同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)第十一章曲線積分與曲面積分

1、第十一章 曲線積分與曲面積分第1節(jié) 曲線積分以前討論的定積分研究的是定義在直線段上的函數(shù)的定積分.本節(jié)將研究定義在平面或空間曲線段上函數(shù)的積分.1.1 第一型積分的概念與性質(zhì) 在設(shè)計(jì)曲線形細(xì)長構(gòu)件時(shí)，通常需要計(jì)算它們的質(zhì)量, 而構(gòu)件的線密度(單位長度的質(zhì)量)卻是因點(diǎn)而異的. 工程技術(shù)人員常常用這樣的方法計(jì)算一個(gè)構(gòu)件的質(zhì)量： 設(shè)構(gòu)件為平面xOy平面內(nèi)一條有質(zhì)量的曲線 L， L上任一點(diǎn)處的線密度為，這樣就可以把實(shí)際問題定量化(如圖11-1)：將曲線L分成n小段曲線,表示曲線段長度; 任取(xi , hi) Li, 得第i小段質(zhì)量的近 似值;圖11-1整個(gè)曲線構(gòu)件的質(zhì)量近似的等于; 當(dāng)把L分割的越來

2、越細(xì)(即lmaxDs1, Ds2, , Dsn), 則整個(gè)曲線構(gòu)件的質(zhì)量為 . 這種和的極限在研究其它問題時(shí)也會(huì)遇到，因此給出下面概念. 定義1 設(shè)L為xOy面內(nèi)的一條光滑曲線段, 函數(shù)在L上有界.在L上任意插入一點(diǎn)列P1, P2, , Pn-1把L分在n個(gè)小段. 設(shè)第i個(gè)小段的長度為, 為第i個(gè)小段上任意取定的一點(diǎn), 作乘積 (i=1, 2, , n ), 并作和, 如果各小弧段長度的最大值 l0, 這和的極限總存在, 則稱此極限為函數(shù)在曲線L上的第一型曲線積分或?qū)￠L的曲線積分, 記作, 即 . （11-1-1）其中，叫做被積函數(shù), L 叫做積分路徑 , 弧長微元. 特別地，如果L是閉曲線

3、, 那么函數(shù)在閉曲線L上第一型曲線積分記作 .若L為空間上的光滑曲線段，為定義在L上的函數(shù)，則可類似的定義 在空間曲線L上第一型曲線積分，記作. 這樣，本節(jié)開始所求的曲線形構(gòu)件的質(zhì)量可表示為. 類似于函數(shù)的定積分，并不是所有的在曲線L上都是可積的. 然而，當(dāng)函數(shù)在光滑曲線弧L上連續(xù)時(shí), 第一型曲線積分都是存在的. 因此，下文中我們總假定在L上是連續(xù)的. 關(guān)于第一型曲線積分也和定積分一樣具有下述重要性質(zhì). 性質(zhì)1(線性性) 設(shè)、為任意常數(shù), 則 ; 性質(zhì)2(路徑可加性) 若積分弧段L可分成兩段光滑曲線弧L1和L2, 則.1.2 第一型曲線積分的計(jì)算方法 定理1 設(shè)在曲線段L上連續(xù), L的參數(shù)方程

4、為x=j(t), y=y(t) ( a t b ),其中j(t)、y(t) 在a, b上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù), 且j2(t)+y2(t)0, 則曲線積分存在, 且. 證明 設(shè) . 如圖11-1，在L上順次插入，其中. 設(shè)為弧段Pi-1Pi的長度，則令，其中()為弧段Pi-1Pi上任意一點(diǎn). 那么設(shè)L的弧長為s. 因此一致連續(xù). 所以對(duì)任意給定正數(shù)，存在，當(dāng)時(shí)，有. (）, 因此又等價(jià)于lmaxDs1, Ds2, , Dsn. 從而.特別地，如果平面光滑曲線L的方程為 y=y(x) (axb)則 如果平面光滑曲線L的方程為x=j(y) ( cxd)則 若空間曲線L的方程為 x=j(t), y=y(t

