初三數(shù)學(xué)競(jìng)賽：二次函數(shù)問(wèn)題

1、二次函數(shù)歷屆考題11、已知一次函數(shù)y12x，二次函數(shù)y2x21，是否存在二次函數(shù)y3ax 2bxc ，其圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（5,2 ），且對(duì)于任意實(shí)數(shù)x 的同一個(gè)值，這三個(gè)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y1 , y2 ，y3 ，都有y1y2y3 成立？若存在，求出函數(shù)y3 的解析式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。解：存在滿足條件的二次函數(shù)。因?yàn)閥1y22x( x21)x22x1( x1)20 ，所以，當(dāng)自變量x 取任意實(shí)數(shù)時(shí)， y1y2 均成立。由已知，二次函數(shù)y3ax 2bxc 的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（ 5,2 ），得25 a5b c2當(dāng) x1 時(shí)，有 y1y22 ， y3abc由于對(duì)于自變量 x 取任實(shí)數(shù)時(shí)， y1y3y2 均

2、成立，所以有 2 a bc 2，故 abc2由，得 b4a ， c25a ，所以 y3 ax24ax(25a).5 分當(dāng) y1y3 時(shí)，有 2xax24ax(25a) ，即 ax2(4 a2) x(2 5a)0所以，二次函數(shù) yax 2(4 a2) x(25a) 對(duì)于一切實(shí)數(shù) x，函數(shù)值大于或等于零，故a0即a0,所以 a1(4a2)24a(25a)(3a1)2300,當(dāng) y3y 2 時(shí)，有 ax 24ax(25a)x21，即 (1a) x24ax (5a 1)0 ，所以，二次函數(shù) y(1 a) x24ax(5a1) 對(duì)于一切實(shí)數(shù)x，函數(shù)值大于或等于零，故1a0,即a1,1(4a) 24(1

3、a)(5a1)0,(3a1)2所以 a0,3綜上， a1 ,b4a4 ,c25a1333所以，存在二次函數(shù) y31x24x1 ，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)， 對(duì)于 x 的同一個(gè)值，333都有 y1y3 y2 成立。 15 分11函數(shù) y x2(2k 1)xk 2 的圖象與 x 軸的兩個(gè)交點(diǎn)是否都在直線x1 的右側(cè)？若是，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不一定是，請(qǐng)求出兩個(gè)交點(diǎn)都在直線x 1的右側(cè)時(shí) k的取值范圍解：不一定，例如，當(dāng)k0時(shí)，函數(shù)的圖象與 x 軸的交點(diǎn)為（0， ）和0（ 1，0），不都在直線 x 1的右側(cè)5 分設(shè)函數(shù)與 x 軸的兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 x1 , x2 ，則 x1 x2(2k1), xx1 2k2 ，當(dāng)且

4、僅當(dāng)滿足如下條件 0,( x11)( x2 1)0,10 分( x1 1)( x2 1) 0時(shí)，拋物線與 x 軸的兩交點(diǎn)都在直線 x 1的右側(cè)(2 k1)24k 20,由2k 10,k 22k0,1k,4解之，得k115 分,2k2 或 k 0.所以當(dāng) k2 時(shí)，拋物線與 x 軸的兩交點(diǎn)在直線x1 的右側(cè)20 分2kx的坐標(biāo)為（ 1，4），點(diǎn) B 在第三象限內(nèi)，且 AOB的面積為 3（O為坐標(biāo)原點(diǎn)） .（1）求實(shí)數(shù) a，b，k 的值；（2）過(guò)拋物線上點(diǎn)A 作直線 AC x 軸，交拋物線于另一點(diǎn) C，求所有滿足 EOC AOB的點(diǎn) E 的坐標(biāo) .解：（ 1）因?yàn)辄c(diǎn)A（ ， ）在雙曲線yk上，（第

5、 12 題）14x所以k= .故雙曲線的函數(shù)表達(dá)式為44y.設(shè)點(diǎn) B（t ， 4 ）， tx0 ，AB所在直線的函數(shù)表達(dá)式為 ymx n ，則有t4m，n4 ， n4(t1)4mt，解得 m.tntt于是，直線 AB與 y 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為0,4(t1)，故tS AOB1（）3，整理得2t 23t20 ，4 tt11 t2解得 t2，或 t 1 （舍去）所以點(diǎn) B 的坐標(biāo)為（2 ，2 ）2因?yàn)辄c(diǎn) A，B 都在拋物線 yax2bx （ a0）上，所以 ab，解得 a， （ 10 分）4，14a2bb3.2（ ）如圖，因?yàn)?ACx 軸，所以C（4， ），24于是 CO42.又BO2 ，所以 CO2.

