有限元分析中的應力

1、你真的了解有限元分析中的“應力”嗎 雖然在有限元分析中我們常常會用到軟件后處理程序得出的應力值（stress），但其實應力有很多值得我們研究的地方。 如果我們把作用于物體的力產(chǎn)生的各處應力匯總起來，那么應力也就像流體分析CFD中的速度或者壓力一樣形成應力場“流過”物體，我們抓取感興趣的地方來進行強度的評估。然而，由于應力狀態(tài)變化復雜，并不好在3D單元中進行可視化，所以我們更需要根據(jù)軟件已有的功能來探究應力的意義。1. 幾乎所有的有限元分析結(jié)果中，默認的應力結(jié)果是馮米斯應力（Von Mises），馮米斯應力是一個標量結(jié)果，并沒有力的方向性指示。學過材料力學的應該知道還有一種應力是主應力（prin

2、ciple stress），主應力是矢量，某些情況下也是非常有用的，那么他們之間有什么區(qū)別？ 2.物理內(nèi)部的受力在不同部位都不一樣，我們怎樣盡可能多的去研究內(nèi)部力場的不同特性并且通過軟件可視化出來呢？下面我們將探究上面的兩個問題。什么是應力？首先我們先說說什么是應力。眾所周知，應力（stress）是單位面積上作用的力（forces）。我們并不好感知或者測量應力，但力（force）是實實在在的，我們可以很好的感知和測量。物質(zhì)總是由原子構(gòu)成的，從原子的維度看，原子之間相吸或者相斥。物體在沒有受力的狀態(tài)下，原子處于自然狀態(tài)，所有的力互相平衡，如果物體受到外部力的作用，原子就會偏離平衡位置去尋找新的平

3、衡位置來平衡外部力。如下圖所示，相同長度L上分別有兩排5對的原子和兩排6對的原子，如果假設原子之間的吸引力相同，那么單位長度上6對原子的應力要比5對的大，擴展到宏觀的3D情形同樣適用。力和應力單元 微積分學科的發(fā)展可以使我們通過數(shù)學運用無限（無限大或者無限?。┑脑韥硖幚砗芏鄬嶋H問題，宏觀物體的受力是微觀單元的疊加。在材料力學中，我們把一個無限小的立方體（cube）單元來描述某一點的受力情況。為什么無限小呢？因為由于無限小，小到物體內(nèi)部力是均勻的，沒有應力變化，只有一種應力狀態(tài)。如下圖所示，六個面分別受到法向力平衡。 上圖是垂直于截面的法向力（normal force）情形，那么自然還有一種剪

4、切力（shear force）。如下圖所示，如果X方向截面受到剪切力Fxy（下標x代表x方向截面，y代表受力朝向y方向），那么為了使單元平衡，就會產(chǎn)生其余三個力Fyx，F(xiàn)xy，F(xiàn)yx（如果想當然覺得只有Fxy產(chǎn)生，那么立方體將受到彎矩無法平衡） 如果將法向力和剪切力匯總到一個立方體中（為了便于圖形呈現(xiàn)，其它三個面的受力狀態(tài)這里沒表示出來）： 有限元模型中，每個單元受到的力，包括法向力、剪應力的合力都是和外力通過節(jié)點傳遞到該單元的力平衡的，這種微觀的平衡是力學平衡的微觀表現(xiàn)。有力（force）就有應力（stress），相應的應力單元如下圖所示： 下面我們通過一個實例來研究物體在受力狀態(tài)下的力的多

5、種觀察視角。 如下圖所示，一個斜十字交叉的簡易桁架模型左端兩個孔完全約束，右邊兩個吊耳孔分別受到向下和左/右方向的力（大小任意）。 整體的Von Mises應力狀態(tài)如下圖所示，一般情況下軟件都默認得到這個應力云圖，我們看看最大的受力區(qū)域和值就可以了，但今天我們不關注這個，我們更關注力在不同區(qū)域，不同方向的不同形式，von mises是標量，沒有方向，得出的數(shù)值也沒有正負，得不到這些細節(jié)信息。首先我們來看看X方向的受力情況： 從上圖中我們可以看出來，上面部分主要受到拉伸力（數(shù)值是正值），下面主要受壓縮力（數(shù)值是負值），為了證明我們的觀察，我們將上面受到拉伸的區(qū)域C和壓縮力的區(qū)域E局部放大得到如下

6、的結(jié)果。放大區(qū)域C： 從上圖可以看出在圖中虛線方向上，力的變化都是正值，還可以看出這種變化是線性的。再看區(qū)域E： 從上圖可以看出在圖中虛線方向上，力的變化都是負值，同樣是線性變化的。 此外，從X方向的應力分布云圖中還可以看出，區(qū)域A似乎是拉伸最大點，區(qū)域B似乎是壓縮最大點，但這只是X方向的情形并不能告訴我們?nèi)康男畔?。我們再看看Y方向的應力分布： 從Y方向的應力分布來看，最感興趣的應該是區(qū)域D。繪制區(qū)域D的應力變化可以看出次區(qū)域既有拉伸應力也有壓縮應力。 我們觀察了X方向和Y方向的應力分布。如果我們想觀察和X方向或者Y方向成一定角度方向上的應力分布呢？這時候我們需要建立局部坐標系。如下圖所示：

