(完整版)理論力學(xué)基本概念總結(jié)大全(2),推薦文檔

1、想學(xué)好理論力學(xué)局必須總結(jié)好好總結(jié)，學(xué)習(xí)靜力學(xué)基礎(chǔ)靜力學(xué)是研究物體平衡一般規(guī)律的科學(xué)。這里所研究的平衡是指物體在某一慣性參考系下處于靜止?fàn)顟B(tài)。物體的靜止?fàn)顟B(tài)是物體運(yùn)動(dòng)的特殊形式。根據(jù)牛頓定律可知，物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的變化取決于作用在物體上的力。那么在什么條件下物體可以保持平衡，是一個(gè)值得研究并有廣泛應(yīng)用背景的課題，這也是靜力學(xué)的主要研究?jī)?nèi)容。本章包括物體的受力分析、力系的簡(jiǎn)化、剛體平衡的基本概念和基本理論。這些內(nèi)容不僅是研究物體平衡條件的重要基礎(chǔ)，也是研究動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的基礎(chǔ)知識(shí)。一、 力學(xué)模型在實(shí)際問(wèn)題中，力學(xué)的研究對(duì)象（物體）往往是十分復(fù)雜的， 因此在研究問(wèn)題時(shí)，需要抓住那些帶有本質(zhì)性的主要因素，而略

2、去影響不大的次要因素，引入一些理想化的模型來(lái)代替實(shí)際的物體， 這個(gè)理想化的模型就是力學(xué)模型。理論力學(xué)中的力學(xué)模型有質(zhì)點(diǎn)、質(zhì)點(diǎn)系、剛體和剛體系。質(zhì)點(diǎn)：具有質(zhì)量而其幾何尺寸可忽略不計(jì)的物體。質(zhì)點(diǎn)系：由若干個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的系統(tǒng)。剛體：是一種特殊的質(zhì)點(diǎn)系，該質(zhì)點(diǎn)系中任意兩點(diǎn)間的距離保持不變。剛體系：由若干個(gè)剛體組成的系統(tǒng)。對(duì)于同一個(gè)研究對(duì)象，由于研究問(wèn)題的側(cè)重點(diǎn)不同，其力學(xué)模型也會(huì)有所不同。例如：在研究太空飛行器的力學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，當(dāng)分析飛行器的運(yùn)行軌道問(wèn)題時(shí)，可以把飛行器用質(zhì)點(diǎn)模型來(lái)代替； 當(dāng)研分析飛行器在空間軌道上的對(duì)接問(wèn)題時(shí)，就必須考慮飛行器的幾何尺寸和方位等因素，可以把飛行器用剛體模型來(lái)代替。當(dāng)研

3、究飛行器的姿態(tài)控制時(shí)，由于飛行器由多個(gè)部件組成，不僅要考慮它們的幾何尺寸，還要考慮各部件間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，因此飛行器的力學(xué)模型就是質(zhì)點(diǎn)系、剛體系或質(zhì)點(diǎn)系與剛體系的組合體。二、 基本定義力是物體間相互的機(jī)械作用，從物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和物體的形狀上看，力對(duì)物體的作用效應(yīng)可分為下面兩種。外效應(yīng)：力使物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生改變。內(nèi)效應(yīng)：力使物體的形狀發(fā)生變化（變形）。對(duì)于剛體來(lái)說(shuō)，力的作用效應(yīng)不涉及內(nèi)效應(yīng)。剛體上某個(gè)力的作用，可能使剛體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生變化，也可能引起剛體上其它力的變化。fbafbnfanfbf bfbna faffbn（a）(b)圖 11ww例如一重為 w 的箱子放在粗糙的水平地面上（如圖 1-1

4、a 所示），人用力水平推箱子，當(dāng)推力 f 為零時(shí)，箱子靜止，只受重力 w 和地面支撐力fan , fbn 的作用。當(dāng)推力由小逐步增大時(shí)，箱子可能還保持靜止?fàn)顟B(tài)，但地面作用在箱子上的力就不僅僅是支撐力，還要有摩擦力faf , fbf 的作用（如圖 1-1b）。隨著推力的逐步增大，箱子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)就會(huì)發(fā)生變化，箱子可能平行移動(dòng)，也可能繞 a 點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，或既有移動(dòng)又有轉(zhuǎn)動(dòng)。靜力學(xué)就是要研究物體在若干個(gè)力作用下的平衡條件。為此，需要描述作用于物體上力的類型和有關(guān)物理量的定義等。力系：作用在物體上若干個(gè)力組成的集合，記為f1 , f2 ,l, fn 。力偶：一種特殊的力系，該力系只有兩個(gè)力構(gòu)成f , f ，

5、其中f = -f (大小相等，方向相反)，且兩個(gè)力的作用線不重合。有時(shí)力偶也用符號(hào)m 表示，如圖 1-2 所示。dffmm（a）(b)(c)圖 1-2等效力系：若力系f1, f2 ,l, fn 和力系p1, p2 ,l, pm對(duì)同一剛體產(chǎn)生相同的作用效果（運(yùn)動(dòng)、約束力等），稱這兩個(gè)力系是等效力系，記為f1 , f2 ,l, fn p1 , p2 ,l, pm 。平衡力系：不產(chǎn)生任何作用效果的力系。例如一個(gè)剛體上沒(méi)有力的作用并且在慣性系下處于靜止，那么這個(gè)剛體將永遠(yuǎn)保持靜止?fàn)顟B(tài)；若這個(gè)剛體在某個(gè)力系作用下仍然保持靜止，這樣的力系就是平衡力系。由于平衡力系作用的效果與沒(méi)有任何力作用的效果相同，所以

6、平衡力系也稱為零力系。通常平衡力系表示成f1 , f2 ,l, fn = 0。合力：與一個(gè)力系等效的力稱為該力系的合力。記為fr f1 , f2 ,l, fn 如力fr 是力系f1 , f2 ,l, fn 的合力，則力fi (i = 1,l, n) 稱為fr 的分力。將一個(gè)力系用其合力來(lái)代替的過(guò)程稱為力的合成，將合力代換成幾個(gè)分力的過(guò)程稱為力的分解。矢量矩：設(shè) a 是一個(gè)矢量， r 是由參考點(diǎn) o 到矢量 a 始端的矢徑（如圖 1-3a 所示），矢量 a 對(duì) o 點(diǎn)的矩定義為：（1-1）mo = mo ( a) = r arafr(a)(b)o由上式可以看出，矢量矩也是一個(gè)矢量。應(yīng)用矢量矩的概

7、念， 如果把矢量 a 置換成力的矢量f ， r 是由 o 點(diǎn)到力的作用點(diǎn)的矢徑（如圖 1-3b 所示），就可以得到力對(duì) o 點(diǎn)之矩的定義。力對(duì) o 點(diǎn)的矩：mo = m o (f ) = r f 。設(shè)f1 , f2 ,l, fn 是作用在某一剛體上的力系，力系的主矢和對(duì) o點(diǎn)的主矩定義成：n主矢： fr = fi ，主矩：i=1nmo = ri fii=1一般情況，力系對(duì)不同點(diǎn)的主矩是不相同的，設(shè)m a 和m b 分別是力系對(duì)任意兩點(diǎn) a、b 的主矩，若用rba 表示從 b 點(diǎn)到 a 點(diǎn)的矢徑，根據(jù)主矢和主矩的定義，利用矢量運(yùn)算可以推導(dǎo)出的下列關(guān)系：（1-2）m b = m a + rba f