5、), z=w(t) (atb), 則.例1 計(jì)算 , 其中L是拋物線 y=x2 上點(diǎn) O(0, 0) 與點(diǎn) B(1, 1) 之間的一段弧. 解 曲線的方程為y=x2 (0x1) (圖11-2), 因此 . 圖 11-2 圖11-3例2 計(jì)算，其中L是從沿圓周到處的一段劣弧(如圖11-3).解 曲線段L的參數(shù)方程為 .從而 .因此 . 例3 計(jì)算曲線積分, 其中L為螺旋線x=acost、y=asint、z=kt上相應(yīng)于t從0到2p 的一段弧. 解 在曲線 L 上有x2+y2+z2=(a cos t)2+(a sin t)2+(k t)2=a2+k 2t 2, 并且 , 于是 . 例4 計(jì)算其中為

6、球面和平面的交線.解 有對(duì)稱性得由于在L上成立，且L 是一個(gè)半徑為的圓周，因此同理于是1.3 第二型曲線積分在物理學(xué)中還會(huì)碰到另一種類型的曲線積分. 例如一質(zhì)點(diǎn)在xOy面內(nèi)受變力 F(x, y)=P(x, y)i+Q(x, y)j的作用下沿光滑曲線弧L從點(diǎn)A移動(dòng)到點(diǎn)B, 求變力F(x, y) 所作的功. 這樣就可以把實(shí)際問題定量化(如圖10-4).在曲線L上插入點(diǎn)A=P0, P1, P2, , , Pn=B把有向曲線L分成n個(gè)小弧段. 設(shè) Pk=(xk , yk), 則有向曲線在x軸與y軸上的投影分別為 與 , 所以 (i=0, 1, 2, , n-1，n). 顯然, F(x, y)沿有向小弧

7、段所作的功可以近似為 圖11-4 ;其中為小弧段內(nèi)任一點(diǎn). 于是, 變力F(x, y)所作的功近似為 當(dāng)有向曲線L的分割越細(xì)，上式右邊的和就越接近正確值. 因此，（l 是各小弧段長度的最大值）時(shí)的極限就是變力在L上所作的功的精確值: . 這種類型的和式極限就是下面所要求的第二型曲線積分的定義: 定義2 設(shè)函數(shù) P(x, y), 在有向光滑曲線L上有界. 在L內(nèi)插入一點(diǎn)列得到n個(gè)有向小弧段，設(shè)，; (xi, hi)為Li上任意一點(diǎn), l 為各小弧段長度的最大值. 如果極限 總存在, 則稱此極限為函數(shù)P(x, y), 在有向曲線L上的第二型曲線積分或?qū)ψ鴺?biāo)軸的曲線積分, 記作. （11-1-2）特

8、別地，如果L是有向閉曲線，則記作 . （11-1-3）若記F(x, y)=(, )，, 則 (11-1-2) 式可寫成向量形式 或 （11-1-4）這樣，在變力F(x, y)=P(x, y)i+Q(x, y)j作用下沿光滑曲線弧L從點(diǎn)A移動(dòng)到點(diǎn)B所作的功為 . 第二類曲線積分定義在有向曲線上，它具有的性質(zhì)如下：性質(zhì)1(方向性) 設(shè)L是有向曲線弧, -L是與L方向相反的有向曲線弧, 則 . 性質(zhì)2(線性性) 設(shè)、為任意常數(shù), F，G為向量函數(shù)，則 .性質(zhì)3（路徑可加性) 如果把L分成L1和L2, 則 . 1. 4第二型曲線積分的計(jì)算方法 定理2 設(shè), 是定義在光滑有向曲線L: x=j(t), y

9、=y(t), 上的連續(xù)函數(shù), 當(dāng)參數(shù)t單調(diào)地由 a 變到 b 時(shí), 點(diǎn)M(x, y) 從L的起點(diǎn)A沿L方向運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)B, 則對(duì)于沿封閉曲線L的第二型曲線積分（11-1-2）的計(jì)算，可在L上任意選取一點(diǎn)作為起點(diǎn)，沿L所指定的方向前進(jìn)，最后回到這一點(diǎn). 若空間曲線L的參數(shù)方程為 x=j(t), y =y (t), z=w(t) , 則其中a 對(duì)應(yīng)于L的起點(diǎn), b 對(duì)應(yīng)于L的終點(diǎn). 例5 計(jì)算，其中L為由點(diǎn)到點(diǎn)的直線段 .解 L的參數(shù)方程為 例6 計(jì)算, 其中L為拋物線y2=x上從點(diǎn)A(1, -1)到點(diǎn)B(1, 1)的一段弧（圖11-5）. 解法一 以x為參數(shù). L分為AO和OB兩部分: AO的方程

