傳播子和Feynman路徑積分

1、2.5,傳播子和,Feynman,路徑積分,一、波動力學的傳播子,不含時,Hamiltonian,量體系的時間演化用與,H,對易的觀測量,的本征矢展開初態(tài)可方便求得,或,其中,a,0,iE,t,t,0,0,0,0,a,iH(t,t,t,t,e,t,a,a,t,e,0,iE,t,t,0,0,a,x,t,t,e,a,a,a,x,t,t,c,u,x,a,x,x,u,a,3,0,0,0,3,0,t,t,t,t,a,a,c,a,d,x,a,x,x,d,x,u,x,x,1,將上述表達式改寫成,即,這里,稱為傳播子。傳播子與初態(tài)無關，但依賴于勢。一旦,能量的本征函數和本征值已知，則傳播子可構造出,0,0,0

2、,0,0,3,0,3,0,a,a,a,iE,t,t,a,iE,t,t,a,iE,t,t,a,x,t,t,x,a,a,t,e,d,x,x,a,a,x,x,t,e,d,x,x,a,a,x,x,t,e,t,x,t,x,t,x,K,x,d,t,x,0,0,3,0,0,a,iE,t,t,a,K,x,t,x,t,x,a,a,x,e,2,討論,上式表明，若初態(tài)已知，則波函數的時間演化便完全,由,K,確定。Schr?dinger波動力學是純粹的因果理論,受勢作用的波函數的時間變化，只要系統(tǒng)不受擾動,便與經典力學中任何量一樣完全確定,不同處：當測量介入時，波函數將轉化為所測觀測量,的本征函數之一。該轉化或“投影

3、”因觀測量有多個,本征函數而呈概率性，但統(tǒng)計上有確定的幾率,3,二、傳播子的基本性質,1,傳播子,滿足含時Schr?dinger波方程,tt,0,為變量,不變,2,即,這兩性質說明傳播子可看作是,t,0,時處于,的粒子在,t,時刻,的波函數,對初態(tài)分布于一定空間的情況，需要做的只是將相應的波,函數乘以傳播子并對空間積分。這種方式相當于對不同位,置的貢獻求和，與靜電學求電勢相似（但有“相位”,0,K,x,t,x,t,x,x,t,0,x,x,0,3,0,t,lim,t,t,K,x,t,x,x,x,x,e,x,t,x,t,x,K,t,t,iH,0,0,x,x,x,x,x,d,x,3,2,2,0,0,

4、t,t,2,i,K,x,t,x,V,x,K,x,t,x,t,m,4,傳播子其實就是含時波動方程的格林函數,和邊界條件,對,tt,0,第一式右邊的函數是由于,K,在,t=t,0,不連續(xù),t,t,x,x,i,t,x,t,x,K,t,i,x,V,m,2,0,3,0,2,2,0,t,x,t,x,K,0,5,三、傳播子的,例子,傳播子的具體形式依賴于粒子所受的勢,1,一維自由粒子,P,與,H,對易，共同本征態(tài),由,可得,該式可用于研究諸如高斯波包隨時間擴散展開的情形,2,p,p|p,p|p,2,p,H,p,p,m,x,ip,e,2,1,p,x,2,0,0,2,0,0,1,exp,2,2,exp,2,2,

5、ip,t,t,ip,x,x,K,x,t,x,t,dp,m,m,im,x,x,i,t,t,t,t,6,2,諧振子,的傳播子,波函數為,其傳播子為,該式的直接證明非常復雜，需利用特殊函數的性質,也可通過,a,和,a,算符方法,最方便的是利用即將描述的路徑積分方法,由于傳播子是以為角頻率的時間周期函數，位于x的粒,子將在,回到原位置,1,1,2,2,4,2,2,1,exp,2,2,n,i,n,t,iE,t,n,n,n,m,m,x,m,u,x,e,H,x,e,n,x,x,2,t,t,cos,x,x,t,t,sin,2,im,ex,p,t,t,sin,i,2,m,t,x,t,x,K,0,2,2,0,0,