8、r當(dāng)力系給定后，力系的主矢是一個(gè)不變量，稱為第一不變量。力系對(duì)某一點(diǎn)的主矩隨著取矩點(diǎn)的不同而變化，并有關(guān)系式（1-2），將該式兩邊點(diǎn)積力系的主矢fr 可得m b fr = m a fr + (rba fr ) fr = m a fr由于 a、b 是任意兩點(diǎn)，這說(shuō)明力系對(duì)任意一點(diǎn)的主矩與力系主矢的點(diǎn)積是一個(gè)不變量，這個(gè)量稱為第二不變量。力偶f , f 是一種特殊的力系（如圖 1-2 所示），這個(gè)力系的主矢fr 0 ，由（1-2）式可知，力偶對(duì)任意點(diǎn)的主矩都是相同的。因此我們把力偶對(duì)任意一點(diǎn)的主矩稱為力偶矩，力偶矩的矢量運(yùn)算可根據(jù)力系對(duì)某點(diǎn) o 的主矩定義得到：mo = ra f + rb f =

9、 rba f（1-3）三、 靜力學(xué)公理靜力學(xué)公理是從實(shí)踐中得到的，是靜力學(xué)的基礎(chǔ)。根據(jù)這些公理并利用數(shù)學(xué)工具可以推導(dǎo)出力系的平衡條件。公理一（二力平衡原理）剛體在二個(gè)力作用下平衡的充分必要條件是此二力大小相等，方向相反，作用線重合。該原理還可表示成f1, f2 = 0。對(duì)于剛體，二力平衡原理總是成立的，但對(duì)于非剛體（變形體或某些剛體系）則不一定成立。例如圖 1-4a 所示的系統(tǒng)，在 a、b 兩點(diǎn)作用有等值、反向、共線的兩個(gè)力，當(dāng)這兩個(gè)力的大小均為 f = f0 sinat （其中f0,a為常值）時(shí)，此時(shí)系統(tǒng)是不平衡的，因?yàn)榧词瓜到y(tǒng)的初始狀態(tài)是靜止的，那么在這兩個(gè)力的作用下，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)會(huì)發(fā)生

10、變化。如果把彈簧換為剛性連桿（圖 1-4b），則系統(tǒng)可視為一個(gè)剛體。在這兩個(gè)力的作用下，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不會(huì)發(fā)生變化（若初始靜止，在這個(gè)力系的作用下還將保持靜止）。ababffff（a）(b)公理二（加減平衡力系原理）在作用于剛體上的任意力系中， 加上或減去任何平衡力系，都不改變?cè)ο祵?duì)剛體的作用效應(yīng)。該原理可表示成：若p1 , p2 ,l, pm 0，則f1 , f2 ,l, fn f1 , f2 ,l, fn , p1 , p2 ,l, pm 公理三（力的平行四邊形合成法則）作用在物體上某一點(diǎn)的兩個(gè)力可以用作用在該點(diǎn)的一個(gè)合力來(lái)代替，此合力的大小和方向可由這兩個(gè)力為鄰邊所構(gòu)成的平行四邊形的對(duì)

11、角線來(lái)確定。公理四（作用與反作用定律）任何兩個(gè)物體間的相互作用力總是同時(shí)存在，并且等值、反向、共線，分別作用在兩個(gè)物體上。公理四實(shí)際上就是牛頓第三定律，該定律與參考系的選取無(wú)關(guān)， 也就是說(shuō)，對(duì)于慣性參考系和非慣性參考系，公理四都是成立的。公理五（剛化原理）變形體在某一力系作用下處于平衡時(shí)，如將該變形體剛化為剛體，則平衡狀態(tài)保持不變。圖 1-4a 所示系統(tǒng)，如果在兩個(gè)力作用下處于平衡，那么若使彈簧剛度系數(shù)k + ，也就是將彈簧換成剛性桿（如圖 1-4b 所示），系統(tǒng)仍然可以保持平衡。但反之不成立。公理五說(shuō)明，剛體的平衡條件，只是變形體平衡的必要條件，而不是充分條件。上述 5 個(gè)公理中，有些對(duì)剛體

12、是成立的，有些對(duì)物體是成立的， 對(duì)物體成立的公理對(duì)剛體一定成立，反之則不然。四、 約束與約束力工程中的一些物體可在空間自由運(yùn)動(dòng)，這些物體稱為自由體，例如空中的飛機(jī)、衛(wèi)星等。另一些物體其運(yùn)動(dòng)受到某些限制，這些物體稱為非自由體，如跑道上的飛機(jī)、公路上的汽車、鐵道上的火車等。約束：限制物體運(yùn)動(dòng)的條件。構(gòu)成約束的物體稱為約束體，約束體對(duì)物體的作用力稱為約束力。那些大小和方向與約束無(wú)關(guān)的力稱為主動(dòng)力。工程中常見的約束有柔索類約束、光滑面約束、各種鉸鏈約束、二力桿約束和固定端約束等。不同類型的約束，對(duì)物體運(yùn)動(dòng)的限制條件則不同，所產(chǎn)生的約束力的方向也有所不同，如繩索產(chǎn)生的約束力是沿著繩索的方向，且只能受拉力

13、；二力構(gòu)件產(chǎn)生的約束力的方向是沿二力構(gòu)件上兩個(gè)力的作用點(diǎn)的連線，既可以受拉力也可以受壓力；除滑動(dòng)鉸鏈支座外，鉸鏈的約束力的方向是不能確定的；固定端的約束力實(shí)際上是一個(gè)分布力（可簡(jiǎn)化成一個(gè)力和一個(gè)力偶）。掌握各種類型約束的特點(diǎn)，畫出研究對(duì)象的受力圖，是研究力學(xué)問(wèn)題(包括靜力學(xué)和動(dòng)力學(xué)）的必要基礎(chǔ)。值得注意的是，約束力（或力偶）是根據(jù)約束類型的特點(diǎn)畫的，除繩索和光滑面約束外，僅根據(jù)約束類型的特點(diǎn)，無(wú)法確定約束力（或力偶）的具體方向，更不能確定其大小，只有利用平衡原理或平衡條件才能最終確定它們的大小和方向。五、 靜力學(xué)定理在此，我們把由靜力學(xué)中的定義和公理（或定律）推出的一些結(jié)論稱為定理。定理 1

14、作用在剛體上的力沿其作用線移動(dòng)到任一點(diǎn)，不改變其作用效應(yīng)。f 2 + f 2 + f 2xyz這個(gè)定理實(shí)際上是公理一和公理二的推論。對(duì)于物體，力的作用效應(yīng)與力的三要素（大小、方向和作用點(diǎn)）有關(guān)。根據(jù)定理 1 可知， 作用在剛體上的力，其三要素是力的大小、方向和作用線，力對(duì)剛 體的作用效應(yīng)則與這三個(gè)要素有關(guān)。對(duì)同一個(gè)剛體而言，力的三個(gè) 要素不同，力的作用效應(yīng)也就不同。力可以用矢量f 表示為f = fxi + fyj + fz kf = f =cosa= fxfcosa= fy,fcosa= fz,f其中fx , fy , fz 為力在 x、y、z 軸上的投影， f 或 f表示力矢量的模，a,a,