10、為, x從1變到0; OB 的方程為, x從0變到1. 因此 . 解法二 以y為積分變量. L的方程為 x=y2, y從-1變到1. 因此 . 圖11-5例7 計(jì)算，其中.解 L的參數(shù)方程為 .則.又為的奇函數(shù)，所以.例8 設(shè)在力場(chǎng)作用下，質(zhì)點(diǎn)由A(R,0,0) 沿L移動(dòng)到B(R ,0, 2kp),其中L為 (1) x=R cost, y=Rsint, z= kt ,0t2p; (2) 直線AB. 解 (1)由于dx=-Rsintdt, dy=Rcostdt, dz=kdt, 所以 (2) L的參數(shù)方程為 圖11-6 x=R, y=0, z=t, 0t2kp. 由于dx=0, dy=0, dz

11、=dt . 所以1.5兩類曲線積分之間的關(guān)系 若在定向光滑曲線L上，取點(diǎn)的一個(gè)L的弧長微元ds，作向量，其中為曲線L上在處與L同向的切向量. 那么在x軸上的投影為，可記為，即. 同理. 第二型曲線積分又可以表示為 , 或 . 其中F=(P(x，y), Q(x，y), 為有向曲線弧L上點(diǎn)(x, y) 處切向量, . 類似地有 , 或 .其中F=(P, Q, R), =(cosa, cosb, cosg)為有向曲線段L上點(diǎn)(x, y, z)處切向量, . 例9 設(shè)，,試計(jì)算. 其中 表示函數(shù)沿L 的正向切方向的方向?qū)?shù). 解 由第一、二型曲線積分的關(guān)系知.習(xí)題11-11、求下列第一型曲線積分：(1

12、）計(jì)算積分.其中是直線上介于、之間的線段；(2）計(jì)算積分.其中為，()；(3）計(jì)算.是由、與圍成的三角形區(qū)域的邊界曲線；（4）計(jì)算積分.為圓周：（）；（5）求.其中為圓周；（6）.其中為圓周；（7）.其中為曲線，上相應(yīng)于從0變到2的弧段.2、求下列第二型曲線：（1）其中L為曲線上介于、之間的一段??；（2）.其中是擺線上對(duì)應(yīng)從0到的一段??；（3）.其中是曲線對(duì)應(yīng)于的點(diǎn)到的點(diǎn)；（4）.其中是由點(diǎn)到點(diǎn)的上半圓周. 4 .其中是曲線：上由0到的一段弧.5計(jì)算，其中：（1）拋物線上從點(diǎn)（1，1）到點(diǎn)（4，2）的一段弧；（2）從點(diǎn)（1，1）到點(diǎn)（4，2）的直線段；（3）曲線上從點(diǎn)（1，1）到點(diǎn)（4，2）的

13、一段弧.6.設(shè)質(zhì)點(diǎn)受力的作用，力的反方向指向原點(diǎn)，大小與質(zhì)點(diǎn)離原點(diǎn)的距離成正比.若質(zhì)點(diǎn)由沿橢圓移動(dòng)到，求所做的功. 7.設(shè)為定義在平面曲線段上非負(fù)連續(xù)函數(shù)，且在上恒大于零.(1)試證明(2)第二型曲線積分是否成立？為什么？第2節(jié) 格林公式2. 1 格林公式本節(jié)討論區(qū)域D上的二重積分與D的邊界曲線L上的第二型曲線積分之間的聯(lián)系. 單連通與復(fù)連通區(qū)域: 設(shè)D為平面區(qū)域, 如果D內(nèi)任一閉曲線所圍的部分都屬于D, 則稱D為平面單連通區(qū)域, 否則稱為復(fù)連通區(qū)域(即區(qū)域D內(nèi)有“洞”)(如圖11-7). 圖11-7對(duì)平面區(qū)域D的邊界曲線L, 我們規(guī)定L的正方向如下: 當(dāng)觀察者沿L行走時(shí), 區(qū)域D總在他的左邊

