯賽)如下圖，四邊形中，對角線和交于點，已知，并且，那么的長是多少？【例 14】 梯形的下底是上底的倍，三角形的面積是，問三角形的面積是多少？【鞏固】如圖，梯形中，、的面積分別為和，求梯形的面積【例 15】 如下圖，

5、一個長方形被一些直線分成了若干個小塊，已知三角形的面積是，三角形的面積是，求四邊形的面積【鞏固】(人大附中入學(xué)測試題)如圖，長方形中，若三角形1的面積與三角形3的面積比為4比5，四邊形2的面積為36，則三角形1的面積為_【例 16】 如圖，正方形面積為平方厘米，是邊上的中點求圖中陰影部分的面積【鞏固】在下圖的正方形中，是邊的中點，與相交于點，三角形的面積為1平方厘米，那么正方形面積是 平方厘米【例 17】 如圖面積為平方厘米的正方形中，是邊上的三等分點，求陰影部分的面積【例 18】 如圖，在長方形中，厘米，厘米，求陰影部分的面積【例 19】 (2008年”奧數(shù)網(wǎng)杯”六年級試題)已知是平行四邊形

6、，三角形的面積為6平方厘米則陰影部分的面積是 平方厘米【鞏固】右圖中是梯形，是平行四邊形，已知三角形面積如圖所示(單位：平方厘米)，陰影部分的面積是 平方厘米【鞏固】(2008年三帆中學(xué)考題)右圖中是梯形，是平行四邊形，已知三角形面積如圖所示(單位：平方厘米)，陰影部分的面積是 平方厘米【例 20】 如圖所示，、將長方形分成4塊，的面積是5平方厘米，的面積是10平方厘米問：四邊形的面積是多少平方厘米？【鞏固】如圖所示，、將長方形分成4塊，的面積是4平方厘米，的面積是6平方厘米問：四邊形的面積是多少平方厘米？【鞏固】(98迎春杯初賽)如圖，長方形中，陰影部分是直角三角形且面積為，的長是， 的長是

7、.那么四邊形的面積是多少？【例 21】 (2007年”迎春杯”高年級初賽)如圖，長方形被、分成四塊，已知其中3塊的面積分別為2、5、8平方厘米，那么余下的四邊形的面積為_平方厘米【例 22】 (98迎春杯初賽)如圖，長方形中，是直角三角形且面積為54，的長是16，的長是9那么四邊形的面積是 【例 23】 如圖，是等腰直角三角形，是正方形，線段與相交于點已知正方形的面積48，則的面積是多少？【例 24】 如圖所示，是梯形，面積是，的面積是9，的面積是27那么陰影面積是多少？【例 25】 如圖，正六邊形面積為，那么陰影部分面積為多少？【例 26】 如圖，已知是中點，是的中點，是的中點三角形由這6部

8、分組成，其中比多6平方厘米那么三角形的面積是多少平方厘米？【例 27】 如圖，在一個邊長為6的正方形中，放入一個邊長為2的正方形，保持與原正方形的邊平行，現(xiàn)在分別連接大正方形的一個頂點與小正方形的兩個頂點，形成了圖中的陰影圖形，那么陰影部分的面積為 【例 28】 如圖，在正方形中，、分別在與上，且，連接、，相交于點，過作、得到兩個正方形和，設(shè)正方形的面積為，正方形的面積為，則_ 【例 29】 如下圖，在梯形中，與平行，且，點、分別是和的中點，已知陰影四邊形的面積是54平方厘米，則梯形的面積是 平方厘米【例 30】 (2006年“迎春杯”高年級組決賽)下圖中，四邊形都是邊長為1的正方形，、分別是

9、，的中點，如果左圖中陰影部分與右圖中陰影部分的面積之比是最簡分?jǐn)?shù)，那么，的值等于 板塊三 相似三角形模型(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型 ；所謂的相似三角形，就是形狀相同，大小不同的三角形(只要其形狀不改變，不論大小怎樣改變它們都相似)，與相似三角形相關(guān)的常用的性質(zhì)及定理如下：相似三角形的一切對應(yīng)線段的長度成比例，并且這個比例等于它們的相似比；相似三角形的面積比等于它們相似比的平方；連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線三角形中位線定理：三角形的中位線長等于它所對應(yīng)的底邊長的一半相似三角形模型，給我們提供了三角形之間的邊與面積關(guān)系相互轉(zhuǎn)化的工具在小學(xué)奧數(shù)里，出現(xiàn)最多的情況是因為兩條平行線