15、a為力矢量與三個(gè)坐標(biāo)軸的夾角。因此，力這個(gè)矢量的模可以表 示其大小，矢量的方向可以用來(lái)表示力的方向（指向），但不能確定作用線的位置，還應(yīng)該用另它一個(gè)量來(lái)確定力的作用線。力矢量f 和力對(duì) o 點(diǎn)之矩m o (f ) 是力對(duì)剛體作用效應(yīng)的度量。給定了矢量f ，就能確定力的大小和指向，再給定剛體在空間的位置和取矩點(diǎn) o 的位置后，根據(jù)矢量m o (f ) 就可以確定力的作用線（無(wú)論力的作用點(diǎn)是作用線上的哪一點(diǎn)，力對(duì) o 點(diǎn)的矩都是不變的，如圖 1-5 所示）。drfo圖 15定理 2（合力矩定理）設(shè)作用在剛體上的力系f1 , f2 ,l, fn 存在合力fr ，則有：nmo (fr ) = mo (

16、fi )i=1定理 3（力對(duì)點(diǎn)之矩與力對(duì)軸之矩的關(guān)系定理）力對(duì)某一軸的矩等于力對(duì)這一軸上任一點(diǎn)之矩在該軸上的投影。在數(shù)學(xué)上有這樣的定理，即某一矢量對(duì)任意軸的矩等于該矢量對(duì)這一軸上任一點(diǎn)之矩在該軸上的投影。定理 3 只是這個(gè)定理在力學(xué)中的一個(gè)應(yīng)用，同樣在研究動(dòng)量矩時(shí)，也會(huì)有類似的應(yīng)用。定理 4（力的平移定理）作用于剛體上任意一點(diǎn)的力可平移到剛體上其它任何一點(diǎn)，若不改變對(duì)剛體的作用效應(yīng)，必須增加一個(gè)附加力偶，其力偶矩等于原力對(duì)新作用點(diǎn)的矩。定理 5（力系等效定理）作用于剛體上的兩個(gè)力系f1 , f2 ,l, fn 和p1 , p2 ,l, pm 等效的條件是：nmnmfi =pi mo (fi )

17、 = mo (pj )i=1j=1，i=1j=1該定理可根據(jù)牛頓定律和有關(guān)力系等效的定義推導(dǎo)出來(lái)。實(shí)際上該定理是力系等效的基本定理，定理 1 和定理 4 都可由該定理推導(dǎo)出來(lái)。由定理 5 還可以推導(dǎo)出力偶的等效條件，由于力偶是一個(gè)特殊的力系，它的主矢恒等于零，而且對(duì)任意一點(diǎn)的主矩也相同，因此可由定理 5 推出力偶等效的條件。定理 6（力偶等效條件）作用于剛體上的兩個(gè)力偶等效的條件是它們的力偶矩相等。由這個(gè)定理可以得到力偶的下列性質(zhì)。力偶的性質(zhì)：性質(zhì)一力偶不能與一個(gè)力等效（即力偶無(wú)合力），因此也不能與一個(gè)力平衡。性質(zhì)二力偶可在其作用面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，或平移到另一平行面上， 而不改變對(duì)剛體的作用效應(yīng)(如圖

18、 1-6a、b 所示)。性質(zhì)三若改變力偶中的力和力偶臂的大小，而不改變力偶的轉(zhuǎn)向和力偶矩的大小，則力偶對(duì)剛體的作用效應(yīng)不會(huì)改變（如圖 1-6c 所示， 其中fd = f1d1 ）。dfffdfdffdff（）（）dfd1f 1ff1（） 圖 1-6定理 7（三力平衡定理）作用于剛體上的三個(gè)力若平衡，則這三個(gè)力的作用線必共面，或是平行，或是相交于一點(diǎn)。由該定理可推出這樣的結(jié)論：作用于剛體上共面的三個(gè)力若平衡， 如果它們不平行，則必匯交于一點(diǎn)。六、 力系的簡(jiǎn)化作用在剛體上力系f1 , f2 ,l, fn 向某一點(diǎn) a 簡(jiǎn)化實(shí)際上是確定一個(gè)與原力系等效的簡(jiǎn)化力系，這個(gè)簡(jiǎn)化力系一般由一個(gè)作用線通過(guò)簡(jiǎn)化

19、點(diǎn) a 的力和一個(gè)力偶構(gòu)成，這個(gè)力的大小和指向由原力系的主矢fr 確定，而這個(gè)力偶的力偶矩由原力系對(duì) a 點(diǎn)的主矩m a 來(lái)確定，將該簡(jiǎn)化力系記為fr , m a 。同理原力系f1 , f2 ,l, fn 也可以向另一個(gè)簡(jiǎn)化點(diǎn) b 簡(jiǎn)化，得到另一個(gè)簡(jiǎn)化力系是fr , m b 。這兩個(gè)簡(jiǎn)化力系均是由一個(gè)力和一個(gè)力偶構(gòu)成，這兩個(gè)簡(jiǎn)化力系中的力（不包括力偶）的大小和指向都是相同的，只是作用線不同，一個(gè)過(guò)簡(jiǎn)化點(diǎn)a，另一個(gè)過(guò)簡(jiǎn)化點(diǎn) b，在一般情況下，兩個(gè)簡(jiǎn)化力系中的力偶m a 和m b 的力偶矩是不同的，但它們滿足關(guān)系式（1-2）。力系f1 , f2 ,l, fn 簡(jiǎn)化的最后結(jié)果有以下四種情況：（1）

20、力系簡(jiǎn)化為一合力偶若fr = 0, mo 0 ，則力系等價(jià)于一個(gè)力偶，其力偶矩等于該力系對(duì)簡(jiǎn)化點(diǎn) o 的主矩。（2） 力系簡(jiǎn)化為一合力若fr 0, mo= 0 ，則該力系等價(jià)于一個(gè)力，力的大小和方向由力系的主矢確定，力的作用線過(guò) o 點(diǎn)。若fr 0, mo 0, fr mo ，則該力系等價(jià)于一個(gè)力，力的大小和方向由力系的主矢確定，力的作用線不過(guò) o 點(diǎn)， 而過(guò) o點(diǎn)（o點(diǎn)如何確定請(qǐng)讀者自己思考）。（3） 力系簡(jiǎn)化為力螺旋若fr 0, mo力螺旋。（4） 力系平衡若fr = 0, mo 0, 且fr , mo 互不垂直，則力系等價(jià)于一個(gè)= 0 ，則力系等價(jià)于一個(gè)零力系（平衡力系）。由此可知力系是

