橢圓的基本知識

1、精品文檔橢圓的基本知識一、基本知識點(diǎn)知識點(diǎn)一：橢圓的定義：橢圓三定義，簡稱和比積1定義1：(和)至倆定點(diǎn)的距離之和為定值的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。這兩個定點(diǎn)叫橢圓的焦 點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫作橢圓的焦距，定值為。2、定義2:(比)到定點(diǎn)和定直線的距離之比是定值的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。定點(diǎn)為焦點(diǎn)，定直線為準(zhǔn)線，定值為。3、定義3:(積)到兩定點(diǎn)連線的斜率之積為定值的點(diǎn)的軌跡是橢圓。兩定點(diǎn)是長軸端點(diǎn)，定值為 m e21( 1 b 0)的參數(shù)方程為。a b知識點(diǎn)四：橢圓的一些重要性質(zhì)(1) 對稱性：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是以 x軸、y軸為對稱軸的軸對稱圖形，并且是以原點(diǎn)為對 稱中心的中心對稱圖形，這個對稱中心就是橢圓的中

2、心。(2) 范圍：橢圓上所有的點(diǎn)都位于直線 xa和yb所圍成的矩形內(nèi)，所以橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足x a, y b。(3)頂點(diǎn):橢圓的對稱軸與橢圓的交點(diǎn)為橢圓的頂點(diǎn);2橢圓篤a2古1(a b 0)與坐標(biāo)軸的四個頂點(diǎn)分別為橢圓的長軸和短軸。2c c(4)離心率：橢圓的焦距與長軸長度的比叫做橢圓的離心率，用e表示，記作e 亠上。2a a因?yàn)閍c0，所以e的取值范圍是0 e b0)上xo,yo點(diǎn)的切線方程，可以用xo,yo等b效代替橢圓方程得到。等效代替后的切線方程是:XXoyyob2-(10)極點(diǎn)與極線:若Po xo, yo是橢圓2y1(a b o)外一點(diǎn)，過Fo作橢圓的兩b條切線，切點(diǎn)為 F,F2，則

3、點(diǎn)Fo和切點(diǎn)弦RP2分別稱為橢圓的極點(diǎn)和極線。切點(diǎn)弦P1P2的直線方程即極線方程是(11)中點(diǎn)弦方程和弦中點(diǎn)軌跡：中點(diǎn)弦AB的方程：在橢圓中，若弦爭晉1 (極線定理)AB的中點(diǎn)為M(x,y)，弦AB稱為中點(diǎn)弦，則中點(diǎn)弦的方程就是竽ayoy2Xoa22yo2，是直線方程。b2弦中點(diǎn)M的軌跡方程：在橢圓中，過橢圓內(nèi)點(diǎn)Po xo,yo的弦AB，其中點(diǎn)M的方程就是XXayoy2y牙，仍為橢圓。b22 2 2知識點(diǎn)五：橢圓務(wù)篤 1和篤a ba2X1(a b o)的區(qū)別和聯(lián)系b2標(biāo)準(zhǔn)方程2 2X2 y2 1(a b o) a b2 ab21(a bo)圖形性質(zhì)焦占八 、八、焦距范圍對稱性頂點(diǎn)軸長離心率準(zhǔn)線

4、方程焦半徑、規(guī)律方法1如何確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程？確定一個橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程需要三個條件：兩個定形條件a,b ；一個定位條件焦點(diǎn)坐標(biāo)，由焦點(diǎn)坐標(biāo)的形式確定標(biāo)準(zhǔn)方程的類型。2、橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中的三個量a,b,c的幾何意義a,b, c構(gòu)成一個直角三角形的三邊，滿足勾股定理。3、如何由橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程判斷焦點(diǎn)的位置？橢圓的焦點(diǎn)總在長軸上，因此已知標(biāo)準(zhǔn)方程，判2 2斷焦點(diǎn)位置的方法是：看 x ,y的分母的大小，哪個分母大，焦點(diǎn)就在哪個坐標(biāo)軸上。2O4、方程Ax By C(ABC 0)是表示橢圓的條件。5、求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法：待定系數(shù)法：由已知條件確定焦點(diǎn)的位置，從而確定橢圓方程的類型，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再由條件確

