彈性力學(xué)簡明教程(第四版)_習(xí)題解答

1、彈性力學(xué)簡明教程(第四版)_習(xí)題解答 【2-9】試列出圖2-17，圖2-18所示問題的全部邊界條件。在其端部小邊界上，應(yīng)用圣維南原理列出三個積分的應(yīng)力邊界條件。 x M 圖2-17 圖2-18 【分析】有約束的邊界上可考慮采用位移邊界條件，若為小邊界也可寫成圣維南原理的三個積分形式，大邊界上應(yīng)精確滿足公式（2-15）。 【解答】圖2-17： l 上（y=0） 0 -1 左(x=0) -1 0 右（x=b） 1 0 m fx?s? f y ?g?y?h1? ?g?y?h1? ?s? ?gh1 代入公式（2-15）得 在主要邊界上x=0，x=b上精確滿足應(yīng)力邊界條件： ?x?x?0?g(y?h1)

2、,?xy?x?0?0;?x?x?b?g(y?h1),?xy?x?b?0; 在小邊界y?0上，能精確滿足下列應(yīng)力邊界條件： ? y y?0 ?gh,?xy? y?0 ?0 在小邊界y?h2上，能精確滿足下列位移邊界條件： ?u?y?h 2 ?0,?v?y?h?0 2 這兩個位移邊界條件可以應(yīng)用圣維南原理，改用三個積分的應(yīng)力邊界條件來代替，當(dāng)板厚?=1時，可求得固定端約束反力分別為： Fs?0,FN?ghb1,M?0 1 由于y?h2為正面，故應(yīng)力分量與面力分量同號，則有： ?b?dx?gh1b?0yy?h2?b ?0?y?y?h2xdx?0 ?b ?dx?0?0xyy?h2 圖2-18 上下主要

3、邊界y=-h/2，y=h/2上，應(yīng)精確滿足公式（2-15） l 0 0 m -1 1 fx(s) 0 -q1 fy(s) q y? h 2hy? 2 (?y)y?-h/2?q，(?yx)y?-h/2?0，(?y)y?h/2?0，(?yx)y?h/2?q1 在x=0的小邊界上，應(yīng)用圣維南原理，列出三個積分的應(yīng)力邊界條件：負面上應(yīng)力與面力符號相反，有 ?h/2(?)dx?F S ?h/2xyx?0?h/2 ?h/2(?x)x?0dx?FN?h/2?(?)ydx?M?h/2xx?0 在x=l的小邊界上，可應(yīng)用位移邊界條件ux?l?0,vx?l?0這兩個位移邊界條件也可改用三個積分的應(yīng)力邊界條件來代替

4、。 首先，求固定端約束反力，按面力正方向假設(shè)畫反力，如圖所示，列平衡方程求反力： ?F?F y x ?q1l?FN?q1l?FN ?0,FN?FN M ? ?0,FS?FS?ql?0?FS?ql?FS q1lh121ql2 ?MA?0,M?M?FSl?2ql?2q1lh?0?M?2?M?FSl?2 由于x=l為正面，應(yīng)力分量與面力分量同號，故 2 ?h/2(?)dy?F?ql?F N1N ?h/2xx?l?q1lhql2?h/2 ?M?FSl? ?h/2(?x)x?lydy?M?22? ?h/2(?)dy?F?ql?F xyx?lSS ?h/2 【2-10】試應(yīng)用圣維南原理，列出圖2-19所示

5、的兩個問題中OA邊上的三個積分的應(yīng)力邊界條件，并比較兩者的面力是否是是靜力等效？ 【解答】由于h l，OA為小邊界，故其上可用圣維 qb 2 qb212 南原理，寫出三個積分的應(yīng)力邊界條件： x (a)上端面OA面上面力x?0,y?q b 由于OA面為負面，故應(yīng)力主矢、主矩與面力主矢、主矩符號相反，有 圖2-19 bbxqb?b ?dx?dx?qdx?0y?0b?0?y?y?0 2 ? bbx?bqb2?b? ?0?y?y?0xdx?0yxdx?0q?x?dx? b?212(對OA中點取矩) ? ?b ?0?yx?y?0dx?0? ()應(yīng)用圣維南原理，負面上的應(yīng)力主矢和主矩與面力主矢和主矩符號

