2017年電大廣播電視大學(xué)17春經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)形成性考核冊全部答案

1、 隨機變量的性質(zhì) 1 主要內(nèi)容 隨機變量定義? 隨機變量的獨立性? ?隨機變量的矩與相關(guān)系數(shù) 隨機變量分布的峰度和偏度? ?隨機變量的矩母函數(shù)和特征函數(shù)極限定理? 2 隨機變量定義的界定觀察一個隨機現(xiàn)象，其隨機事件有些是數(shù)隨機變量的提出：?非數(shù)量性質(zhì)的隨機事件很難量性質(zhì)，有些是非數(shù)量性質(zhì)的。運用成熟的數(shù)學(xué)方法去處理，即使對數(shù)量方式刻畫的隨機事件由于缺乏規(guī)范性和統(tǒng)一性，在進(jìn)行數(shù)學(xué)處理時通常也會存為此，人們提出了一種與事件的原始描述形態(tài) 在一些問題。相對應(yīng)、易于數(shù)學(xué)處理、比較規(guī)范、并有許多共性的數(shù)學(xué)描 述方法，這就是所謂的隨機事件的隨機變量表示。上的事件進(jìn)行數(shù)學(xué)化刻畫以后，我們既 借助于隨機變量對

2、?F 中的事件，又可以廣泛借助于數(shù)評價可以利用概率測度PF 中的事件進(jìn)行更全面、更深入的認(rèn)識。學(xué)方法對隨機變量的定義也必須遵循一定的規(guī)則。對于概率空注意：?F的所有隨機事件皆可以用隨機變量來描，盡管間(, ,P)FF中的隨述，但我們只對評測中的事件感興趣，而且也只有F中事件才能進(jìn)行概率測機事件才是可測的，或者說只有對 度。3 定義F可測的）， 是隨機變量（或者1R:?定義 稱映射FB -1(A)?A?，即?(R1)，-1(A)=w|?(w) ?若?AF 是中的事件。 FB G 中的集合簇。我是?-1(A)| A?顯然，(R1)GG生成?)稱為由隨機變量們把由代數(shù)生成的? (代可測的最小是使?代

3、數(shù)，記作的(),()? 數(shù)。4 多維隨機變量 F,P)為概率空間，稱?設(shè)(, (?1(w),?2(w),?n(w):?Rn是多維隨機變量，當(dāng)F可測的。 且僅當(dāng)?的每個分量都是 的分布nR?:?同樣，我們也可以定義多維隨機變量n，定義 ? Rx = (x1,函數(shù)：對?,xn) F(x)= F(x1,xn)=P(w|?1(w)?x1 ,?n(w)?xn)， 則稱F為? 的n維聯(lián)合分布函數(shù)。對m n，在聯(lián)合分布函數(shù)中將其中n-m個變量用+?來代替，就可得到對應(yīng)于? 的m個分量的邊際分布函數(shù)。 例如：F(x1, +?,+?)=P(w|?1(w)?x1,?2(w)?+?,?n(w)? +?)是一維邊際分

4、布函數(shù)，實質(zhì)上也是分量?1的分布函數(shù)。 5 多維隨機變量 若存在一個非負(fù)實函數(shù)f：Rn ?R1 ，使得對B(Rn)，滿足 ?A?P(A) =P(w?|?(w)?A ) = f(x)dx ?Ax?則稱f為n維隨機變量?的密度函數(shù)，此時n維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)表示為 xxxn12?f(s,s,(x()?Fx,x),?,dsdss)dsF?n21n1n12 ?我們經(jīng)常使用的概率分布有二項分布、Poission分-分2布、正態(tài)分布、對數(shù)正態(tài)分布、高斯分布、布、t-分布、F分布等。 6 隨機變量的獨立性 定義 F,P)(, 上的隨機變量，?n為定義在, 設(shè)?1, ?2,B(R1)，i=1,2, ,n若

5、對?Ai?，有 P(w|?1(w) ?A1 , ?2(w) ?A2, ?n(w) ?An)= n?i (w) P(w|?Ai ), ?i?12,1, 則稱?n是相互獨立的。 7 隨機變量的獨立性 另外，還有等價定義為：稱?1, ?2,?n相互獨立，若對任意實數(shù)x1, x2,xn，有 P(?1 ?x1, ?2 ?x2,?n ? xn)= P(?1 ? x1) P(?2? x2)P(?n ? xn) 上式等價于 F(x1, x2,xn)= F1(x1) F2(x2)Fn(xn), 其中，F(xiàn)是隨機向量(?1, ?2,?n)的聯(lián)合分布函數(shù)，F(xiàn)1 ,Fn分別為隨機變量?1, ?2,?n的一維邊際分布函數(shù)

6、。 8 隨機變量的矩與相關(guān)系數(shù) F,P)上的隨機變量，?為概率空間(, 定義 設(shè)P P為?的k，則稱 ?d|d+?若積分 |?kk? ；階矩，記作E?k )；k)?k階中心矩E(E?同理，可定義? ；?為?的數(shù)學(xué)期望，記為E稱一階矩E?的方差，記作)為?22)E?稱二階中心矩E( ?或V；? 為稱?的標(biāo)準(zhǔn)差。9 多維隨機變量的數(shù)學(xué)期望和方差: 對維隨機向量（?1, ?2,?, ?n），若每i (i=1,2,?個隨機變量n)都有有限數(shù)學(xué)期望，則稱 Cov(?i, ?j)=E(?iE?i)(?jE?j) = E?i?jE?iE?j , ( i?j ) 為隨機變量?i與?j的協(xié)方差，或稱為二階混合中