21、平衡力系的充分必要條件是：力系的主矢和對(duì)某一點(diǎn)的主矩均為零。同理，根據(jù)定理 6 和平衡力系的定義，也可以得到上述力系的平衡條件。剛體的定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)與一般運(yùn)動(dòng)剛體的定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)與一般運(yùn)動(dòng)屬于剛體的三維運(yùn)動(dòng),在本章首先研究其運(yùn)動(dòng)學(xué),然后在研究其動(dòng)力學(xué)一、定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)剛體的運(yùn)動(dòng)學(xué)剛體的定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)：剛體在運(yùn)動(dòng)時(shí)，如果其或其延展體上有一點(diǎn)不動(dòng)， 則稱這種運(yùn)動(dòng)為剛體的定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)。（1） 剛體定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程。確定定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)剛體在空間的位置可用歐拉（euler）角表示，它們分別是進(jìn)動(dòng)角a，章動(dòng)角a，自轉(zhuǎn) 角a。剛體定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程為a（121）f1 (t),af 2 (t),af3 (t)（2） 剛體定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的角速度和角

22、加速度。定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)剛體的角速度可表示成w w w w（122）剛體角速度w矢量平行于瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸。定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)剛體的角加速度定義為：w dw dt（123）一般情況下角速度矢量w的大小和方向都隨時(shí)間變化，因此角加速度矢量w和角速度矢量w不平行。（3） 定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)剛體上各點(diǎn)的速度和加速度。定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)剛體上任意點(diǎn)m 的速度可表示成v = w r（124）其中：r 為由定點(diǎn) o 引向點(diǎn) m 的矢徑。定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)剛體上任意點(diǎn) m 的加速度可表示成a = w r +w v（125）上式中等號(hào)右端第一項(xiàng)ar = w r 定義為轉(zhuǎn)動(dòng)加速度，第二項(xiàng)a n = w v 定義為向軸加速度。（4） 剛體定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的位移定理：定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)剛

23、體的任何有限位移，可以繞過(guò)定點(diǎn)的某一軸經(jīng)過(guò)一次轉(zhuǎn)動(dòng)而實(shí)現(xiàn)。二、定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)剛體的動(dòng)力學(xué)（1） 定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)剛體的動(dòng)量矩。定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)剛體對(duì)固定點(diǎn) o 的動(dòng)量矩定義為：lo = r vdm = r (w r)dmmm（126）其中： r, v 分別為剛體上的質(zhì)量微團(tuán)dm 的矢徑和速度，w為剛體的角速度。當(dāng)隨體參考系的三個(gè)軸ox, oy, oz 為慣量主軸時(shí)，上式可表示成lo = j xax i+ j y ay j+ j z az k（127）（2） 定點(diǎn)剛體的歐拉動(dòng)力學(xué)方程。應(yīng)用動(dòng)量矩定理可得到定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)剛體的歐拉動(dòng)力學(xué)方程j x & x + (j z - j y )ay az = m x j a&+ (j-

24、 j )aa = m y y xz z xy j z & z + (j y - j x )axay = m z （128）（3） 陀螺近似理論。繞質(zhì)量對(duì)稱軸高速旋轉(zhuǎn)的定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)剛體成為陀螺。若陀螺繞的自旋角速度為w，進(jìn)動(dòng)角速度為w ， j z 為陀螺對(duì)質(zhì)量對(duì)稱軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，則陀螺的動(dòng)力學(xué)方程為w j z w= m o（129）其中m o 是作用在陀螺上的力對(duì) o 點(diǎn)之矩的矢量和。三、剛體的一般運(yùn)動(dòng)（1） 剛體一般運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)。確定一般運(yùn)動(dòng)剛體在空間的位置，需要確定剛體上任意一點(diǎn) o（基點(diǎn)）的坐標(biāo)xo , yo , zo 和剛體相對(duì)基點(diǎn)作定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的三個(gè)歐拉角a，a，a。一般運(yùn)動(dòng)剛體的運(yùn)動(dòng)方程為xo

25、 f1 (t), yo f 2 (t), zo f3 (t)a f 4(t),af5(t),af6 (t)（1210）（2） 一般運(yùn)動(dòng)剛體上任意一點(diǎn)的速度和加速度。一般運(yùn)動(dòng)剛體上任意一點(diǎn) m 的速度可表示成vm = vo +w r（1211）其中vo 為基點(diǎn)o 的速度， r 為由o 引向 m 點(diǎn)的矢徑，w為剛體的角速度。一般運(yùn)動(dòng)剛體上任意一點(diǎn) m 的加速度可表示成am = ao +w r+w vm（1212）其中ao 為基點(diǎn)o 的加速度。（3） 剛體一般運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。剛體一般運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程可由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理和相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理得到。靜力學(xué)理論的應(yīng)用應(yīng)用靜力學(xué)的基本理論與方法研究物體系

26、統(tǒng)的平衡是本章的基本內(nèi)容，其中包括：剛體系統(tǒng)的平衡問(wèn)題；桁架的平衡問(wèn)題，考慮摩擦?xí)r物體的平衡問(wèn)題等。一、靜定與靜不定問(wèn)題在研究剛體或剛體系統(tǒng)的平衡問(wèn)題中，如果未知量（包括： 約束力，平衡位置等）的數(shù)目等于系統(tǒng)獨(dú)立的平衡方程的數(shù)目時(shí)， 所有未知量均可由平衡方程唯一地求解出來(lái)，這樣的問(wèn)題稱為靜定問(wèn)題；如果未知量的數(shù)目大于系統(tǒng)獨(dú)立的平衡方程的數(shù)目時(shí)，未知量不能由平衡方程唯一地求解出來(lái)（有時(shí)只能求出部分未知量），這樣的問(wèn)題稱為靜不定問(wèn)題。從數(shù)學(xué)角度來(lái)看，判斷系統(tǒng)的靜定與靜不定問(wèn)題，是根據(jù)系統(tǒng)未知量的數(shù)目與獨(dú)立平衡方程數(shù)目的關(guān)系來(lái)確定。從力學(xué)角度來(lái)看，靜不定問(wèn)題，一般是系統(tǒng)存在某種多余的約束。例如圖3-

27、1 所示系統(tǒng)是靜定的，因?yàn)殂q鏈 a、b 處的約束力（三個(gè)未知量） 可由三個(gè)獨(dú)立的平衡方程完全確定；而圖 3-2 所示系統(tǒng)是靜不定的，因?yàn)樵谒椒较虼嬖诙嘤嗟募s束，a、b 處的約束力為四個(gè)未知量，獨(dú)立的平衡方程只有三個(gè)，不能唯一地求出所有的未知量，但可以求出部分未知量，如可以求出約束力在鉛垂方向的兩個(gè)分量，而在水平方向的兩個(gè)分量不能唯一地確定。f2f1abmf2f1a bm圖 31圖 32二、剛體系統(tǒng)的平衡問(wèn)題在一般情況下，對(duì)于靜定的剛體系統(tǒng)，其獨(dú)立的平衡方程數(shù)目等于系統(tǒng)中每個(gè)剛體的獨(dú)立平衡方程數(shù)目之和，由這組平衡方程可求得剛體系統(tǒng)中所有未知量，但求解聯(lián)立的代數(shù)方程組，計(jì)算量較大，通常利用計(jì)算機(jī)