6、相反，面力主矢y向為正，主矩為負，則 qb?b ?dx?F?N?0?y?y?0 2 ? qb2?b ?0?y?y?0xdx?M?12? ?b?dx?0?0?xy?y?0? 綜上所述，在小邊界OA上，兩個問題的三個積分的應(yīng)力邊界條件相同，故這兩個問題是靜力等效的。 【2-14】檢驗下列應(yīng)力分量是否是圖示問題的解答： 3 y圖2-20 圖2-21 y2 （a）圖2-20，sx=2q，?y?xy?0。 b 【解答】在單連體中檢驗應(yīng)力分量是否是圖示問題的解答，必須滿足：（1）平衡微分方程（2-2）；（2）用應(yīng)力表示的相容方程（2-21）；（3）應(yīng)力邊界條件（2-15）。 （1）將應(yīng)力分量代入平衡微分方

7、程式，且fx?fy?0 ?x?yx?y?xy?0 ?0 顯然滿足 ?x?y?y?x （2）將應(yīng)力分量代入用應(yīng)力表示的相容方程式（2-21），有 ?2?2?2q等式左=?2?2?x?y?=2?0=右 b?x?y? 應(yīng)力分量不滿足相容方程。 因此，該組應(yīng)力分量不是圖示問題的解答。 MFsS* y，?xy?(取梁的厚度b=1)，（b）圖2-21，由材料力學(xué)公式，?x?IbI x3y3qx2 22得出所示問題的解答:?x?2q3，?xy?-(h?4y)。又根據(jù)平衡微分3lh4lh 3qxyxy3qx方程和邊界條件得出：?y?。試導(dǎo)出上述公式，并檢驗解?2q3?2lhlh2l 答的正確性。 【解答】（1

8、）推導(dǎo)公式 在分布荷載作用下，梁發(fā)生彎曲形變，梁橫截面是寬度為1，高為h的矩形， h3 其對中性軸（Z軸）的慣性矩I?，應(yīng)用截面法可求出任意截面的彎矩方程和12 q3qx2 剪力方程M(x)?x,F?x?。 6l2l 4 所以截面內(nèi)任意點的正應(yīng)力和切應(yīng)力分別為： M?x?x3y?x?y?2q3 Ilh ?xy 3Fs?x?4y2?3qx22 ?1?2?.3?h?4y2?。 ?2bh?h?4lh 根據(jù)平衡微分方程第二式（體力不計）。 ?y?y ? ?xy?x ?0 3qxyxy3 .?2q3?A 得： ?y? 2lhlh 根據(jù)邊界條件 ? y y?h/2 ?0 qx 2l 得 A?. 3qxyx

9、y3qx q3? 故 ?y?.?2 2lhlh2l 將應(yīng)力分量代入平衡微分方程（2-2） 第一式： x2yx2y 左?6q.3?6q3?0?右 滿足 lhlh 第二式 自然滿足 將應(yīng)力分量代入相容方程（2-23） ?2?2?xyxy 左?2?2?x?y?12q.3?12q.3?0?右 ?y?lhlh?x 應(yīng)力分量不滿足相容方程。 故，該分量組分量不是圖示問題的解答。 【2-18】設(shè)有矩形截面的懸臂梁，在自由端受有集中荷載F（圖2-22），體力可以不計。試根據(jù)材料力學(xué)公式，寫出彎應(yīng)力?y?0，然后證明這些表達式滿足平衡微分方程和相容方程，再說明這些表達式是否就表示正確的解答。 【解答】（1）矩形

10、懸臂梁發(fā)生彎曲變形，任意橫截面上的彎矩方程M(x)?Fx，橫截面對中性軸 5 y 的慣性矩為Iz?h3/12，根據(jù)材料力學(xué)公式 彎應(yīng)力?x? M(x)12F y?3xy； Izh 該截面上的剪力為Fs?x?F，剪應(yīng)力為 Fs(x)S*?F6F?h2?h?h/2?y?2?xy?y?b?y?y? ?3?3?bIz22h41?h/12? 取擠壓應(yīng)力?y?0 （2）將應(yīng)力分量代入平衡微分方程檢驗 12F12F 第一式：左?2y?3y?0?右 hh 第二式：左=0+0=0=右 該應(yīng)力分量滿足平衡微分方程。 （3）將應(yīng)力分量代入應(yīng)力表示的相容方程 左?2(?x?y)?0?右 滿足相容方程 （4）考察邊界條

11、件 在主要邊界y?h/2上，應(yīng)精確滿足應(yīng)力邊界條件(2-15) l 0 0 m -1 1 fx 0 0 fy 0 0 hy?上 2 hy?上 2 代入公式（2-15），得 在次要邊界x=0上，列出三個積分的應(yīng)力邊界條件，代入應(yīng)力分量主矢 y?-h/2 y?h/2 y?h/2 y?h/2 ? y?0,?xy?0;?y?0,?yx? ?0 主矩 ?h/2?(?x)x?0dy?0?x向面力主矢?h/2?h/2 ?h/2(?x)x?0ydy?0?面力主矩?2 h/2?6Fh?h/22 (?)dy?(?y)dy?F?y向面力主矢?3?h/2xyx?0?h/2?h4? 滿足應(yīng)力邊界條件 M 6 在次要邊界