6、=2BO設(shè)拋物線 yax 2bx （a0）與 x 軸負(fù)半軸相交于點(diǎn)D， 則點(diǎn) D的坐標(biāo)為（3， ）0 .（第 12 題）因?yàn)?COD BOD 45 ，所以 COB= 90 .（ i ）將 BOA 繞點(diǎn) O順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90 ，得到 B OA1 . 這時(shí)，點(diǎn) B ( 2 ，2)是 CO的中點(diǎn)，點(diǎn) A1 的坐標(biāo)為（ 4， 1）.延長(zhǎng) OA1 到點(diǎn) E1 ，使得 OE1 = 2OA1 ，這時(shí)點(diǎn) E1 （8， 2 ）是符合條件的點(diǎn) . （ii ）作 BOA 關(guān)于 x 軸的對(duì)稱圖形 B OA2 ，得到點(diǎn) A2（1， 4 ）；延長(zhǎng) OA2到點(diǎn) E2 ，使得 OE2 2OA2 ，這時(shí)點(diǎn) E（ 2，8 ）是符合

7、條件的點(diǎn)所以，點(diǎn) E 的坐標(biāo)是（ 8，2 ），或（ 2，8） . （ 20 分）13點(diǎn) A 為 y 軸正半軸上一點(diǎn)，A，B 兩點(diǎn)關(guān)于 x 軸對(duì)稱，過(guò)點(diǎn)A 任作直線交拋物線 y2 x2 于 P ， Q 兩點(diǎn) .3（1）求證： ABP = ABQ ；（2）若點(diǎn) A 的坐標(biāo)為（0，1），且 PBQ =60o，試求所有滿足條件的直線PQ的函數(shù)解析式 .解：（1）如圖，分別過(guò)點(diǎn)P， Q 作 y 軸的垂線，垂足分別為C， D .設(shè)點(diǎn) A 的坐標(biāo)為（0，t ），則點(diǎn) B 的坐標(biāo)為（ 0，- t ）.設(shè)直線 PQ 的函數(shù)解析式為 y kx t , 并設(shè) P， Q 的坐標(biāo)分別為 （ xP， yP）,（ xQ，

8、yQ）. 由ykxt，得于是xP xQBC于是BDy2 x2，32 x2kx t33t ，即 t2 xP xQ .232222yPt3xPt3xPyQt22223xQt3xQ0 ，（第 13 題）2 x x2 x( xx)xP3P Q3PPQ.22xQxP xQxQ( xQxP )33又因?yàn)?PCxP，所以 BCPC .QDxQBDQD因?yàn)?BCP BDQ90 ，所以 BCP BDQ ，故 ABP= ABQ .（2）設(shè) PCa ， DQb ，不妨設(shè) a b 0，由（ 1）可知 ABP = ABQ30 ， BC =3a ， BD =3b ，所以AC =3a2 ， AD = 23b .因?yàn)?PC DQ ，所以 ACP ADQ .于是 PCAC ，即 a3a2 ，DQADb23b所以 a b3ab 由（ 1）中于是可求得xP xQ3 t ，即 ab3 ，所以 ab3 ， a b3 3 ，2222a 2b3.將 b3 代入 y2x2 ，得到點(diǎn) Q 的坐標(biāo)（3，1）.2322再將點(diǎn) Q 的坐標(biāo)代入 ykx1 ，求得 k3 .3所以直線 PQ 的函數(shù)解析式為y3x 1 .311、已知拋物線 C1： yx23