7、我們甚至可以看看xy平面方向上的剪應力分布： 上面我們介紹了在笛卡爾坐標系下不同方位的應力分布，我們姑且稱這種應力為“笛卡爾”應力（Cartesian stresses）吧。下面我們來看看主應力（principle stress）和馮米斯應力（Von Mises stress）主應力（principle stress） 上面我們觀察了x方向、y方向和局部坐標系下的應力分布。事實上，我們可以任意旋轉(zhuǎn)坐標系來觀察應力的分布，雖然方向不同，但他們其實都是等價的，只是通過不同的角度來描述相同的應力狀態(tài)而已。 我們以下圖中所示的點x為基準，研究這一點在不同坐標角度下x方向、y方向和剪應力xy方向的應力變

8、化。下圖我們把幾個關鍵的信息列在一張圖中方便觀察。 左上角是主應力（主應力、剪應力）計算公式，可以看出，不同角度方向上主應力大小是不同的，所以主應力是矢量。右邊的曲線圖代表點“x”在不同方向（X、Y、XY）和不同角度下（0360）的主應力變化值，可以看出呈正（余）弦變化，這也是和主應力公式吻合的。一般我們把最大主應力（max principal stress)簡稱為P1，最小主應力（min principal stress，有符號，不代表真的很?。┖喎Q為P3，最大剪應力（max shear stress）簡稱為P2。此例中由于P2非常小我們不考慮，主要考慮P2和P3。 下圖所示為拉伸主應力占主

9、導的區(qū)域，沒有顯示應力云圖的區(qū)域是因為拉伸主應力太小或者受到壓縮應力，我們把它過濾掉不顯示出來。這非常有用，從圖中我們可以看出，上面的桁架主要受拉伸應力，左上到右下的的區(qū)域也受到稍微小一點的拉伸應力 那么哪些部位主要受到壓縮應力呢？ 下圖所示為壓縮應力占主導的區(qū)域，沒有顯示應力云圖的區(qū)域是因為壓縮應力太小或者受到拉伸應力，我們把它過濾掉不顯示出來?？梢钥闯隼鞈蛪嚎s應力兩幅圖呈現(xiàn)互補（不完全互補）狀態(tài)。 我們甚至可以繪制應力云圖來呈現(xiàn)力場在內(nèi)部的流動。拉伸應力的矢量云圖如下圖所示，拉伸應力越大的地方顏色越深。 下圖為壓縮應力戰(zhàn)主導的區(qū)域，同樣的，壓縮應力越大顏色越深。 最大主應力P1和最小

10、主應力P2在疲勞耐久分析（fatigue analysis）中非常重要，對于壓縮應力，在屈曲分析中也非常有用。馮米斯應力（Von Mises） 馮米斯應力是我們在平時分析時最常見的力，2D狀態(tài)下的馮米斯應力公式為： 從公式也可以看出馮米斯應力是沒有負值的，是一個標量。我們再次貼出上面的那張圖： 從上圖可以看出，大約有四個區(qū)域的應力云圖是我們需要關心的，馮米斯應力的意義就在于此，它可以讓我們很快找到最危險的區(qū)域。但是由于是標量，我們并不能從中知道哪些地方是受到拉伸應力，而哪些地方受到壓縮應力，我們也不知道某些區(qū)域到底是主應力占主導，還是剪應力占主導，而這些細節(jié)往往在某些分析類型中是必不可少的。

11、下圖是吊耳處的馮米斯應力分布圖，從圖中可以看出存在應力較大的集中部位，但我們并不知道到底是拉伸還是壓縮占主導（一般從垂直應力方向開始疲勞屈服），但在疲勞分析中，這兩個因素帶來的影響很關鍵但也是不同的。另外，我們也不知道剪應力是否占主導，剪應力較小時我們可以忽略，但如果剪應力較大，其帶來的影響往往比主應力更嚴重。所以光有馮米斯應力是不夠的，我們需要綜合考慮這兩種力。三種力的總結(jié) 綜上，在有限元分析的后處理中，我們通常關注這三種力：笛卡爾應力（Cartesian stresses），主應力（principal stresses）和馮米斯應力（von Mises stress），我們之所以綜合探究他們，是因為這樣可以使我們對分析對象的受力有一個更清晰的圖景，可以使我們更好的做出判斷。1.馮米斯應力 馮米斯應力主要使我們能看到整體的應力分布和應力集中的地方，是強度評估的主要參考指標。2.笛卡爾應力 笛卡爾應力是把馮米斯應力分解在不同方向上，或者建