12、上，首先求出固定邊面力約束反力，按正方向假設(shè)，即面力的主矢、主矩，F(xiàn)N?0,FS?F,M?Fl 其次，將應(yīng)力分量代入應(yīng)力主矢、主矩表達式，判斷是否與面力主矢與主矩等效： 12Flydy?0?FN3?h/2?h/2h h/2h/122F2(?)ydy?lydy?Fl?Mxx?l3?h/2?h/2h h/2(?x)x?ldy?h/2 ?h/2?h/2(?xy)x?ldy?h/2 ?h6F?h22?y?dy?F?FS/h23?4? 滿足應(yīng)力邊界條件，因此，它們是該問題的正確解答。 第一章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 【3-4】試考察應(yīng)力函數(shù)?ay3在圖3-8所示的 矩形板和坐標(biāo)系中能解決什么問題(體力不

13、計)? 【解答】相容條件: 不論系數(shù)a取何值，應(yīng)力函數(shù)?ay3總能滿足應(yīng) 力函數(shù)表示的相容方程，式(2-25). 求應(yīng)力分量 當(dāng)體力不計時，將應(yīng)力函數(shù)?代入公式(2-24)，得 y?x?6ay,?y?0,?xy?yx?0 考察邊界條件 上下邊界上應(yīng)力分量均為零，故上下邊界上無面力. 左右邊界上； 當(dāng)a>0時，考察?x分布情況，注意到?xy?0，故y向無面力 左端:fx?(?x)x?0?6ay ?0?y?h? y?xyx?0?0 右端:x?x?x?l?6ay (0?y?h) y?(?xy)?x?l0 應(yīng)力分布如圖所示，當(dāng)l?h時應(yīng)用圣維南原理可以將分布的面力，等效為主矢，主矩 7 x y

14、fx 主矢的中心在矩下邊界位置。即本題情況下，可解決各種偏心拉伸問題。 因為在A點的應(yīng)力為零。設(shè)板寬為b，集中荷載p的偏心距e： ppe (?x)A?2?0?e?h/6 bhbh/6 同理可知，當(dāng)a<0時，可以解決偏心壓縮問題。 【3-5】取滿足相容方程的應(yīng)力函數(shù)為：?ax2y,?bxy2,?cxy3,試求出O應(yīng)力分量（不計體力），畫出圖3-9所示彈性體邊界上的面力分布，并在小邊界上表示出面力的主矢量和主矩。 偏心距e： y 【解答】（1）由應(yīng)力函數(shù)?ax2y，得應(yīng)力分量表達式 ?x?0,?y?2ay,?xy?yx?2ax ?(l?x?m?yx)s?x(s) 考察邊界條件，由公式（2-1

15、5）? ?(m?y?l?xy)s?y(s)h 主要邊界，上邊界y?上，面力為 2 hh x(y?)?2ax y(y?)?ah 22h 主要邊界，下邊界y?，面力為 2hh x(y?)?2ax, y(y?)?ah 22 次要邊界，左邊界x=0上，面力的主矢，主矩為 x向主矢：Fx? h/2?h/2h/2 (?x)x?0dy?0 (?xy)x?0dy?0 y向主矢：Fy?主矩：M? h/2?h/2 ?h/2 (?x)x?0ydy?0 次要邊界，右邊界x=l上，面力的主矢，主矩為 8 O x y x向主矢：Fx? y向主矢：Fy? 主矩：M?h/2 ?h/2?h/2?h/2h/2(?x)x?ldy?

16、0 ?h/2(?xy)x?ldy?h/2?h/2(?2al)dy?2alh (?x)x?lydy?0 彈性體邊界上面力分布及次要邊界面上面力的主矢，主矩如圖所示 ?bxy2 將應(yīng)力函數(shù)代入公式（2-24），得應(yīng)力分量表達式 ?x?2bx，?y?0，?xy?yx?2by 考察應(yīng)力邊界條件，主要邊界,由公式（2-15）得 hh?h?在y?主要邊界，上邊界上，面力為x?y?bh,y?y?0 22?2? 在y?hh?h?，下邊界上，面力為x?y?bh,y?y?0 22?2? 在次要邊界上，分布面力可按(2-15)計算，面里的主矢、主矩可通過三個積分邊界條件求得： 在左邊界x=0，面力分布為x?x?0?