5、定方程中的參數(shù)a,b,c的值。其主要步驟是“先定型，再定量”定義法：由已知條件判斷出動點(diǎn)的軌跡是什么圖形，然后再根據(jù)定義確定方程。6、共焦點(diǎn)的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程形式上的差異共焦點(diǎn)，則c相同。2 與橢圓務(wù) a2話1(ab0)共焦點(diǎn)的橢圓方程可設(shè)為a2 m b2 m1(mb2)，此類問題常用待定系數(shù)法求解。7、如何求解與焦三角形PFiF2(P是橢圓上的點(diǎn))有關(guān)的計(jì)算問題?焦三角形：以橢圓的兩個焦點(diǎn)F1, F2為頂點(diǎn)，另一個頂點(diǎn)p在橢圓上的三角形稱為焦三角形。半角是指F1PF2的一半。2則焦三角形的面積為：S b tan 。28、直線與橢圓問題的有關(guān)計(jì)算問題（韋達(dá)定理的應(yīng)用）（1 ）弦長公式（2）中點(diǎn)弦問

6、題（點(diǎn)差法）三、四種題型與三種方法（一）四種題型2 2P為橢圓C上的一動1、已知橢圓C:- y1內(nèi)有一點(diǎn)A（2,1）, F為橢圓C的左焦點(diǎn),25165點(diǎn)，求PA -|PF的最小值。2、已知橢圓2c：252y161內(nèi)有一點(diǎn)A（2,1）, F為橢圓C的左焦點(diǎn),P為橢圓C上的一動點(diǎn)，求PA PF的最大值與最小值。2 2P為橢圓C上的一動3、已知橢圓C :-1外有一點(diǎn)A（5,6） ,1為橢圓C的左準(zhǔn)線,25163點(diǎn)，點(diǎn)P到I的距離為d，求PA d的最小值。4、定長為d（d的線段AB的兩個端點(diǎn)分別在橢圓x2b21（ab0）上移動,求AB的中點(diǎn)M到橢圓右準(zhǔn)線I的最短距離。（二）三種方法22Xy代B兩點(diǎn)，求

7、三角形AOB的最1橢圓r2 1（a b0）的切線與兩坐標(biāo)軸分別交于ab小面積。22、已知橢圓Z 1和直線l : x y 90 ,在I上取一點(diǎn) M，經(jīng)過點(diǎn)M且以橢圓的3焦點(diǎn)Fi,F2為焦點(diǎn)做橢圓，求 M在何處時(shí)所作橢圓的長軸最短，并求此橢圓。2 23、過橢圓2x y2的焦點(diǎn)的直線交橢圓于A, B，求AOB面積的最大值。四、經(jīng)典例題1、如圖，把橢圓2x2521的長軸AB分成8等份，過每個分點(diǎn)作x軸的垂線交橢圓的上16半部分于r,P2, r,F4,P5,F6,P7七個點(diǎn)，PF| P2FP7F2x2、已知f1 , f2是橢圓162人 1的兩個焦點(diǎn)，過9MNF2的周長為（）B. 16C. 25D. 323、過點(diǎn)A 1,1的兩個焦點(diǎn)相同的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程是2x2）且與橢圓一62x4、若橢圓k 82y- i9的離心率是-，則k的值等于22x5、F1, F2分別是橢圓a2y2 1的左右焦點(diǎn)，點(diǎn) P在橢圓上，POF2是面積為.3的正b三角形，則b2的值是6、在給定橢圓中,過焦點(diǎn)且垂直于長軸的弦長為2，焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為1,則該橢圓的離心率為（A. 2B.1C.2D.7、已知定點(diǎn)A