28、進(jìn)行數(shù)值求解。在理論力學(xué)的課程學(xué)習(xí)中，則側(cè)重強(qiáng)調(diào)基本理論與基本方法的理解與掌握。在求解剛體系統(tǒng)的平衡問(wèn)題時(shí)，突出強(qiáng)調(diào)靈活恰當(dāng)?shù)剡x取研究對(duì)象，對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行受力分析，建立平衡方程，并盡量避免求解聯(lián)立方程， 最好一個(gè)方程求解一個(gè)未知量。三、平面桁架的平衡問(wèn)題桁架是特殊的剛體系統(tǒng)，其特點(diǎn)是構(gòu)成桁架的各個(gè)部件均抽象成二力桿。求解桿件內(nèi)力或約束力時(shí)的思想方法與求解剛體系統(tǒng)平衡問(wèn)題的相同，只是在分析過(guò)程中要利用二力桿的特點(diǎn)。求解桁架平衡問(wèn)題的基本方法有：（1） 節(jié)點(diǎn)法：以桁架的節(jié)點(diǎn)為研究對(duì)象，通過(guò)求解平衡方程， 確定桿件內(nèi)力的方法。（2） 截面法：將桁架沿某一面截出一部分作為研究對(duì)象，應(yīng)用平衡方程求解桿的

29、內(nèi)力的方法。四、考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題1、滑動(dòng)摩擦兩個(gè)相接觸的物體有相對(duì)滑動(dòng)或滑動(dòng)趨勢(shì)時(shí)，在接觸處有阻礙其滑動(dòng)的力，這種力稱為滑動(dòng)摩擦力?；瑒?dòng)摩擦的分類及其特點(diǎn)：（1） 物體處于靜止但有滑動(dòng)趨勢(shì)時(shí)，存在靜滑動(dòng)摩擦力 f。摩擦力的方向：與相對(duì)滑動(dòng)趨勢(shì)的方向相反。摩擦力的大?。?0 f fmax ，由平衡方程確定。最大靜摩擦力的大小由庫(kù)侖定律確定，即： fmax = f s fn ，其中 f s 為靜滑動(dòng)摩擦因數(shù)（可由手冊(cè)查出）， fn 為法向約束力的大小。當(dāng)摩擦力達(dá)到最大值時(shí)，摩擦點(diǎn)即將產(chǎn)生滑動(dòng)，這種狀態(tài)稱為臨界狀態(tài)（2） 當(dāng)物體滑動(dòng)時(shí)，存在動(dòng)滑動(dòng)摩擦力 f。摩擦力的方向：與相對(duì)滑動(dòng)的方向相反。摩

30、擦力的大?。?f =向約束力的大小。ffn ，其中 f 為動(dòng)滑動(dòng)摩擦因數(shù)， fn 為法2、摩擦角與摩擦自鎖將約束面對(duì)物體的全反力fr (fr = f + fn ) 的作用線與法向約束力作用線的夾角記為a，如圖 3-3a 所示；達(dá)到臨界狀態(tài)時(shí)的全反力frfnafr (fr = fmax + fn ) 的作用線與法向約束力作用線的夾角記為am ，稱為摩擦角，如圖 3-3b 所示，并有關(guān)系式tanam = f s 。frfnamffmax(a) (b)圖 3-3由前述可知，全反力的作用線總在摩擦角以內(nèi)。當(dāng)作用在物體上主動(dòng)力的作用線也在摩擦角的范圍內(nèi)時(shí)，無(wú)論主動(dòng)力的大小如何變化，物體總保持平衡而不滑動(dòng)

31、，這種現(xiàn)象稱為摩擦自鎖。摩擦自鎖條件是a am 。3、滾動(dòng)摩阻當(dāng)兩個(gè)相接觸的物體有相對(duì)滾動(dòng)或滾動(dòng)趨勢(shì)時(shí)，在接觸處除了有摩擦力外，還存在滾動(dòng)摩擦力偶 m，這個(gè)力偶稱為滾阻力偶。（1） 物體處于靜止但有滾動(dòng)趨勢(shì)時(shí)，存在滾阻力偶m。滾阻力偶的轉(zhuǎn)向：與滾動(dòng)趨勢(shì)的轉(zhuǎn)向相反。滾阻力偶矩的大小： 0 m m max ，由平衡方程確定。最大滾阻力偶矩的大小由關(guān)系式m max = a fn 確定，其中a為滾阻系數(shù)（可由手冊(cè)查出）， fn 為法向約束力的大小。當(dāng)滾阻力偶達(dá)到最大值時(shí)，物體即將滾動(dòng)，這種狀態(tài)也稱為臨界狀態(tài)。（2） 當(dāng)物體滾動(dòng)時(shí)，存在滾阻力偶 m。滾阻力偶的轉(zhuǎn)向：與滾動(dòng)轉(zhuǎn)向相反。滾阻力偶矩的大?。航?/p>

32、地由關(guān)系式m max = a fn 確定。虛位移原理虛位移原理提供了靜力學(xué)問(wèn)題的一種全新的解法，它還是分析力學(xué)的基礎(chǔ)。虛位移原理是設(shè)計(jì)用來(lái)消除平衡方程中的約束力，主要是用來(lái)求解平衡系統(tǒng)的主動(dòng)力之間的關(guān)系或平衡位置。另外，通過(guò)解除約束，將內(nèi)力或約束力轉(zhuǎn)化為主動(dòng)力，則虛位移原理也可用來(lái)求解內(nèi)力和約束力，而且這比以前的列平衡方程的常規(guī)方法更有效。一、力的功元功：力在微小位移上所做的功稱為元功。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：aw = f vdt 或aw = f dr ，其中v 和dr 分別為力f 作用點(diǎn)的速度和微小位移。變力在曲線路徑上做的功可以用曲線積分計(jì)算。等效力系做功定理: 等效力系在剛體的位移上所做的功相等

33、。nm即：若f1 ,l, fn = p1 ,l, pm ，則w (fi ) = w (pj ) 。i=1j =1在計(jì)算力的功時(shí)，為計(jì)算方便，可以利用上述定理。例如：圖 4-1(a)所示鼓輪上纏繞有柔索，在力 f（大小和方向不變）作用下在地面上純滾動(dòng)。計(jì)算在輪心沿直線移動(dòng)s 距離過(guò)程中力 f 所做的功。(a) (b)圖 4-1由于力 f 的作用點(diǎn)的位移不易計(jì)算，我們可將 f 平移到輪心， 同時(shí)附加一力偶m (其力偶矩的大小為m = fr ,如圖 41b 所示）以保持力系等效，即f = f , m。新的力系f , m 在輪心沿直線移動(dòng)s 距離過(guò)程中所作的功較易計(jì)算：w = fs cosa+ ma，

34、其中：a為圓盤輪心移動(dòng) s 距離時(shí)，圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的角度，即a 是上式可寫成s ，于rw = fs cosa+ fr sr它等于在輪心沿直線位移s 距離過(guò)程中力 f 所做的功。二、約束及其分類約束：對(duì)質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)所加的限制。如某質(zhì)點(diǎn)被限制在固定曲面上運(yùn)動(dòng),則該質(zhì)點(diǎn)就是受到了約束。約束體對(duì)被約束體的運(yùn)動(dòng)是通過(guò)力的作用(稱為約束力)來(lái)加以限制的,但是約束與受力是應(yīng)區(qū)別對(duì)待的兩個(gè)不同概念,這可以通過(guò)下面的例子來(lái)區(qū)分.ooaxoya(a) (b)(c)圖 4-2對(duì)圖 4-2 中所示的系統(tǒng)：在(a)中，質(zhì)點(diǎn) a 被固定在剛性桿上并球鉸鏈連接接在固定點(diǎn)o。顯然質(zhì)點(diǎn) a 受到了約束，因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn) a 的運(yùn)動(dòng)被限制