17、0,y?x?0?2by 面力的主矢、主矩為 x向主矢：Fx?h 2h?2 h 2h?2?x?x?0dy?0 y向主矢：Fy? 主矩；M?h/2?xyx?0dy?h2h?2?2by?x?0dy?0 ?h/2(?x)x?0ydy?0 在右邊界x=l上，面力分布為 x?x?l?2bl,y?x?l?2by 面力的主矢、主矩為 x向主矢：Fx?h/2 h/2 ?h/2h/2xx?ldy?h/2?h/2h/22bldy?2blh y向主矢：Fy? 主矩：M?h/2 ?h/2?xyx?ldy?h/2?h/2?2by?dy?0 ?x?x?lydy?h/22blydy?0 彈性體邊界上的面力分布及在次要上面力的

18、主矢和主矩如圖所示 9 ah ahxy （3）?cxy3 將應(yīng)力函數(shù)代入公式（2-24），得應(yīng)力分量表達式 ?x?6cxy,?y?0,?xy?yx?3cy2 考察應(yīng)力邊界條件，在主要邊界上應(yīng)精確滿足式（2-15） h上邊界y?上，面力為 2 h?3h?x?y?ch2,y?y?0 2?42? h 下邊界y=上，面力為 2 h?3h?x?y?ch2,y?y?0 2?42? 次要邊界上，分布面力可按（2-15）計算，面力的主矢、主矩可通過三個積分邊界求得： 左邊界x=0上，面力分布為 x?x?0?0,y?x?0?3cy2 面力的主矢、主矩為 x向主矢：Fx? y向主矢：Fy? 主矩：M?h/2 -h

19、/2h/2?h/2h/2?x?x?0dy?0 h/2?h/2?h/2?xyx?0dy?ch?3cy?dy?1423?x?x?0ydy?0 x?x?l?6cly,y?x?l?3cy2 右邊界x?l上，面力分布為 面力的主矢、主矩為 x向主矢Fx?h/2 ?h/2?x?x?ldy?h/2?h/26clydy?0 ch?3cy?dy?1 423y向主矢：Fy?h/2 ?h/2?yx?ldy?h/2?h/2 10 13clh 2 彈性體邊界上的面力分布及在次要邊界上面力的主矢和主矩，如圖所示 主矩：M? ?x?x?lydy?6cly2dy?h/2?h/2 h/2h/2 【3-6】試考察應(yīng)力函數(shù) F ?

20、3xy(3h2?4y2)，能滿足相容方程，并求出O 2h應(yīng)力分量（不計體力），畫出圖3-9所示矩形體邊界上的面力分布（在小邊界上畫出面力的主矢量和主矩），指出該應(yīng)力函數(shù)能解決的問題。 【解答】（1）將應(yīng)力函數(shù)代入相容方程（2-25） y ?4?4?4? ?222?4?0，顯然滿足 4 ?x?x?y?y （2）將?錯誤！未找到引用源。代入式（2-24），得應(yīng)力分量表達式 12Fxy3F4y2 ?x?,?y?0,?xy?yx?(1?2) h32hh （3）由邊界形狀及應(yīng)力分量反推邊界上的面力： hy?，在主要邊界上（上下邊界）上，應(yīng)精確滿足應(yīng)力邊界條件式（2-15）， 2應(yīng)力?y?y?h/2?0,

21、?yx?y?h/2?0 hh?h? 因此，在主要邊界y?上，無任何面力，即x?y?0,y?y?0 22?2? 在x=0，x=l的次要邊界上，面力分別為： 3F?4y2? x?0:x?0,y?1-2? 2h?h? x?l:x? 12Flyh 3 3F?4y2? ,y?1?2? 2h?h? 因此，各邊界上的面力分布如圖所示： 11 在x=0，x=l的次要邊界上，面力可寫成主矢、主矩形式： x=0上 x=l上 x向主矢：FN1=? y向主矢：FS1=? 主矩：M1=?h/2 -h/2h/2?h/2h/2xdy?0, FN2?ydy?F, FS2?h/2?h/2h/2xdy?0ydy?Fxydy?Fl

22、 ?h/2?h/2h/2xydy?0, M2?h/2 因此，可以畫出主要邊界上的面力，和次要邊界上面力的主矢與主矩，如圖： (a) (b) 因此，該應(yīng)力函數(shù)可解決懸臂梁在自由端受集中力F作用的問題。 12 qx2y3yqy2y3y (?43?3?1)?(23?)能滿足相容方程，并考【3-7】試證?4hh10hh 察它在圖3-9所示矩形板和坐標(biāo)系中能解決什么問題（設(shè)矩形板的長度為l，深度為h，O 體力不計）。 【解答】(1)將應(yīng)力函數(shù)?代入式（2-25） y ?4?12qy?24qy?4?4?24qy ?0， 2?2?4223343 ?x?x?yhh?yh 代入（2-25），可知應(yīng)力函數(shù)?滿足相

