初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo) 解三角形

1、2 2 2oooo2 2 22 2 22 2 2o o初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)解三角形甲內(nèi)容提要1. 由三角形的已知元素，求出所有未知元素的過(guò)程叫做解三角形. 2. 解直角三角形所根據(jù)的定理 (在 abc 中，c=rt).1 邊與邊的關(guān)系： 勾股定理c =a +b .2 角與角的關(guān)系：兩個(gè)銳角互余a+b=rt 邊與角的關(guān)系：（銳角三角函數(shù)定義）sina=a b a b ， cosa= , tana= , cota=c c b a.a 互余的兩個(gè)角的三角函數(shù)的關(guān)系：sin(90 a)= cosa，cos(90 a)= sina，cbtan(90 a)= cota, cot(90 a)= tana.bac

2、 特殊角的三角函數(shù)值：角 a 的度數(shù)030 45 60 90sina 的值cosa 的值0112322222321210tana 的值cota 的值0不存在33311333不存在0銳角的正弦、正切隨著角度的增大而增大（即增函數(shù)）；余弦、余切隨著角度的增大 而減?。礈p函數(shù)）.3. 解斜三角形所根據(jù)的定理 (在abc 中) 正弦定理：a b c= =sina sinb sinc=2r. (r 是abc 外接圓半徑). 余弦定理： c =a +b 2abcosc； b =c +a 2ca cosb； a =c +b 2cbcosa. 互補(bǔ)的兩個(gè)角的三角函數(shù)的關(guān)系：sin(180 a)= sina，

3、 cos(180 a)= cosa ，217oooo。2 2 2 2 22 2 22 2o otan(180 a)=cota，cota(180 a)=tana. s abc1 1 1absinc= bcsina= casinb.2 2 24. 與解三角形相關(guān)的概念：水平距離，垂直距離，仰角，俯角，坡角，坡度，象限角， 方位角等.乙例題例 1. 已知：四邊形 abcd 中，a60 ，cbab，cdad，cb2，cd1. 求：ac 的長(zhǎng).解：延長(zhǎng) ad 和 bc 相交于 e，則e30 .在 ecd 中，sine=cdce,e1 1ce= =1 2. eb4. sin 30 o 2ab在 eab 中

4、， tane= ,ebd1cab=ebtan30 =4 33.ay60xb2根據(jù)勾股定理 ac2 2 （4 33）22321.又解：連結(jié) bd，設(shè) ab 為 x，ad 為 y.根據(jù)勾股定理 ac x +2 =y +1 .根據(jù)余弦定理 bd x +y 2xycos60 =2 1 221cos120 .得方程組x2-y2 +3 =0， x2 +y 2 -xy +7 =0.解這個(gè)方程組， 得 x=4 33. (以下同上一解)例 2. 已知：如圖，要測(cè)量山 ab 的高，在和 b 同一直線上的 c，d 處,分別測(cè)得對(duì) a 的仰 角的度數(shù)為 n 和 m，cd=a. 試寫(xiě)出表示 ab 的算式.解：設(shè) ab

5、為 x，bd 為 y.在 abd 和 abc 中，ay =x cot m， y +a =x cot n.xxcotm=xcotna .cna dmyb2182 2 2ooooo x=acotn -cotm.答：山高 abacotn -cotm.例 3. 已知：四邊形 abcd 中，abc135o，bcd120o，cd6，ab6，3bc5 求：ad 的長(zhǎng).（1991 年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題）解：作 aebc 交 cd 于 e， bfae 于 f， cgae 于 g. 在 abf 中，bf 6 sin45 o = 3 , afbf 在 cge 中，3gecgtan30 o = 3 1,33.a6b1

6、35f5 3c120ge6dce2， ed4.ae=3+53+1=6， aed120o.在aed 中，根據(jù)余弦定理，得ad 6 4 264cos120 =76.ad219.例 4. 如圖，要測(cè)量河對(duì)岸 c，d 兩個(gè)目標(biāo)之間的距離，在 a，b 兩個(gè)測(cè)站，測(cè)得平面角cab30 ，cad45 ，dbc75 ，dba45 ，ab 試求 c，d 的距離.解：在abc 中，3.acbcab30o，dcbcab3,河流ac2 3 cos30 o =3.75453045在abd 中，adb60ob3a由正弦定理，ad ab ， sin 45 o sin 60 oadabsin 60o3 2sin45 o =