7、心矩； 10 若?i，?j的方差V?i 和V?j非零有限，則定義?i與?j的相關(guān)系數(shù)為 ?)cov(,ji ?),(? ji1 ?)?V(V2 ji ?容易推理得0 |(i,j)| 1。11 方差-協(xié)方差矩陣: 我們稱n階方陣 ?Vcov(,)cov(?1n211? ?)cov(,cov()V,?1n222? ?Vcov(,)cov(? 2n2nn, ?,? ）的方差-協(xié)方?維隨機向量（n 為n21差矩陣，記為?，顯然方差-協(xié)方差矩陣?為非負(fù)定的對稱矩陣。同理，我們也可以得到由?(?i,?j)組成的相關(guān)系數(shù)矩陣。 12 數(shù)學(xué)期望和方差有一條重要性質(zhì)： , ?,?相互獨立，則 若?n12 E(?

8、 ? ? )= E? E? E? n n2121 nn2?c?V)c?V( iiii?1i?1 通過上式可以知道，當(dāng)兩個隨機變量?與?相互獨立時，?(?,?)=0，即兩隨機變量不相關(guān)。13 隨機變量的峰度和偏度 F,P)上的某隨機?為定義在概率空間(, 設(shè)變量，則用?的標(biāo)準(zhǔn)化的三階中心矩來定義?的偏度，即 3?)E(E? ?S() 3 ?)(V2 的0，偏度不為所有對稱分布的偏度都為0 分布曲線是右偏斜或左偏斜。 14 用?的標(biāo)準(zhǔn)化的四階中心矩來定義?的峰度，即 ?)EE(?4?()K ?)(V2 ，厚尾分布30正態(tài)分布的偏度為，峰度為 3，甚至有無限峰度。的峰度大于 15 在實際應(yīng)用中，也可

9、以用樣本數(shù)據(jù)去估計偏度和峰度，以找到樣本數(shù)據(jù)的變化規(guī)律。?uXn和，則樣本均值 假設(shè)有樣本數(shù)據(jù)1?ii?2分別為 方差 n1?Xu? ini?12n1?2?)?Xu(? i1?ni?116 ?s這樣，樣本的偏度 和峰度 分別為 kn1?3?)s?u(X i3?)(1?ni?14n1?)k?Xu( i4?)(1?ni?117 隨機變量的矩母函數(shù)和特征函數(shù) ?從前面的分布可以看出，我們可以用隨機變量分布函數(shù)、數(shù)學(xué)期望、方差等數(shù)字特征來了解隨機變量某些特征和統(tǒng)計規(guī)律。 ?數(shù)字特征是由隨機變量的有階矩決定的。隨著矩階數(shù)的提高，例如偏度和峰度，矩的直接計算越來越復(fù)雜，非常需要一個簡便有效的計算工具，于是

10、特征函數(shù)和母函數(shù)就應(yīng)運而生了。 ?特征函數(shù)是將數(shù)學(xué)中著名的Fourier變換應(yīng)用到分布函數(shù)或密度函數(shù)而產(chǎn)生的。由于特征函數(shù)比分布函數(shù)具有更好的性質(zhì)，例如連續(xù)性、可導(dǎo)性等，所以憑借這些良好特性和反演公式，我們既可以很方便用以求分布函數(shù)、各階矩，也可以用來研究隨機變量其他方面更多的規(guī)律。當(dāng)處理離散型隨機變量時，則用母函數(shù)更為方便，因為此時可以充分利用冪級數(shù)的性質(zhì)而避免再引進(jìn)更復(fù)雜的復(fù)函數(shù)積分。 18 定義：設(shè)為隨機變量，則稱數(shù)學(xué)期望 tX?et)?E( 為矩母函數(shù)。原點矩的求法：利用矩母函數(shù)可求得的各 階矩，即對逐次求導(dǎo)并計算在點的值：tX?XeE(t)?tX2?t()EXe19 nntX?e?)EX(t nn?(n?1)?(0)EX 計算在 點的值得0t? 矩母函數(shù)的名稱就來自此性質(zhì)。 20 矩母函數(shù)： 定理：設(shè)相互獨立的隨機變量 X,X,Xr21 ?(t)t),(t),(，則其和 的矩母函數(shù)分別為r21 的矩母函數(shù)為 X?XY?X?(t)t)(t)()(t?rY21r12 由于一個隨機變量的矩母函數(shù)不一定存在，故理論上更方便的是定義特征函數(shù). 21 極限定理 通過概率理論得到的基本認(rèn)識為：大量個體的隨機現(xiàn)象的共同運動產(chǎn)生了非隨機的規(guī)律，其中最主要的規(guī)律就是大數(shù)定律和中心極限定理。 ?大數(shù)定律的基