6、0,2,2,2,2,2,2,0,2,1,exp,exp,2,1,1,n,n,n,n,n,H,H,n,n,2,t,7,四、傳播子的時間與空間積分,空間積分,由于,取,并積,分相當于求坐標表象中時間演化算符的跡，故得上述,結果。由于跡不隨表象變，在,表象中,H,對角，便,于求出,G(t,在,G(t,的表達式中若令,t,為純虛數且,為正實數,則,G(t,演化為,與統(tǒng)計力學的配分函,數是有相同形式。因此，研究量子力學傳播子的方法,對統(tǒng)計力學也有用（反之亦然,3,3,2,0,a,a,iE,t,iE,t,a,a,G,t,d,x,K,x,t,x,d,x,x,a,e,e,0,0,iH,t,t,K,x,t,x,

7、t,x,e,x,x,x,a,it,Z,exp,a,a,E,8,G(t,的,Laplace-Fourier,變換,0,0,exp,iEt,iEt,a,a,G,E,i,dtG,t,e,i,dt,iE,t,e,被積函數振蕩，積分不易求。令EE+i,且0，則,可見體系的完整能譜都表現在復,E,平面的,的極點,研究物理體系的能譜，只要研究,的解析性質,0,0,0,0,0,lim,lim,1,1,lim,a,x,i,E,E,t,t,a,a,a,a,a,a,a,i,e,dx,G,E,i,dt,e,e,i,E,E,E,E,i,E,E,E,G,E,G,9,五、傳播子作為躍遷振幅,波函數是特定位置左矢與隨時間變化

8、右態(tài)矢的內積,也可被認為是,Heisenberg,圖象中反向時間演化的位置,左矢與不隨時間變化的狀態(tài)右矢之乘積。類似地，傳,播子可寫為,這里,和,是海森堡圖象中位置算符的本征,左矢和右矢,因,是從,到,態(tài)的躍遷振幅，故,是,t,0,時處于,的粒子在,t,時處于,的幾,率振幅?；蛘哒f,是由時空點,到另一,時空點,的躍遷振幅,0,0,0,0,K,x,t;x,t,a,iE,t,t,a,iHt,iHt,a,x,a,a,x,e,x,e,a,a,e,x,x,t,x,t,x,t,0,t,x,0,t,a,t,b,0,t,a,t,b,0,t,x,t,x,x,x,0,t,x,t,x,t,x,0,x,t,10,另種

9、解釋,由于,Heisenberg,圖象中任一時刻觀測量的本征矢都,可選作基矢，我們也可稱,為鏈接不同,時間的兩組基矢的變換函數,因此，在,Heisenberg,圖象中，時間演化可看作改變,基函數的幺正變化,這與經典動力學中物理量隨時間的變化可看作由,經典,Hamiltonian,產生的正則變換相似,0,t,x,t,x,11,六、傳播子的組合性質,為使時空坐標記號更對稱，記,為,由于海森堡圖象中在任意給定時間的位置態(tài)矢形成完,備基，可在任意位置插入單位算符,因而,該性質稱為躍遷振幅（傳播子）的組合性質,類似地有,若知無窮小時間間隔,的形式，則一,般的,可利用傳播子的組合性質而得。這種,推理方式導

10、致了,Feynman,的量子力學理論形式,0,t,x,t,x,t,x,屴,x,1,t,x,t,x,x,d,3,t,x,t,x,t,x,t,x,x,d,t,x,t,x,t,t,t,t,x,t,x,t,dx,dx,x,t,x,t,x,t,x,t,x,t,x,t,dt,t,t,t,x,t,x,t,x,t,x,12,七、作為路徑求和的路徑積分,為簡單記，討論一維情型，并記,為,將,t,1,至,t,N,分為,N-1,等分,則,為討論該表達式的含義,可看如圖所示的時空平面,時空的初始與終點固定,由初始到終點有不同的可,能路徑。對給定一路徑,我們要計算其躍遷振幅,然后對各種可能路徑求和，這與經典力學是有差別

