初三全國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽題及答案

1、全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題（共5 小題，每小題 7 分，滿分 35 分）（ 1）設(shè) x53 ，則代數(shù)式 x( x1)( x 2)( x 3) 的值為 ( ).2（A）0（B）1（C）1（D）2【答】 C解：由已知得 x23x 1 0， 于是x( x1)(x2)( x3)( x23x)( x23x2)( x23x1)211.（ 2）已知 x，y，z 為實(shí)數(shù)，且滿足 x2y5z3 ， x2 y z5 ，則x2y 2z2 的最小值為 ().（A） 1（ ）（C）5（D） 5411B011【答】 D，x2 yx3z15z 3解：由x2 yz， 可得yz2.5于是x2y2z211z

2、22z 5因此，當(dāng) z1 時(shí)， x2y2z2 的最小值為 54 1111（ 3）若 x1 ， y0，且滿足 xyx y， xx3 y ，則 xy 的值為 ().y（A）1（B）2（C） 9（D） 1122【答】 C解：由題設(shè)可知 yx y 1 ，于是xyx3yx4 y 1，所以 4 y 11故 y14 于是 xy9，從而 x22（ 4）設(shè)1111，則 4S 的整數(shù)部分等于 ().S33333122011（A）4（B）5（C）6（D）7【答】 A解：當(dāng) k2，3，2011，因?yàn)?111111，k3k k22 k 1 k k k 1所以1S11 1111 1120125 2333201132220

3、114于是有 44S5，故 4S 的整數(shù)部分等于 4（ 5）點(diǎn) D，E 分別在 ABC 的邊 AB， AC 上， BE， CD 相交于點(diǎn) F ，設(shè)S四邊形 EADFS1， S BDFS2， S BCFS3， S CEFS4 ，則 S1S3 與 S2S4 的大小關(guān)系為 ().（A）S1 S3S2 S4（ ）S1S3S2 S4B（C）S1 S3S2S4（ ）不能確定D【答】 C解：如圖，連接 DE ，設(shè) S DEFS1 ，第（ 5）題則 S1EFS4，從而有 S1 S3S2 S4 因?yàn)?S1S1 ，所以 S1S3S2S4 S2BFS3二、填空題（共5 小題，每小題 7 分，共 35 分）（ 6）兩

4、條直角邊長(zhǎng)分別是整數(shù)a，b （其中 b 2011），斜邊長(zhǎng)是 b1 的直角三角形的個(gè)數(shù)為.【答】 31解：由勾股定理 , 得 a 2(b 1) 2b22b 1 因?yàn)閎是整數(shù)，b 2011所以 a 2 是 1 到 4023 之間的奇數(shù)，而且是完全平方數(shù)，這樣的數(shù)共有31 個(gè)，即 32，52，632 因此 a 一定是 3，5， ，63，故滿足條件的直角三角形的個(gè)數(shù)為 31（ 7）一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子的六個(gè)面上的數(shù)字分別是1，2，2，3，3，4；另一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子的六個(gè)面上的數(shù)字分別是1，3，4，5，6，8.同時(shí)擲這兩枚骰子，則其朝上的面兩數(shù)之和為7 的概率是.【答】 16解： 在 36

5、 對(duì)可能出現(xiàn)的結(jié)果中，有6 對(duì)：（1，6）， （2，5）， （2，5），（3，4），（3，4），（4，3）的和為 7，所以朝上的面兩數(shù)字之和為7 的概率是61 .366（ 8）若 y1xx1，最小值為b，則 a22的值的最大值為ab2為.【答】 32111x0，且x解：由x，得 0212y212 x23 x1 12 ( x3) 21 2222416由于13 0ABP= ABQ30BC=3aBD =3bAC = 3a2 AD=23b.PC DQACPADQ .PCACa3a 2a b3abDQADb 23bxP xQ3 tab3ab3 ， ab3 3 ，2222a2b3 .b3y2 x2Q3 1

6、 .232215Qykx 1k3.3PQy3x1 .3PQy3 x1y3 x1.3320PQykxt ,t1 .ABP = ABQ30BQ2DQ .2xQxQ2( yQ 1)2 .yQ 2xQ234xQ415xQ290(4xQ23)(xQ23)0 .xQ33 .2xP xQ3t3 xPxQ3k .222xQ3 ，xP3k2 ( xPxQ )3 .233xQ3xP3 ，k2(xPxQ )3 .233PQy3 x 1y3 x1.332014ai， i， ， ，a1a2a2 0 1 10122011a1， a2， ， a2 0 1 1ai， a（j ij）a jai(1ai )(1 a j )20102010，xii1