參數(shù)估計習題課

1、第21講 參數(shù)估計習題課教學目的：1. 通過練習使學生進一步掌握矩估計和最大似然估計的計算方法； 2. 通過練習使學生理解無偏性和有效性對于評價估計量標準的重要性； 3. 通過練習使學生進一步掌握正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計和單側(cè)置信限。教學重點：矩估計和最大似然估計，無偏性與有效性，正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計。教學難點：矩估計，最大似然估計，正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計。教學時數(shù)：2學時。教學過程：一、知識要點回顧1. 矩估計 用各階樣本原點矩 作為各階總體原點矩的估計,。若有參數(shù)，則參數(shù)的矩估計為。2. 最大似然估計似然函數(shù)，取對數(shù)，從=0中解得的最大似然估計。3. 無偏性,有效性當時，稱為的無偏估計。

2、當時，稱估計量比有效。二 、典型例題解析1設(shè)，求的矩估計。解 設(shè)則=故，所以。2. 設(shè)總體在上服從均勻分布，求a和b的矩估計。解 由均勻分布的數(shù)學期望和方差知 （1） （2）由（1）解得，代入（2）得， 整理得，解得故得的矩估計為其中。3設(shè)總體的密度函數(shù)為，求的最大似然估計。解 設(shè)，則4 設(shè)總體的密度函數(shù)已知），求參數(shù)的最大似然估計。解 解得 。5. 設(shè)和為參數(shù)的兩個獨立的無偏估計量，且假定，求常數(shù)和，使為的無偏估計，并使方差最小。解 由于,且知，故得c+d=1。又由于并使其最小，即使，滿足條件c+d=1的最小值。令d=1-c，代入得，解得。7. 設(shè)某電子元件的壽命服從正態(tài)分布，抽樣檢查10個

3、元件，得樣本均值，樣本標準差。求 (1) 總體均值置信水平為的置信區(qū)間； (2) 用作為的估計值，求絕對誤差值不大于10（h）的概率。解 (1)由于未知，s=14（h）,根據(jù)求置信區(qū)間的公式得 查表得，故總體均值置信水平為的置信區(qū)間為 (2) 1-0.05=0.958. 設(shè)為正態(tài)總體的一個樣本，確定常數(shù)的值，使為的無偏估計。解 由于，所以有 由（無偏性），故有，所以。二、計算題窗體頂端1.某工廠生產(chǎn)滾珠.從某日生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機抽取9個,測得直徑(單位:mm)如下: 14.6 14.7 15.1 14.9 15.0 14.8 15.1 15.2 14.8用矩估計法估計該日生產(chǎn)的滾珠的平均直徑和均

4、方差.解. 設(shè)滾珠的直徑為X, 平均直徑為,均方差為. 由矩估計法可知 , 而 , . , 而 =0.03654, . 窗體底端窗體頂端2.設(shè)總體X的密度函數(shù)為 , 其中 (0), 求的極大似然估計量.解. 設(shè)(X1, X2, Xn)是來自X的一樣本.由極大似然估計原理,參數(shù)的似然函數(shù)為: , 上式兩邊取對數(shù) , 似然方程為 , 解似然方程得的極大似然估計量是 .窗體底端窗體頂端3.設(shè)總體X的密度函數(shù)為 , 求的極大似然估計量和矩估計量.解. 設(shè)(X1, X2, Xn)是來自X的樣本. (1)由矩估計法, . 即參數(shù)的矩估計量是 . (2) 由極大似然估計原理, 參數(shù)的似然函數(shù)為 ,上式兩邊取

5、對數(shù) ,似然方程為 ,解似然方程得到參數(shù)的極大似然估計量是 .1設(shè)，求的矩估計。解 設(shè)則=故，所以。3. 一地質(zhì)學家研究密歇根湖湖地區(qū)的巖石成分，隨機地自該地區(qū)取100個樣品，每個樣品有10塊石子，記錄了每個樣品中屬石灰石的石子數(shù)。假設(shè)這100次觀察相互獨立，并由過去經(jīng)驗知，它們都服從參數(shù)為n=10，P的二項分布。P是該地區(qū)一塊石子是石灰石的概率。求p的極大似然估計值，該地質(zhì)學家所得的數(shù)據(jù)如下樣品中屬石灰石的石子數(shù)0觀察到石灰石的樣品個數(shù)2310解：的極大似然估計值為=0.499 4. 設(shè)X1，X1，Xn為總體的樣本，求各未知參數(shù)的極大似然估計值和估計量（1）其中c0為已知，1，為未知參數(shù)。（2）其中0，為未知參數(shù)。解（1）似然函數(shù)（解唯一故為極大似然估計量）（2）。(解唯一)故為極大似然估計量。6. 設(shè)樣本來自總體，如果要以99.7%的概率保證，試問樣本容量n應(yīng)取多大？解：。現(xiàn)要求n,使 即，查表得，所以n=219，即樣本容量為219。8. 設(shè)總體X具有分布律X123Pk22(1)(1) 2其中(01)為未知參數(shù)。已知取得了樣本值x1=1，x2=2，x