23、容方程。 （2）將?代入公式（2-24），求應(yīng)力分量表達式: ?2?6qx2y4qy33qy ?x?2?fxx?3?3? ?yhh5h ?2?q4y33y ?y?2?fyy?(?3?1) ?x2hh ?2?6qxh2 ?xy?yx?3(?y2) ?x?yh4 (3)考察邊界條件，由應(yīng)力分量及邊界形狀反推面力： h 在主要邊界y?（上面），應(yīng)精確滿足應(yīng)力邊界條件（2-15） 2 h?h? x?y?yx?0,y?y?y?q y?h/2y?h/222?h 在主要邊界y?下面?，也應(yīng)該滿足?2?15? 2 x?y?h/2?yx?0,y?y?h/2?y?0 y?h/2 y?h/2 在次要邊界x?0上，分

24、布面力為x?x?0?x?x?0 3qy4qy3 ?3,y?x?0?xy?0 x?05hh 應(yīng)用圣維南原理，可寫成三個積分的應(yīng)力邊界條件: 13 FN?FS?M? h/2 ?h/2h/2 ?3qy4qy3? xdy?3?dy?0 ?h/25hh? h/2 ?h/2h/2 fydy?0 ?3qy4qy3? fxydy?3?ydy?0 ?h/25hh? h/2 ? ?h/2 在次要邊界x?l上，分布面力為 x?x?l?x?x?l 6ql2y4qy33qy?3?3? hh5h y?x?l?xy? x?l ?6ql?h2 ?3?y2? h?4? 應(yīng)用圣維南原理，可寫成三個積分的應(yīng)力邊界條件: ?6ql2

25、y4qy33qy? f(x?l)dy?3?3?dy?0?h/2x?h/2hh5h? 2 h/2h/2?6ql?h?Fs?y(x?l)dy?3?y2?dy?ql ?h/2?h/2 ?h?4 h/2h/2?6ql2y4qy33qy?12 M?x(x?l)ydy?3?3?ydy?ql?h/2?h/2hh5h2?FN? h/2 h/2 綜上，可畫出主要邊界上的面力分布和次要邊界上面力的主矢與主矩，如圖 q 2 (a) (b) 因此，此應(yīng)力函數(shù)能解決懸臂梁在上邊界受向下均布荷載q的問題。 【3-8】設(shè)有矩形截面的長豎柱，密度為，在一邊側(cè)面上受均布剪力q（圖3-10），試求應(yīng)力分量。 【解答】采用半逆法求

26、解。 由材料力學(xué)解答假設(shè)應(yīng)力分量的函數(shù)形式。 (1)假定應(yīng)力分量的函數(shù)形式。 根據(jù)材料力學(xué)，彎曲應(yīng)力?y主要與截面的彎矩有關(guān)，剪應(yīng)力 圖3-10 ?xy主要與截面的剪力有關(guān)，而擠壓應(yīng)力?x主要與橫向荷載有關(guān)，本題橫向荷載 14 為零，則?x?0 (2)推求應(yīng)力函數(shù)的形式 將?x?0，體力fx?0,fy?g，代入公式（2-24）有 ?2?x?2?fxx?0 ?y 對y積分，得 ?f?x? （a） ?y ?yf?x?f1?x? （b） 其中f?x?,f1?x?都是x的待定函數(shù)。 （3）由相容方程求解應(yīng)力函數(shù)。 將（b）式代入相容方程（2-25），得 d4f?x?d4f1?x?y?0 （c） 44d

27、xdx 在區(qū)域內(nèi)應(yīng)力函數(shù)必須滿足相容方程，（c）式為y的一次方程，相容方程要求它有無數(shù)多個根（全豎柱內(nèi)的y值都應(yīng)滿足它），可見其系數(shù)與自由項都必須為零，即 d4f?x?d4f1?x?0,?0 dx4dx 兩個方程要求 f?x?Ax3?Bx2?Cx,f1?x?Dx3?Ex2 （d） f?x?中的常數(shù)項，f1?x?中的常數(shù)項和一次項已被略去，因為這三項在?的表達式中成為y的一次項及常數(shù)項，不影響應(yīng)力分量。將（d）式代入（b）式，得應(yīng)力函數(shù) ?y?Ax3?Bx2?Cx?Dx3?Ex2? （e） （4）由應(yīng)力函數(shù)求應(yīng)力分量 ?2?x?2?fxx?0 （f） ?y 15 ?2?y?2?fyy?6Axy?