10、而出現(xiàn)的相似三角形【例 31】 如圖，已知在平行四邊形中，那么的長度是多少？【例 32】 如圖，測量小玻璃管口徑的量具，的長為厘米，被分為等份如果小玻璃管口正好對著量具上等份處(平行)，那么小玻璃管口徑是多大？ 【例 33】 如圖，平行，若，那么_【例 34】 如圖， 中，互相平行，則 【鞏固】如圖，平行，且，求的長【鞏固】如圖， 中，互相平行，則 【例 35】 已知中，平行，若，且比大，求【例 36】 如圖：平行， ，求的長度【鞏固】如圖，已知平行，那么_【例 37】 如圖，中，與平行，的面積是1平方厘米那么的面積是 平方厘米【例 38】 在圖中的正方形中，分別是所在邊的中點，的面積是面積的

11、幾倍？【例 39】 如圖，線段與垂直，已知，那么圖中陰影部分面積是多少？【例 40】 (年第二屆兩岸四地”華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)精英邀請賽)如圖，四邊形和都是平行四邊形，四邊形的面積是，則四邊形的面積_【例 41】 已知三角形的面積為，是的中點，且，交于，求陰影部分的面積 【例 42】 已知正方形，過的直線分別交、的延長線于點、，且，求正方形的邊長【例 43】 如圖，三角形是一塊銳角三角形余料，邊毫米，高毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在上，其余兩個頂點分別在、上，這個正方形零件的邊長是多少？ 【鞏固】如圖，在中，有長方形，、在上，、分別在、上，是 邊的高，交于，厘米，厘米，求長方形

12、的長和寬【例 44】 圖中是邊長為的正方形，從到正方形頂點、連成一個三角形，已知這個三角形在上截得的長度為，那么三角形的面積是多少？【例 45】 如圖，將一個邊長為的正方形兩邊長分別延長和，割出圖中的陰影部分，求陰影部分的面積是多少？【例 46】 (2008年101中學(xué)考題)圖中的大小正方形的邊長均為整數(shù)(厘米)，它們的面積之和等于52平方厘米，則陰影部分的面積是 【例 47】 如圖，是矩形一條對角線的中點，圖中已經(jīng)標(biāo)出兩個三角形的面積為和，那么陰影部分的一塊直角三角形的面積是多少？【例 48】 已知長方形的面積為厘米，是的中點，、是邊上的三等分點，求陰影的面積是多少厘米？【例 49】 是平行

13、四邊形，面積為72平方厘米，、分別為、的中點，則圖中陰影部分的面積為 平方厘米 【例 50】 如圖，三角形的面積是8平方厘米，長方形的長是6厘米，寬是4厘米，是的中點，則三角形的面積是 平方厘米【例 51】 如圖，長方形中，為的中點，與、分別交于、，垂直于，交于，已知，求【例 52】 右圖中正方形的面積為1， 、分別為、的中點，求陰影部分的面積 【例 53】 梯形的面積為12，為的中點，的延長線與交于，四邊形 的面積是 【例 54】 如圖，三角形的面積為60平方厘米，、分別為各邊的中點，那么陰影部分的面積是 平方厘米【例 55】 如圖,是直角梯形，那么梯形的面積是多少?【例 56】 邊長為厘米和厘米的兩個正方形并放在一起，那么圖中陰影三角形的面積是多少平方厘米？【例 57】 如右圖，長方形中，求的長【例 58】 (第屆迎春杯試題)如圖，已知正方形的邊長為，是邊的中點，是邊上的點，且，與相交于點，求【例 59】 如圖所示，已知平行四邊形的面積是1，、是、的中點， 交于，求的面積 【例 60】