11、的。在,經典力學中粒子有確定的軌跡，其路徑對應于哈密頓原理,所給出的路徑（即作用量的變分為零,repeated N times,x,n,x,1,N,t,t,1,t,t,t,1,N,1,1,1,2,1,1,1,1,2,2,2,2,1,1,2,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,x,t,x,t,dx,dx,dx,x,t,x,t,x,t,x,t,x,t,x,t,13,八、經典力學與量子力學路徑的差別,經典力學中,xt,平面有一確定的路徑與粒子運動聯系，而量,子力學中所有可能路徑都起作用，其中一些路徑與經典路,徑毫無相似之處,經典力學的作用量或主函數為,L,是,x,與,的函數,S,要在路徑

12、確定后才有定義,對每小段路徑其躍遷幾率為,初點到終點路徑的,總躍遷幾率為,所有路徑對,的貢獻,若,則相鄰路徑的貢獻傾向于抵消,對最小作用量路徑（經典路徑），則相鄰路徑的,S,差別是,二階的，因而可相干增強。所以,時挑出的軌道為經,典軌道,1,1,n,n,t,t,S,n,n,dtL,x,x,1,n,n,iS,e,x,2,1,1,1,2,N,N,N,i,S,n,n,iS,n,n,iS,N,n,e,e,e,1,1,N,N,t,x,t,x,i,N,iS,1,1,N,N,e,t,x,t,x,所有路徑,0,0,14,九,Feynman,路徑積分公式,1,無限小時間間隔的一段路徑,w,t,只與,t,而（假定

13、）與,V(x,無關的權重因子,由于是無限小時間間隔，路徑可看作直線，因而,對自由粒子,已知。由于,W,t,與,V(x,無關,用自由粒子情況算出,于是，對,有,1,n,n,iS,1,n,1,n,n,n,e,t,W,1,t,x,t,x,1,2,2,1,1,1,2,2,2,n,n,t,n,n,n,n,t,x,x,x,x,mx,m,S,n,n,dt,V,x,t,V,t,2,1,1,1,2,1,1,1,1,n,n,n,n,n,n,im,x,x,t,n,n,n,n,t,t,t,t,n,n,x,t,x,t,e,x,x,w,t,t,i,2,m,t,w,1,0,t,1,n,n,iS,exp,t,i,2,m,t,

14、x,t,x,1,n,n,n,n,1,n,1,n,n,n,t,x,t,x,15,2,對有限時間間隔的路徑,其中,上式即為,Feynman,路徑積分的表達式,1,1,1,2,1,1,1,1,2,2,2,2,exp,lim,N,N,N,N,iS,n,n,N,N,N,N,N,n,x,t,x,t,m,x,t,x,t,dx,dx,dx,e,i,t,L,x,x,x,t,i,dt,D,1,1,2,1,2,2,2,lim,N,N,x,N,N,x,N,m,D,x,t,dx,dx,dx,i,t,16,十,Feynman,路徑積分與薛定諤方程,或,從而,對,一階,t,項有,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,1,

15、1,1,1,1,1,exp,2,2,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,x,t,x,t,dx,x,t,x,t,x,t,x,t,x,x,m,im,iV,t,dx,x,t,x,t,i,t,t,2,1,1,1,1,exp,2,2,m,iV,t,xt,t,x,t,d,im,t,x,t,x,t,i,t,2,1,1,1,1,2,2,1,1,1,1,2,exp,2,2,1,2,m,im,xt,x,t,t,xt,x,t,d,t,i,t,t,iV,t,xt,x,t,xt,x,t,x,3,2,2,1,1,1,1,1,1,2,1,2,2,2,2,m,i,i,xt,x,t,xt,x,t,V,xt,x,t,t,i,m,x,17,所以,可見費曼路徑積分的,表達式與薛定諤波動方程的,傳播子一致（也側面證明了,w,t,與,V,無關的正確性,Feynman,路徑積分表達式復雜，對普通量子力學問題的應,用并不方便，但在量子場論和統(tǒng)計力學等領域中很有用,2,2,1,1,1,1,1,1,2,2,i,xt,x,t,xt,x,t,V,xt,x,t,t,m,x,1,1,t,x,xt,18,海森堡矩陣力學是正則形式下經典力學的量子對應，即將,經典,Poisson,括號換為量子的對易式（量子力學的代數形式,波動力學（微分形式，或局域性描述）與經典力學的,Hamilto