28、2By?6Dx?2E?gy (g) ?x ?2?xy?3Ax2?2Bx?C (h) ?x?y (5)考察邊界條件 利用邊界條件確定待定系數(shù)A、B、C、D、E。 主要邊界x?0上（左）： ?x?x?0?0,(?xy)x?0?0 將（f），（h）代入 ?x?x?0?0，自然滿足 (?xy)x?0?C?0 （i） 主要邊界x?b上， ?x?x?b?0，自然滿足 (?xy)x?b?q，將（h）式代入，得 (?xy)x?b?3Ab2?2Bb?C?q （j） 在次要邊界y?0上，應(yīng)用圣維南原理，寫出三個積分的應(yīng)力邊界條件： ? ? ?b 0b0b0(?y)y?0dx?6Dx?2E?dx?3Db2?2Eb?

29、0 （k） 0b0b(?y)y?0xdx?6Dx?2E?xdx?2Db3?Eb2?0 （l） b0(?yx)y?0dx?3Ax2?2Bx?C?dx?Ab3?Bb2?Cb?0 （m） 由式（i），(j)，（k），（l），（m）聯(lián)立求得 qqA?2, B?, C?D?E?0 bb 代入公式（g），(h)得應(yīng)力分量 ?x?0, ?y?2qx?x?q?3?1?3?gy, ?xx?2xy? b?b?b?b? 16 h?b，【3-9】圖3-11所示的墻，高度為h，寬度為b， 在兩側(cè)面上受到均布剪力q的作用，試應(yīng)用應(yīng)力函數(shù) ?Axy?Bxy求解應(yīng)力分量。 【解答】按半逆解法求解。 將應(yīng)力函數(shù)代入相容方程（2

30、-25）顯然滿足。 由公式（2-24）求應(yīng)力分量表達式，體力為零，有 3 圖3-11 ?2?2?2? ?x?2?0，?y?2?6Bxy，?xy?yx?A?3Bx2 ?x?y?x?y 考察邊界條件： 在主要邊界x?2上，精確滿足公式（2-15） ?x?x?b/2?0,(?xy)x?b/2?q 第一式自然滿足，第二式為 3 ?A?Bb2?q (a) 4 在主要邊界x=b/2上，精確滿足式(2-15) ?x?x?b/2?0,?xy?x?b/2?q 第一式自然滿足，第二式為 3 ?A?Bb2?q (b) 4 在次要邊界y=0上，可用圣維南原理，寫出三個積分的應(yīng)力邊界條件: ? ?b/2b/2 b/2

31、y y?0 dx?0 滿足 xdx?0 滿足 3 2 ? ?b/2 y b/2 b/2 y?0 1 ?dx?A?3Bxdx?Ab?Bb?0 （c） ?b/2yxy?0?b/2 4 聯(lián)立（a）（c）得系數(shù) q2q A?,B?2 2b 代入應(yīng)力分量表達式，得 12qq?x2? ?x?0,?y?2xy,?xy?1?122? b2?b? 17 【3-10】設(shè)單位厚度的懸臂梁在左端受到集中力和力矩作用，體力可以不計，l?h（圖3-12），試用應(yīng)力函數(shù) ?Axy?By2?Cy3?Dxy3求解應(yīng)力分量。 【解答】采用半逆解法求解 （1）將應(yīng)力函數(shù)代入相容方程（2-25），顯然 滿足 （2）由應(yīng)力函數(shù)求應(yīng)力分

32、量，代入公式(2-24) ?2B?6By?6Dxy?x?0?y? (a) ?2?A?3Dy?yx?xy? (3)考察邊界條件 主要邊界y?h/2上，應(yīng)精確滿足應(yīng)力邊界條件 ?yy?h/2?0， 滿足 3 4 在次要邊界x=0上，應(yīng)用圣維南原理，寫出三個積分的應(yīng)力邊界條件 h/2h/2FN?dy?F?2B?6Cydy?F?B? ?NN?h/2xx?0?h/22h h/2h/22M?ydy?M?2B?6Cyydy?M?C? ?h/2xx?0?h/2h3 h/2h/2123?dy?F?A?3Dydy?F?Ah?Dh?Fs （c） ?xyss?h/2x?0?h/2?4 聯(lián)立方程（b）（c）得 3F2F