35、在一個(gè)固定球面上(球面中心在 o 點(diǎn),半徑為桿長(zhǎng) l)，它的運(yùn)動(dòng)受到了限制。在(b)中，將剛桿換成了一條不可伸長(zhǎng)的柔索，則質(zhì)點(diǎn) a 仍然受到了約束，因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn) a 被限制在一個(gè)固定球面內(nèi)運(yùn)動(dòng)(這是一個(gè)單面約束，約束方程用不等式表示)，它不能運(yùn)動(dòng)到球面之外。在(c)中，剛桿又換成了彈簧，則質(zhì)點(diǎn) a 就變成了一個(gè)自由質(zhì)點(diǎn)。盡管它受彈簧力的作用，但它的運(yùn)動(dòng)沒(méi)有受到限制，理論上它可以 運(yùn)動(dòng)到空間中任何一個(gè)位置，所以圖(c)中的質(zhì)點(diǎn) a 沒(méi)受到約束?？偠灾芗s束質(zhì)點(diǎn)必然受力，但受力不等于受約束。三、約束的分類約束如按系統(tǒng)的實(shí)際結(jié)構(gòu)進(jìn)行分類，也就是從物理方面來(lái)進(jìn)行 分類，就有了柔索類、鉸鏈類、光滑面支撐

36、類、固定端類等。另外， 約束的理想與非理想之分，也是從物理方面來(lái)分類的。約束如按約束方程的形式，也就是從數(shù)學(xué)方面來(lái)進(jìn)行分類，我們就有單面與雙面之分、定常與非定常之分、幾何(完整)與非完整之分。四、自由度與廣義坐標(biāo)自由度：自由度是確定質(zhì)點(diǎn)系的空間位置所需的獨(dú)立參數(shù)的個(gè)數(shù)。對(duì)于一個(gè)具有 n 個(gè)質(zhì)點(diǎn)的自由質(zhì)點(diǎn)系,可用各點(diǎn)的空間坐標(biāo)來(lái)確定它的空間位置,所以它的自由度是 3n。如果給該質(zhì)點(diǎn)系再加上 k 個(gè)獨(dú)立的雙面幾何約束:fi (x1 , y1 , z1 ,., xn , yn , zn , t) = 0, i = 1,., k則由于通過(guò)該方程組可將其中的 k 個(gè)坐標(biāo)表示成另外 3n-k 個(gè)坐標(biāo)參數(shù)(

37、獨(dú)立)的函數(shù)，所以該受約束質(zhì)點(diǎn)系的自由度為 3n-k。對(duì)于圖 4-2(a)所示的質(zhì)點(diǎn)，如果 o 處是球鉸，它的約束方程（質(zhì)點(diǎn)到球鉸 o 的距離為桿長(zhǎng)）的個(gè)數(shù)是 1，所以該系統(tǒng)的自由度是 3-1=2。如果將 o 換成柱鉸，則約束方程則為x2 + y2 + z2 - l 2 = 0z = 0有兩個(gè)約束方程，則系統(tǒng)的自由度就是 3-2=1。對(duì)于圖 4-1(b)所示的質(zhì)點(diǎn)，由于這是一個(gè)單面約束，當(dāng)柔索未拉直時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)未受到限制，確定質(zhì)點(diǎn) a 的位置仍需要它的三個(gè)空間坐標(biāo)，所以它的自由度是 3；當(dāng)柔索處于拉直狀態(tài)時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)受到限制，可列寫一個(gè)等式約束方程，所以其自由度是 2。對(duì)于圖 4-1(c)

38、所示的質(zhì)點(diǎn)，由于彈簧不構(gòu)成約束，所以自由度是 3。對(duì)于剛體系統(tǒng)，了解各種運(yùn)動(dòng)狀況下的剛體所具有的自由度對(duì)于判定系統(tǒng)的自由度是有幫助的，下面列出各種運(yùn)動(dòng)的剛體所具有的自由度?？臻g運(yùn)動(dòng)的自由剛體：6空間平動(dòng)的剛體：3定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體：3平面運(yùn)動(dòng)的剛體：3定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體：1對(duì)于剛體系統(tǒng)，也可以用位置參數(shù)減去獨(dú)立(雙面)約束方程個(gè)數(shù)的方法判定自由度。下面以例示之。如圖 4-3 所示的平面運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)，兩輪被限制在水平直線上作純滾動(dòng)，桿 ac 與桿 bc 之間以(柱)鉸鏈連接，桿與輪之間也用(柱)鉸鏈連接。確定系統(tǒng)的自由度。分析：該系統(tǒng)由兩根桿和兩個(gè)輪組成，計(jì)有 4 個(gè)平面運(yùn)動(dòng)剛體，每個(gè)平面運(yùn)動(dòng)剛體需 3 個(gè)

39、位置參數(shù)，該機(jī)構(gòu)共需 43=12 個(gè)參數(shù)描述其位置。但是這 12 個(gè)位置參數(shù)又受以下約束：a圖 4-3桿 ac 與桿 bc 的c 點(diǎn)位置坐標(biāo)重疊：可列 2 個(gè)幾何約束方程(x 坐標(biāo)與 y 坐標(biāo))；桿 ac 與輪 a 的輪心 a 點(diǎn)位置坐標(biāo)重疊：可列 2 個(gè)幾何約束方程(x 坐標(biāo)與 y 坐標(biāo))；桿 bc 與輪 b 的輪心 b 點(diǎn)位置坐標(biāo)重疊：可列 2 個(gè)幾何約束方程(x 坐標(biāo)與 y 坐標(biāo))；輪 a 作純滾動(dòng)：可列 1 個(gè)可積的運(yùn)動(dòng)約束(相當(dāng)于 1 個(gè)幾何約束)方程；輪 b 作純滾動(dòng)：可列 1 個(gè)可積的運(yùn)動(dòng)約束(相當(dāng)于 1 個(gè)幾何約束)方程；輪 a 中心 a 作直線運(yùn)動(dòng)：可列 1 個(gè)幾何約束方程；

40、 輪 b 中心 b 作直線運(yùn)動(dòng)：可列 1 個(gè)幾何約束方程。這樣一來(lái),系統(tǒng)約束方程的個(gè)數(shù)為 10，則整個(gè)系統(tǒng)的自由度為：12- 10=2。也可以這樣來(lái)判定：通過(guò)觀察，ac 桿與 bc 桿間的夾角q 可決定系統(tǒng)的形狀，一旦q 確定，則輪 a 的中心坐標(biāo) xa 可決定系統(tǒng)的位置及兩輪的轉(zhuǎn)角，故描述該系統(tǒng)的位置獨(dú)立參數(shù)可取(xa ,a) ，所以這是一個(gè) 2 自由度系統(tǒng)。廣義坐標(biāo)：確定系統(tǒng)位置或形狀的獨(dú)立參數(shù)。系統(tǒng)的自由度是唯一的，但確定位置或形狀的獨(dú)立參數(shù)卻有多 種取法，故廣義坐標(biāo)的取法不唯一，但是廣義坐標(biāo)的個(gè)數(shù)是確定的。當(dāng)系統(tǒng)受到完整約束時(shí)，廣義坐標(biāo)的個(gè)數(shù)等于系統(tǒng)的自由度數(shù)。例如在上面的例子中，可以