14、. 相反的方向稱為負(fù)方向，記為-L. 區(qū)域D的邊界曲線的方向: 圖11-8 定理1 設(shè)閉區(qū)域D由分段光滑的曲線圍成, 函數(shù)P(x, y)及Q(x, y)在D上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 則有 , （11-2-1） 其中L是D的取正向的邊界曲線. 證明 根據(jù)區(qū)域D的不同形狀，一般可分為三種情況證明.I） 當(dāng)D既是X Y型的區(qū)域(如圖11-9)(即平行于坐標(biāo)軸的直線和L至多交于兩點(diǎn)的情形) . 設(shè) D=(x, y)|j1(x)yj2(x), axb. 因?yàn)檫B續(xù), 所以由二重積分的計(jì)算法有 圖11-9 另一方面, 由第二型曲線積分的性質(zhì)及計(jì)算法有 . 因此 .設(shè)D=(x, y)|y1(y)xy2(y),

15、y. 類似地可證.由于D既是X Y型的, 所以以上兩式同時(shí)成立, 兩式合并即得 . II）若區(qū)域D不滿足以上條件，則可通過加輔助線將其分割為有限個(gè)既是X Y型區(qū)域的區(qū)域(如圖11-10). III)若區(qū)域D為有限個(gè)“洞”的復(fù)連通區(qū)域，我們只證明只有一個(gè)洞的情況（圖11-11）. 對(duì)復(fù)連通區(qū)域D, 格林公式右端應(yīng)包括沿區(qū)域D的全部邊界的曲線積分, 且邊界的方向?qū)^(qū)域D來說都是正向. 證畢 例1 設(shè)L是任意一條分段光滑的閉曲線, L方向?yàn)檎较蜃C明 . 證 令P=2xy, Q=x2, 則.因此, 由格林公式有. 例2 計(jì)算曲線積分. 其中.解 記補(bǔ)充：則構(gòu)成封閉曲線.由格林公式 圖11-12設(shè)區(qū)域

16、D的邊界曲線為L, 取P=-y, Q=x, 則由格林公式得到一個(gè)計(jì)算平面區(qū)域D的面積 公式： . 我們可以用上述公式來求平面圖形的面積. 例3 求橢圓 所圍成圖形的面積S. 解 設(shè)D是由橢圓x=acosq , y=bsinq 所圍成的區(qū)域. 令, , 則. 于是由格林公式, =pab. 2. 2 平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件很容易想象，當(dāng)函數(shù)沿著連接A，B兩個(gè)端點(diǎn)的路徑L積分，一般來說，積分的值會(huì)因端點(diǎn)的變化而變化，還會(huì)隨著路徑的不同而不同. 然而，像重力做功只與路徑的端點(diǎn)值有關(guān)而與路徑無關(guān).下面來探究曲線積分與路徑無關(guān)的條件.首先給出積分與路徑無關(guān)的定義. 設(shè)D是一個(gè)平面區(qū)域, P(x,

17、y)、Q(x, y)在區(qū)域D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù). 如果對(duì)于區(qū)域D內(nèi)任意指定的兩個(gè)點(diǎn)A、B以及區(qū)域D內(nèi)從點(diǎn)A到點(diǎn)B的任意兩條光滑曲線L 1、L 2, 等式 恒成立, 則稱曲線積分在D內(nèi)與路徑無關(guān), 否則說與路徑有關(guān). 設(shè)曲線積分在D內(nèi)與路徑無關(guān), L 1和L 2是D內(nèi)任意兩條從點(diǎn)A到點(diǎn)B的曲線, 則有 , 因?yàn)?, 所以有以下結(jié)論: 曲線積分在D內(nèi)與路徑無關(guān)的充要條件是沿D內(nèi)任意閉曲線L的曲線積分等于零. 定理2 設(shè)區(qū)域D是一個(gè)單連通域, 函數(shù)P(x, y)及Q(x, y)在D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 則曲線積分在D內(nèi)與路徑無關(guān)（或沿D內(nèi)任意閉曲線的曲線積分為零）的充分必要條件是等式在D內(nèi)恒成立