33、A?s,D?3s 2hh?xy?y?h/2?0, 得A?Dh2?0 （b） 最后一個次要邊界?x?l?上，在平衡微分方程和上述邊界條件均已滿足的條件下是必然滿足的，故不必在校核。 將系數(shù)A、B、C、D代入公式（a），得應(yīng)力分量 ?x?FN?12My?12Fsxy?hh3h3 ? ?y?0 ?2?3FS?1?4y?2?xy2hh? 18 【3-11】設(shè)圖3-13中的三角形懸臂梁只受重力作用， 而梁的密度為?，試用純?nèi)问降膽?yīng)力函數(shù)求解。 【解答】采用半逆解法求解 (1) 檢驗應(yīng)力函數(shù)是否滿足相容方程（2-25） 設(shè)應(yīng)力函數(shù)?=Ax3?Bx2y?Cxy2?Dy3，不論上式中的系數(shù)如何取值，純?nèi)问?/p>

34、的應(yīng)力函數(shù)總能滿足相容方程（2-25） (2) 由式（2-24）求應(yīng)力分量 由體力分量fx?0,fy?g，將應(yīng)力函數(shù)代入公式（2-24）得應(yīng)力分量： ?2?x?2?fxx?2Cx?6Dy （a） ?y ?2?y?2?fyy?6Ax?2By?gy （b） ?y ?2?xy?2Bx?2Cy （c） ?x?y （3）考察邊界條件：由應(yīng)力邊界條件確定待定系數(shù)。 對于主要邊界y?0，其應(yīng)力邊界條件為： (?y)y?0?0，(?yx)y?0?0 （d） 將式（d）代入式（b），（c），可得 A?0，B=0 （e） 對于主要邊界y?xtan?（斜面上），應(yīng)力邊界條件： 在斜面上沒有面力作用，即x?y?0，該

35、斜面外法線方向余弦為，l?sin?，m?cos?.由公式（2-15），得應(yīng)力邊界條件 ?sin?(?x)y?xtan?cos?(?yx)y?xtan?0? （f） ?sin?(?xy)y?xtan?cos?(?y)y?xtan?0? 將式（a）、（b）、（c）、（e）代入式（f），可解得 ?g?g2C?cot?,D?cot? （g） 23 將式（e）、（g）代入公式（a）、（b）、（c），得應(yīng)力分量表達式： 19 ?x?gxcot?2?gycot2? ?y?gy ?xy?gycot? 【分析】本題題目已經(jīng)給定應(yīng)力函數(shù)的函數(shù)形式，事實上，也可通過量綱分析法確定應(yīng)力函數(shù)的形式。 按量綱分析法確定應(yīng)

36、力函數(shù)的形式：三角形懸臂梁內(nèi)任何一點的應(yīng)力與?，x，y和?g有關(guān)。由于應(yīng)力分量的量綱是L?1MT?2，而x,y的量綱是L，?g的量綱是L?1MT?2，又是量綱的數(shù)量，因此，應(yīng)力分量的表達式只可能是x和y的純一項式，即應(yīng)力分量的表達式只可能是A?gx,B?gy這兩種項的結(jié)合，其中A，B是量綱一的量，只與?有關(guān)。應(yīng)力函數(shù)又比應(yīng)力分量的長度量綱高二次，即為x和y的純?nèi)问剑士杉僭O(shè)應(yīng)力函數(shù)的形式為?Ax3?Bx2y?Cxy2?Dy3。 【3-12】設(shè)圖3-5中簡支梁只受重力作用，而梁的密度為?，試用3-4中的應(yīng)力函數(shù)（e）求解應(yīng)力分量，并畫出截面上的應(yīng)力分布圖。 【分析】與3-4節(jié)例題相比，本題多了

37、體力 分量fx?0,fy?g。去除了上邊界的面力。依據(jù) 3-4，應(yīng)力分量的函數(shù)形式是由材料力學(xué)解答假 設(shè)的。 【解答】按半逆解法求解。 x2 （1）由3-4可知應(yīng)力函數(shù)的函數(shù)形式為?(Ay3?By2?Cy?D)2 ?x(Ey3?Fy2?Gy)?A5B4y?y?Hy3?Ky2，由3-4可知，?必然滿足相容方106 程（2-25）。 （2）應(yīng)力分量的表達式： x2 ?x?(6Ay?2B)?x(6Ey?2F)?2Ay3?2By2?6Hy?2K （a） 2 ?y?Ay3?By2?Cy?D?gy （b） ?xy?x(3Ay2?2By?C)?(3Ey2?2Fy?G) （c） 【注】?y項多了-? gy 2

38、0 這些應(yīng)力分量是滿足平衡微分方程和相容方程的。因此，如果能夠適當(dāng)選擇 ?、K，使所有的邊界條件都被滿足，則應(yīng)力分量式（a）常數(shù)A、B、（b）、（c） 就是正確的解答。 （3）考慮對稱性 因為yz面是梁和荷載的對稱面，所以應(yīng)力分布應(yīng)當(dāng)對稱于yz面。這樣?x和?y是x的偶函數(shù)，而?xy是x的奇函數(shù)，于是由式（a）和式（c）可見 E?F?G?0 （d） （4）考察邊界條件： 在主要邊界y?2上，應(yīng)精確滿足應(yīng)力邊界條件（2-15）， (?y)y?0,(?yx)y?h?0 將應(yīng)力分量式（b）、（c）代入，并注意到E?F?G?0，可得： ?h3h2h?gA?B?C?D?h?0?8422?3h2h?g?h