41、取(xa ,a) 為廣義坐標(biāo)，或取(xb ,a) 為廣義坐標(biāo)，也可以取兩輪的輪心的水平位置坐標(biāo)(xa , xb ) 為廣義坐標(biāo), 因?yàn)樗鼈兌际仟?dú)立參數(shù)。但不能取輪心 a 的坐標(biāo)和輪 a 的轉(zhuǎn)角(xa ,aa ) 為廣義坐標(biāo),因?yàn)檫@兩者不獨(dú)立。位形空間：廣義坐標(biāo)構(gòu)成的空間稱為位形空間，也稱構(gòu)形空間。位形空間中的點(diǎn)描述了質(zhì)點(diǎn)系的位置或形狀。取質(zhì)點(diǎn)系的廣義坐標(biāo)為q1,., qk ，則(q1 ,., qk ) 就是位形空間。五、虛位移與虛功虛位移：在給定瞬時(shí)，質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系為約束容許的任何無(wú)限小位移。在靜力學(xué)中，考慮的是完整、雙面、定常約束，但在動(dòng)力學(xué)中， 盡管運(yùn)動(dòng)中的質(zhì)點(diǎn)系大都也是受定常約束，但也可能

42、受非定常約束 (即約束方程中顯含時(shí)間 t)。對(duì)于定常約束，有無(wú)“給定瞬時(shí)”沒(méi)有區(qū)別，但對(duì)于非定常約束，“給定瞬時(shí)”意味著什么呢？我們以下面的例子來(lái)闡明這個(gè)概念。對(duì)于一個(gè)限制在固定曲面上 f(x,y,z)=0 上的質(zhì)點(diǎn) m，它的虛位移是在 m 點(diǎn)的切面上任意方向的無(wú)限小位移，而 m 的無(wú)限小實(shí)位移會(huì)和某個(gè)方向上的虛位移重合。如果該曲面在運(yùn)動(dòng)，不妨設(shè)在 z 方向以速度 v 平動(dòng)：f(x,y,z- vt)=0。這種情況下，“給定瞬時(shí)”的虛位移就是在給定時(shí)刻，曲面所 在位置 m 點(diǎn)的切面上任意方向的無(wú)限小位移。相當(dāng)于將正在運(yùn)動(dòng)的曲面在該瞬時(shí)“定格”，然后考慮該“固定曲面”所容許的無(wú)限小位移(如圖 4-

43、4)。在數(shù)學(xué)上，意味著時(shí)間 t 的變分為零：t=0。對(duì)于定常約束，無(wú)限小實(shí)位移同某一方向的虛位移重合，但對(duì)非定常約束，無(wú)限小實(shí)位移不同任何虛位移重合。t 時(shí)刻曲面所處位置虛功：虛功是力在質(zhì)點(diǎn)系的虛位移上所做的功.虛功是一個(gè)假想的功，按定義，虛位移是微小位移，所以虛功屬于元功。理想約束：約束力虛功之和等于零的約束。理論力學(xué)中常見的理想約束有： 光滑(固定或移動(dòng))支撐面約束和滾動(dòng)鉸鏈支座； 光滑固定鉸鏈支座和軸承； 連接物體的光滑鉸鏈； 無(wú)重剛桿； 連接兩物體的不可伸長(zhǎng)的柔索； 不計(jì)滾動(dòng)摩擦阻力時(shí)，剛體在(固定或移動(dòng))曲面上的無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng)。虛位移原理：具有定常、雙面、完整、理想約束的質(zhì)點(diǎn)系，其平衡

44、的充要條件是，對(duì)于系統(tǒng)的任何一個(gè)虛位移，作用于質(zhì)點(diǎn)系上的所有主動(dòng)力所做的虛功之和等于零。虛位移原理寫成數(shù)學(xué)表達(dá)式：aw = fi ari = 0（41）其中ari 是主動(dòng)力fi 的作用點(diǎn)的虛位移。由此建立的方程也可稱為平衡方程。對(duì)于一個(gè)受約束的質(zhì)點(diǎn)系，各ari 并不是獨(dú)立的。所以在實(shí)際應(yīng)用中必須補(bǔ)充一組虛位移的約束方程。所以，虛位移原理就將求平衡問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求虛位移的關(guān)系問(wèn)題。仔細(xì)審視一下虛位移原理，請(qǐng)注意其中加點(diǎn)的“任意”二字。在對(duì)多自由度系統(tǒng)實(shí)際應(yīng)用虛位移原理時(shí)，可以選取幾個(gè)特殊的虛位移，令主動(dòng)力做的虛功之和為零，以建立平衡方程。如果所選取的虛位移是線性無(wú)關(guān)的，則得到的平衡方程就是獨(dú)立的。對(duì)

45、于多自由度系統(tǒng)，用虛位移原理建立的平衡方程的個(gè)數(shù)等于系統(tǒng)的自由度。六、求解虛位移之間的關(guān)系如果質(zhì)點(diǎn)系的約束方程具有形式fi (x1 , y1 , z1 ,., xn , yn , zn , t) = 0, i = 1,., k則各質(zhì)點(diǎn)的虛位移之間滿足如下關(guān)系：nj( fi axx+ fi ayyjf+ i azzj ) = 0, i = 1,., kj =1jjj對(duì)于理論力學(xué)中常見的剛體系統(tǒng)，剛體的約束條件是:對(duì)于剛體上的任何兩點(diǎn)，有：2ri - rj= 常量，即：剛體上任意兩點(diǎn)間的距離保持為常量。上式還可表示成：(ri - rj ) (ri - rj ) = 常量對(duì)于上式兩邊取變分,則有：

46、2(ri - rj ) (ari -arj ) = 0即：ari (ri - rj ) = arj (ri - rj )由此,我們得到一個(gè)重要結(jié)論：剛體上任意兩點(diǎn)的虛位移在它們的連線上的投影相等。這是剛體系統(tǒng)常用的一個(gè)虛位移關(guān)系（也稱投影定理）。根據(jù)上述投影定理可以得到下面兩個(gè)推論：推論 1：對(duì)于可作平面運(yùn)動(dòng)的剛體（此時(shí)剛體視為平面圖形），若已知在給定瞬時(shí)其上 a、b 兩點(diǎn)虛位移垂線相交于 p 點(diǎn)（如圖 45a 所示），則在該瞬時(shí)，剛體上的 p 點(diǎn)的虛位移為零。推論 2：對(duì)于可作平面運(yùn)動(dòng)的剛體（此時(shí)剛體視為平面圖形），若已知在給定瞬時(shí)其上 a、b 兩點(diǎn)虛位移的垂線相互平行且不相交（如圖45b