18、. 證明 充分性 ：若, 則, 由格林公式, 對(duì)任意閉曲線L, 有. 必要性: 假設(shè)存在一點(diǎn)M0D, 使, 不妨設(shè)h0, 則由的連續(xù)性, 存在M0的一個(gè)d 鄰域U(M0, d), 使在此鄰域內(nèi)有. 于是沿鄰域U(M0, d)邊界l 的閉曲線積分 , 這與閉曲線積分為零相矛盾, 因此在D內(nèi). 證畢定理要滿足區(qū)域D是單連通區(qū)域, 且函數(shù)P(x, y)及Q(x, y)在D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù). 如果這兩個(gè)條件之一不能滿足, 那么定理的結(jié)論不能保證成立. 破壞函數(shù)P、Q及、連續(xù)性的點(diǎn)稱為奇點(diǎn). 例4 計(jì)算, 其中L為拋物線y=x2上從O(0, 0) 到B(1, 1) 的一段弧.解 因?yàn)?在整個(gè)xOy面

19、內(nèi)都成立, 所以在整個(gè)xOy面內(nèi), 積分與路徑無關(guān). . 圖11-13例5 計(jì)算, 其中L為一條分段光滑且不經(jīng)過原點(diǎn)的連續(xù)閉曲線, L的方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向. 解 記L 所圍成的閉區(qū)域?yàn)镈. 令 , . I)當(dāng)(0, 0)D時(shí), 由格林公式得; II)當(dāng)(0, 0)D時(shí), 在D內(nèi)取一圓周l: x2+y2=r 2(r0). 由L及l(fā)圍成了一個(gè)復(fù)連通區(qū)域D1, 應(yīng)用格林公式得, 其中l(wèi)的方向取逆時(shí)針方向. 于是 =2p. 例6 已知 確定 使與路徑無關(guān).解 由積分與路徑無關(guān)的條件知即 亦即解此方程得 又 從而 . 所以所求函數(shù) 2. 3 二元函數(shù)的全微分求積 曲線積分在D內(nèi)與路徑無關(guān), 表明曲線積分的

20、值只與起點(diǎn)從點(diǎn)(x0, y0)與終點(diǎn)(x, y)有關(guān). 如果與路徑無關(guān), 則把它記為. 即 . 若起點(diǎn)(x0, y0)為D內(nèi)的一定點(diǎn), 終點(diǎn)(x, y)為D內(nèi)的動(dòng)點(diǎn), 則u(x, y)為D 內(nèi)的的函數(shù). 二元函數(shù)u(x, y) 的全微分為du(x, y)=ux(x, y)dx+uy(x, y)dy. 而表達(dá)式P(x, y)dx+Q(x, y)dy與二元函數(shù)的全微分有相同的結(jié)構(gòu), 但它未必就是某個(gè)函數(shù)的全微分. 那么在什么條件下表達(dá)式P(x, y)dx+Q(x, y)dy是某個(gè)二元函數(shù)u(x, y)的全微分呢？當(dāng)這樣的二元函數(shù)存在時(shí)，怎樣求出這個(gè)二元函數(shù)呢？ 定理3 設(shè)區(qū)域D是一個(gè)單連通域, 函

21、數(shù)P(x, y)及Q(x, y)在D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 則P(x, y)dx+Q(x, y)dy 在D內(nèi)為某二元函數(shù)u(x, y)的全微分的充分必要條件是等式 在D內(nèi)恒成立. 證明 必要性: 假設(shè)存在某一函數(shù)u(x, y), 使得du=P(x, y)dx+Q(x, y)dy, 則有 , . 因?yàn)?、連續(xù), 所以, 即. 充分性: 因?yàn)樵贒內(nèi), 所以積分在D內(nèi)與路徑無關(guān).在D內(nèi)從點(diǎn)(x0, y0)到點(diǎn)(x, y)的曲線積分可表示為.考慮函數(shù)u(x, y). 下證.因?yàn)橛善珜?dǎo)數(shù)定義知類似地有, 從而du =P(x, y)dx+Q(x, y)dy. 即P(x, y)dx+Q(x, y)dy是某一函