39、?A?B?C?D?h?0?8422 ? 23?x(Ah?hB?C)?0?4?3?x(Ah2?hB?C)?0?4 聯(lián)立此四個方程，得： 2?g3,B?0,C?g,D?0 （e） h22 將式（d）、（e）代入式（a）、（b）、（c） 6?g4?g?x?2x2y?2y3?6Hy?2K （f） hh 2?g?g?y?2y3?y （g） h2 6?g3?g?xy?2xy2?x （h） h2 考察次要邊界條件 A? 由于問題的對稱性，只需考慮其中的一邊，如右邊。右邊界x?l上，x?0，不論y取任何值(?h2?y?h2)，都有?x?0。由（f）式可見，這是不可能的，除非?,H,K均為零。因此，只能用應(yīng)力?

40、x的主矢、主矩為零，即 21 ? ? 將（f）式代入式（i）得 h/2?6?gh/2?h/2h/2(?x)x?ldy?0 （i） (?x)x?lydy?0 （j） ?h/24?g3?2?xy?y?6Hy?2K?dy?0 22?h/2?h?h? 積分后得 K=0 （k） 將式（f）代入式（i），得 4?g3?6?g2?ly?y?6Hy?2K?ydy?0 22?h/2?h?h?h/2 積分后得 l21H?g(2?) （l） h10 將（k）、（l）代入式（f），得 6?g24?g3l21?x?2xy?2y?6?g(2?)y （m） hhh10 考察右邊界上切應(yīng)力分量?xy錯誤！未找到引用源。的邊界

41、條件： 右邊界上y?glh，則?xy的主矢為 ?h/2h/2xyx?ldy?6?g23?gxy?h/2?h22?h/2?x?dy?glh?y ?x?l 可知滿足應(yīng)力邊界條件。 將式（g），（h），（m）略加整理，得應(yīng)力分量的最后解答： ?6?g24?g3l21?X?h2xy?h2y?6?g(h2?10)y ?2?g3?g? (n) ?y?y?y2h2?6?g23?g?xy?x2?xyh2? （5）應(yīng)力分量及應(yīng)力分布圖 h3h2y2 梁截面的寬度取為1個單位，則慣性矩I?，靜矩是S?。 1282 根據(jù)材料力學(xué)截面法可求得截面的內(nèi)力，可知梁橫截面上的彎矩方程和剪力 22 l2?x2 方程分別為M?

42、x?gh,Fs?x?ghx 2 則式（n）可寫成： M?x?4y23y?gy(2?)?x?Ih5?gy2 y(1?42)?y?2h?Fs?x?S?xybI? 【分析】比較彈性力學(xué)解答與材料力學(xué)解答，可知，只有切應(yīng)力?xy完全相同，正應(yīng)力?x中的第一項與材料力學(xué)結(jié)果相同，第二項為彈性力學(xué)提出的修正項；?y表示縱向纖維間的擠壓應(yīng)力，而材料力學(xué)假設(shè)為零。對于l>>h的淺梁，修正項很小，可忽略不計。 【3-13】圖3-14所示的懸臂梁，長度為l，高度為h，l?h，在上邊界受均布荷載q，試檢驗應(yīng)力函數(shù)?Ay5?Bx2y3?Cy3?Dx2?Ex2y能否成為此問題的解？如可以，試求出應(yīng)力分量。

43、【解答】用半逆解法求解。 （1）相容條件： 將應(yīng)力函數(shù)?代入相容方程式（2-25），得 120Ay?24By?0 要使?滿足相容方程，應(yīng)使 1A?B （a） 5 （2）求應(yīng)力分量，代入式（2-24） ?x?20Ay3?6Bx2y?6Cy?20Ay3?30Ax2y?6Cy?33 （b） ?y?2By?2D?2Ey?10Ay?2D?2Ey ?22?6Bxy?2Ex?30Axy?2Ex?xy? （3）考察邊界條件 在主要邊界y?h2上，應(yīng)精確到滿足應(yīng)力邊界條件 (?y)y?h?0,即-103Ah?2D?Eh?0 （c） 8 23 103Ah?2D?Eh?q （d） 8 30(?yx)y?h?0,即Axh2?2Ex?0 （e） 4 聯(lián)立式（a）、