7、3 2 .2 22192 222222222222在acd 中，由余弦定理，得cd 3 （2） 232cos45 =5cd 5 .例 5. 已知：o 是凸五邊形 abcde 內(nèi)的一點(diǎn)且a8 112，34，56，78. 求證：9 和10 相等或互補(bǔ)(1985 年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題)e96o103b證明：根據(jù)正弦定理，得oa ob ob oc oc od = = = = =sin10 sin1 sin 2 sin 3 sin 4 sin 57 24 5d c=od oe oe oa= = = sin 6 sin 7 sin 8 sin 9.sin10=sin99 和10 相等或互補(bǔ).例 6. 已知

8、：二次方程 mx (m2)x+ 角形兩個(gè)銳角的正弦值.14(m1)=0 兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，恰好是直角三求：這個(gè)直角三角形的斜邊與斜邊上的高的比. 解：作 abc 斜邊上的高 cd.則 sina=cd cd, sinb=ac bc.csina 和 sinb 是方程的兩根，根據(jù)韋達(dá)定理，得m -2sina+ sinb= ； (1)mm -1sina sinb= . (2)4mcd cd m -1即= . （3） ac bc 4madbm -2 m -1(1) 2(2)得： (sina) +(sinb) =( ) .m 2 msinb=cosa, 且 (sina) +( cosa) =1，(m -

9、2 m -1 ) =1，m 2mm+7m8=0,m=1， m=8.由（3）cd cd cd cd m -1 .ac bc abcd ab 4 mab 4m .cd m -1220oooooo oabcoab 32當(dāng) m=1 時(shí)，沒(méi)有意義； 當(dāng) m=-8 時(shí)， = .cd 9即直角三角形斜邊與斜邊上的高的比是 329.丙練習(xí)1. 填空： 如果從點(diǎn) a 對(duì)著點(diǎn) b 測(cè)得仰角是 60 ，那么從點(diǎn) b 對(duì)著點(diǎn) a 測(cè)得的俯角是度. 點(diǎn) c 在點(diǎn) d 的南偏東 25 ，那么點(diǎn) d 在 c 的方向是. 斜坡 ab 的坡角是 30o，那么 ab 的坡度 i=1. 銳角 a45 ，那么下列函數(shù)的取值范圍是：s

10、ina_， cosa_，tana_，cota_. 已知：30oa60o，那么如下的函數(shù)的取值范圍是a 的余弦，a 的正切.2. 已知：abc 中，b45 ，ac7，點(diǎn) d 在 bc 上，cd3， d5.求 ab 的長(zhǎng).aj303. 如圖觀測(cè)塔 ab 的高為 aa 測(cè)得地面上a45同一方向上的兩個(gè)目標(biāo) c，d 的俯角分別是 30o和 45o，求 cd 的距離.b dc4. 船 a 在船 b 的正北，它們同時(shí)向東航行，時(shí)速分別是 15 和 20 海里，3 小時(shí)后，船 b 在船 a 的東南，問(wèn)這時(shí)兩船相距多遠(yuǎn)？5. 一只船向南航行，出發(fā)前在燈塔 a 的北偏東 30 ，相距 15 海里，2 小時(shí)后，燈

11、塔在船的北偏西 60o，求船的航行速度.a6. 如圖要測(cè)量建筑物 ab 的高，先在樓下 c 測(cè)得對(duì)頂端 a 的仰角為 45 ，然后在樓上 d 測(cè)得對(duì) a 的仰角為 30 ，已知 樓高 cd=m 米，求 ab.7. 已知：abc 中，a=21, b=17, c=10.求：s .8. 已知：abc 中，sina sinbsinc=357.求：abc 的最大角的度數(shù).ebdmc9. 船 b 在艇 a 的方位角 120o，相距 24 海里處，發(fā)出呼救，報(bào)告說(shuō)：它沿著方位角 240 的方向前進(jìn)，速度是每小時(shí) 9 海里. a 艇以最快的時(shí)速 21 海里趕去營(yíng)救，問(wèn)應(yīng)沿什么方向，a221bfd cj要經(jīng)過(guò)幾小時(shí)才能靠近船 b？10. 已知：銳角三角形 abc 的外接圓直徑 ae 交 bc 于 d. 求證：tanbtanc=adde提示：作 bc 邊的高 af(h)并延長(zhǎng)交圓于 g,連結(jié) ge11. 已知：abc 中，a=45 ，ab=6，bc=2，不用正弦定理能解答這個(gè)三角形嗎？如不能，說(shuō)明理由；如能請(qǐng)解這個(gè)三角形.(1981 年福建省初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題)12. 如圖已知：abcd 為圓內(nèi)接四邊形，過(guò) a