22、數(shù)的全微分. 證畢下面我們給出求全微分的原函數(shù)的公式: 或 . 例7 應(yīng)用曲線積分求的原函數(shù). 解 這里 P=xy2, Q=x2y. 因?yàn)镻、Q在整個(gè)xOy面內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 且有 , 取積分路線為從O(0, 0)到A(x, 0)再到B(x, y)的折線, 則所求函數(shù)為 . 習(xí)題10-21利用Green公式，計(jì)算下列曲線積分：(1) .其中為正向圓周；(2) .其中為以及為頂點(diǎn)的三角形負(fù)向邊界；(3) .其中為的上半圓周從點(diǎn)到點(diǎn)及的上半圓周從點(diǎn)到點(diǎn)連成的弧.（4）.其中為圓周，取逆時(shí)針方向；（5）.其中為閉區(qū)域的正向邊界.2. 計(jì)算.其中為上半圓周,沿逆時(shí)針方向.3計(jì)算曲線積分. 其中：

23、（1）閉區(qū)域的正向邊界；（2）圓周按逆時(shí)針方向；4設(shè)函數(shù)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，證明對(duì)任何光滑封閉曲線，有.5. 證明曲線積分 在整個(gè)坐標(biāo)面上與路徑無關(guān), 并計(jì)算積分值.6. 求原函數(shù)(1)(2)7.求下列曲線所圍成的面積：(1) (2)星形線 8.為了使曲線積分與路徑無關(guān)，可微函數(shù)應(yīng)滿足怎樣的條件？第三節(jié) 曲面積分3. 1第一型曲面積分的概念及其性質(zhì) 類似于第一型曲線積分，面密度函數(shù) r(x, y, z) 在曲面S上連續(xù)時(shí)，曲面S質(zhì)量為 (l 為各小塊曲面直徑的最大值). 定義1 設(shè)曲面S是光滑的, 函數(shù)在S上有界. 把S任意分成n小塊: DS1, DS2 , , DSn (DSi代表曲面的面積)

24、, 在DSi上任取一點(diǎn)(xi, hi, zi ), 如果當(dāng)各小塊曲面的直徑的最大值 l0時(shí), 極限總存在, 則稱此極限為函數(shù)在曲面S上的第一型曲面積分或?qū)γ娣e的曲面積分, 記作, 即 圖11-14 . 其中叫做被積函數(shù), S叫做積分曲面. 我們指出當(dāng)在光滑曲面S上連續(xù)時(shí)第一型曲面積分總是存在的.今后總假定在S上連續(xù). 特別地，當(dāng)=1時(shí)，曲面積分為曲面S的面積. 根據(jù)上述定義光滑曲面 S 的面密度為 r(x, y, z)，則曲面 S 的質(zhì)量 M 可表示為 r(x, y, z) 在 S 上的第一型曲面積分: 3. 2 第一型曲面積分的計(jì)算定理1 設(shè)光滑曲面S：S 在曲面S上為連續(xù)函數(shù)，則 圖11-

25、15. 定理證明與第一節(jié)定理證明相仿，這里不再重復(fù). 例1 求.其中第一象限部分(如圖11-16).解 ，(如圖11-17).=圖11-16 圖11-17例2 計(jì)算曲面積分, 其中S是球面x2+y2+z2=a2被平面z=h(0h0的側(cè)為上側(cè)， 滿足cosg0, 所以(DSi)xy =(Dsi)xy. 又因(xi, hi, zi)是S上的一點(diǎn), 故zi=z(xi, hi). 從而有. 令l0取上式兩端的極限, 就得到.同理當(dāng)S取下側(cè)時(shí), 有.這是因?yàn)閚=(cosa, cosb , cosg), , . 類似地, 如果S由x=x(y, z)給出, 則有 . 如果S由y=y(z, x)給出, 則有.

26、 例3 計(jì)算曲面積分, 其中S是球面外側(cè)在的部分. 解 把有向曲面S分成以下兩部分: : ()的上側(cè), : ()的下側(cè). S1和S2在面上的投影區(qū)域都是 于是 . 例4 計(jì)算，（1）為錐面在部分的下側(cè)(如圖11-20)；（2）為錐面與平面所圍曲面的內(nèi)側(cè)(如圖11-21). 圖11-20 圖11-21解（1）：，下側(cè). ：. 則.（2）， ：，上側(cè)； ：，下側(cè).：.3.5兩類曲面積分之間的聯(lián)系 設(shè)積分曲面S由方程z=z(x, y)給出的, S在xOy面上的投影區(qū)域?yàn)镈xy , 函數(shù)z=z(x, y)在Dxy上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 被積函數(shù)R(x, y, z)在S上連續(xù). 如果S取上側(cè), 則有.