47、所示），則在該瞬時(shí)，剛體上所有點(diǎn)的虛位移都相同。arabaparbarbaraba(b)(a)圖 45由推論 1 可知，在該瞬時(shí)，剛體的虛位移可視為繞 p 點(diǎn)作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，其轉(zhuǎn)角為aara = arb，由推論 2 可知，在該瞬時(shí)，剛體的虛位移是apbp平移。七、廣義力取質(zhì)點(diǎn)系的廣義坐標(biāo)為q1,., qk ，設(shè)質(zhì)點(diǎn)系有虛位移(aq1 ,.,aqk ) ，則作用在質(zhì)點(diǎn)上的所有力(f1 ,., fn ) 所做的虛功之和可以寫成如下形式：nnkawi = (fixaxi +fiyayi + fizazi ) = qjaq j i=1i=1j =1其中：(xi , yi , zi ) 是力fi 的作用點(diǎn)位

48、置的直角坐標(biāo)，它是廣義坐標(biāo)q1,., qk 的函數(shù)。qj 稱為對(duì)應(yīng)于廣義坐標(biāo)qj 的廣義力，它的表達(dá)式為nqj =(fixi=1 xi +qjfiy yi qj+ fiz zi ), j = 1,., kqj（42）虛位移原理的一個(gè)直接推論是：具有定常、雙面、完整、理想約束的質(zhì)點(diǎn)系,其平衡的充要條件是，對(duì)應(yīng)于所有廣義坐標(biāo)的廣義力都等于零。力場(chǎng)：力場(chǎng)是一個(gè)空間。當(dāng)質(zhì)點(diǎn)(系)所受力完全由其所在位置決定，這樣的空間稱為力場(chǎng)。勢(shì)力場(chǎng)：如果場(chǎng)力所做的功與質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路徑無(wú)關(guān)，這樣的力場(chǎng)稱為勢(shì)力場(chǎng)或保守力場(chǎng)，相應(yīng)的場(chǎng)力稱為有勢(shì)力或保守力。常見的有勢(shì)力有：重力、彈性力、萬(wàn)有引力等。阻力不是有勢(shì)力，因?yàn)樗鼈冏龅?/p>

49、功與路徑有關(guān)。它們甚至不能構(gòu)成力場(chǎng)，因?yàn)樽枇Φ拇笮『头较蛉Q于質(zhì)點(diǎn)(系)的速度。即使象動(dòng)滑動(dòng)摩擦力在平面上可以大小保持不變，但其方向卻得由質(zhì)點(diǎn)(系)的速度方向來(lái)決定。勢(shì)函數(shù)：決定勢(shì)力場(chǎng)中力的函數(shù)，也稱力函數(shù)。記質(zhì)點(diǎn)系的位形空間為(q1 ,., qk ) ，記勢(shì)力場(chǎng)的力函數(shù)為u = u (q1 ,., qk ) ，則質(zhì)點(diǎn)系在勢(shì)力場(chǎng)中的廣義力為：q = u , ( j = 1,., k )jqj勢(shì)函數(shù)可以相差一個(gè)常數(shù)而不改變勢(shì)力場(chǎng)中的力。勢(shì)能：質(zhì)點(diǎn)(系)從某一位置或形狀簡(jiǎn)稱位形a 移動(dòng)(或變形)到基準(zhǔn)位形 ao ，有勢(shì)力所做的功，稱為質(zhì)點(diǎn)系在該位形的勢(shì)能?；鶞?zhǔn)位形的勢(shì)能為零。要注意的是，由于基準(zhǔn)位

50、形是勢(shì)能函數(shù)的參考點(diǎn)，它必須是一固定的位形。就如同描述位置的參考點(diǎn)必須是確定點(diǎn)一樣。勢(shì)能函數(shù)常記為v = v (q1 ,., qk ) ，勢(shì)力場(chǎng)的廣義力與勢(shì)能函數(shù)的關(guān)系是：q = - v , ( j = 1,., k )jqj（43）八、平衡位置的穩(wěn)定性平衡位置也稱平衡解，它是動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的一個(gè)特解。如果初始條件適當(dāng)，系統(tǒng)將保持在這個(gè)平衡位置。當(dāng)系統(tǒng)在平衡位置受到微小擾動(dòng)時(shí)(即對(duì)初始條件做微小改變)，如果相應(yīng)的動(dòng)力學(xué)方程的解仍保持在平衡位置的鄰近區(qū)域，則稱該平衡位置是穩(wěn)定的。穩(wěn)定性研究是動(dòng)力學(xué)理論中一個(gè)重要的研究領(lǐng)域。對(duì)于處于有勢(shì)力場(chǎng)中的受理想約束的系統(tǒng)，有一個(gè)關(guān)于平衡位置的穩(wěn)定性的重要判據(jù)：如

51、果系統(tǒng)的勢(shì)能函數(shù)在平衡位置具有嚴(yán)格的局部極小值， 則該平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的。我們可以給該判據(jù)一個(gè)力學(xué)解釋：由于勢(shì)能函數(shù)在平衡位置取嚴(yán)格的局部極小值，平衡位置周圍的勢(shì)能都高于平衡位置的勢(shì)能， 當(dāng)系統(tǒng)在平衡位置受到擾動(dòng)而離開平衡點(diǎn)時(shí)，由于機(jī)械能守恒，它必須消耗動(dòng)能來(lái)獲得較高勢(shì)能，這樣當(dāng)擾動(dòng)微小時(shí)它沒(méi)有足夠的能量遠(yuǎn)離平衡位置，只能在平衡位置附近運(yùn)動(dòng)，所以平衡位置穩(wěn)定。與上述判據(jù)相應(yīng)的是，成立這樣的一個(gè)不穩(wěn)定性命題：如果系統(tǒng)的勢(shì)能函數(shù)在平衡位置具有嚴(yán)格的局部極大值，則該平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。在勢(shì)力場(chǎng)中，質(zhì)點(diǎn)系平衡的充分必要條件是：v = 0,q j( j = 1,l, k )勢(shì)力場(chǎng)中系統(tǒng)的平衡位置的穩(wěn)定性的

52、判斷過(guò)程是：首先通過(guò)勢(shì)能的駐點(diǎn)(一階導(dǎo)數(shù)為零)求出系統(tǒng)的平衡位置；然后判斷勢(shì)能在該駐點(diǎn)是否取極小值。點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)研究是物體上的某個(gè)點(diǎn)（或質(zhì)點(diǎn)）在空間的位置隨時(shí)間的變化規(guī)律，它既是研究質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的預(yù)備知識(shí)，又是研究物體一般運(yùn)動(dòng)的基礎(chǔ)。運(yùn)動(dòng)都是相對(duì)的，要描述物體的運(yùn)動(dòng)就必須選取另一個(gè)物體作為參考，這個(gè)被選作參考的物體稱為參考體，與參考體固連的坐標(biāo)系稱為參考系。點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)研究點(diǎn)相對(duì)某參考體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，包括點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程、速度、加速度以及它們之間的關(guān)系。研究點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，常用的方法有：矢量法、直角坐標(biāo)法和自然坐標(biāo)法。在研究某些問(wèn)題時(shí)，需要在不同的參考系中觀察或描述點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)， 這些不同的參考系之間還存在有相對(duì)運(yùn)動(dòng)；有時(shí)可以把一些較復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)分解成