27、另一方面, 因上述有向曲面S的法向量的方向余弦為 , , , 故由第一型曲面積分計(jì)算公式有 .由此可見, 有 . 如果S取下側(cè), 則有 . 但這時(shí), 因此仍有 , 類似地可推得 , . 綜合起來有 , 其中cos a, cos b, cos g 是有向曲面S上點(diǎn)(x, y, z)處的法向量的方向余弦. 兩類曲面積分之間的聯(lián)系也可寫成如下向量的形式: 或 . 其中A=(P, Q, R), n=(cos a, cos b, cos g) 是有向曲面S上點(diǎn) (x, y, z) 處的單位法向量, dS=ndS=(dydz, dzdx, dxdy), 稱為有向曲面元, An為向量A在向量n上的投影. 例

28、5 計(jì)算曲面積分, 其中S是曲面介于平面z=0及z=2之間的部分的下側(cè).解 由兩類曲面積分之間的關(guān)系, 可得 . 在曲面S上, 曲面上向下的法向量為(x, y, -1) , , . 故 =8p. 習(xí)題11-31計(jì)算曲面積分其中為拋物面在平面上方的部分，分別如下： （1） （2）（3）2.,其中為平面在第一卦限的部分.3.計(jì)算,其中是界于平面及之間的圓柱面.4計(jì)算,其中為半球面 5，是球面；是介于平，之間的圓柱面.6. 計(jì)算下列第二型曲面積分 （1），其中是柱面被平面及所截下的第一卦限內(nèi)部分的前側(cè); （2），其中是球面的下半部分的下側(cè); 7計(jì)算，其中為上半球體，的外側(cè)8.計(jì)算，其中為半球面的上側(cè)

29、。9計(jì)算，其中為三個(gè)坐標(biāo)面與平面所圍成的四面體表面的外側(cè)第四節(jié) 高斯公式與斯托克斯公式格林公式表達(dá)了平面區(qū)域上二重積分與其邊界曲線上的曲線積分之間的關(guān)系. 而在空間上，也有同樣類似的結(jié)論，這就是高斯公式. 它表達(dá)了空間區(qū)域上三重積分與區(qū)域邊界曲面上曲面積分之間的關(guān)系.4. 1高斯公式定理1 設(shè)空間閉區(qū)域W是由分片光滑的閉曲面S所圍成, 函數(shù)P(x, y, z)、Q(x, y, z)、R(x, y, z)在W上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 則有 ， （11-1）或 ( 11-1；)其中S取外側(cè). (11-1) 、(11- 1；) 式稱為高斯公式. 證 設(shè)W是一個(gè)xy型區(qū)域，即上邊界曲面為S1: z=z2

30、(x, y), 下邊界曲面為S2: z=z1(x, y), 側(cè)面為柱面S3. S1取下側(cè), S2取上側(cè); S3取外側(cè). 根據(jù)三重積分的計(jì)算法, 有 . 另一方面, 有 圖11-22,以上三式相加, 得 .所以 . 類似地有,把以上三式兩端分別相加, 即得高斯公式. 對(duì)于不是XY型區(qū)域的情況，則用有限個(gè)光滑曲面將它分割成若干個(gè)XY型區(qū)域來討論，這里不再細(xì)說. 證畢例1 利用高斯公式計(jì)算曲面積分, 其中S為柱面x2+y2=1及平面z=0, z=3所圍成的空間閉區(qū)域W的整個(gè)邊界曲面的外側(cè). 解 這里P=(y-z)x, Q=0, R=x-y, , , . 由高斯公式, 有 圖11-23 . 例2 求其

31、中S是的外表面.解 記，由高斯公式，所求積分令，則變?yōu)椋海?所以 .4. 2斯托克斯公式斯托克斯公式建立了沿曲面的曲面積分與沿的邊界曲線 L 的曲線積分之間的聯(lián)系. 對(duì)曲面 的側(cè)與其邊界曲線 L 的方向作如下規(guī)定： 右手法則設(shè)S是空間上的光滑曲面，其邊界曲線為L，取定S的一側(cè)為正側(cè)，伸開右手手掌，以拇指方向指向此側(cè)的法線正向，其余四指伸開微曲，并使曲面S在手掌的左側(cè)，則其余四指所指的方向就是邊界曲線L的正方向，反之亦然(如圖11-24). 如圖11-24定理2 設(shè)L為分段光滑的空間有向閉曲線, S是以L為邊界的分片光滑的有向曲面, L的正向與 S 的側(cè)符合右手規(guī)則, 函數(shù)P(x, y, z)、

32、Q(x, y, z)、R(x, y, z)在曲面S(連同邊界)上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 則有 . 記憶方式: ,或 ,其中n=(cosa , cosb , cosg)為有向曲面S的單位法向量. 例3 利用斯托克斯公式計(jì)算曲線積分, 其中L為平面x+y+z=1被三個(gè)坐標(biāo)面所截成的三角形的整個(gè)邊界, 它的正向與這個(gè)三角形上側(cè)的法向量之間符合右手規(guī)則. 解 設(shè)S為閉曲線L所圍成的三角形平面, S在yOz面、zOx面和xOy面上的投影區(qū)域分別為Dyz、Dzx和Dxy , 按斯托克斯公式, 有 . 例4 利用斯托克斯公式計(jì)算曲線積分 , 其中L是用平面截立方體: 0x1, 0y1, 0z1的表面所得的截痕

33、, 若從x軸的正向看去取逆時(shí)針方向. 解 取S為平面的上側(cè)被L所圍成的部分, S的單位法向量, 即. 按斯托克斯公式, 有.,其中Dxy為S在xOy平面上的投影區(qū)域, 于是.習(xí)題11-41 利用高斯公式計(jì)算下列曲面積分.(1) 其中是平面所圍成的立體的表面的外側(cè)； （2）， 其中是球面的外側(cè)； (3) 其中是球面的外側(cè). 2、 計(jì)算曲面積分,其中為有向曲面,其法向量與軸正向的夾角為銳角3計(jì)算曲面積分其中是的外側(cè). 4、 利用斯托克斯公式計(jì)算曲線積分(1)，其中為與三坐標(biāo)面的交線，它的走向使所圍平面區(qū)域上側(cè)在曲線的左側(cè). (2) 其中為,所交的橢圓的正向. 第五節(jié) MATLAB軟件應(yīng)用5.1計(jì)算

34、曲線積分 例1 計(jì)算曲線積分，其中L為心形線的下半部分.心形線的參數(shù)方程為.解 程序如下 syms r t x y a f g u x=a*(1+cos(t)*cos(t);y=a*(1+cos(t)*sin(t); r=a*(1+cos(t); f=diff(x); g=diff(y); u=sqrt(f2+g2); int(y*u,t,pi,2*pi) ans =-16/5*(a2)(1/2)*a計(jì)算結(jié)果：ans=.例2 計(jì)算曲線積分，其中L為圓周的，且取正方向.解 程序如下取，畫出積分曲線，如圖所示 t=0:0.01:2*pi; x=cos(t); y=sin(t); plot(x,y)

35、;積分的計(jì)算方法有兩種; （1） 直接計(jì)算 syms x y t dx dy a x=a*cos(t); y=a*sin(t); dx=diff(x); dy=diff(y); int(x*y2-4*y3)*dx+(x2*y+sin(y)*dy,t,0,2*pi);ans =3*a4*pi（計(jì)算結(jié)果：ans=）（2）利用Green公式 syms x y p q d r t f a u v p=x*y2-4*y3; q=x2*y+sin(y); d=diff(q,x)-diff(p,y); u=r*cos(t); v=r*sin(t); g=subs(d,x y,u v); int(int(g*

36、r,t,0,2*pi),r,0,a)ans = 3*pi*a4（計(jì)算結(jié)果：ans=）例3 利用Gauss公式計(jì)算曲面積分，其中S為上半球體的表面外側(cè).解 程序如下 syms p q r x y z dpx dqy drz f g u v t m n l a p=x*z2;q=x2*y-z3; r=2*x*y+y2*z; dpx=diff(p,x);dqy=diff(q,y);drz=diff(r,z); f=dpx+dqy+drz; m=t*sin(u)*cos(v);n=t*sin(u)*sin(v); l=t*cos(u);g=subs(f,x y z,m n l); int(int(int(g*t2*sin(u),u,0,pi/2),v,0,2*pi),t,0,a)ans = 2/5*pi*a5總復(fù)習(xí)