八個(gè)有趣模型搞定空間幾何體的外接球與內(nèi)切球?qū)W生版

1、八個(gè)有趣模型一一搞定空間幾何體的外接球與內(nèi)切球類型一、墻角模型（三條線兩個(gè)垂直，不找球心的位置即可求出球半徑，三棱錐與長(zhǎng)方體的外接球相同）方法：找三條兩兩垂直的線段，直接用公式（2 R）2 a2 b2 c2，即2R , a2 b2 c2，求出R例1 （ 1）已知各頂點(diǎn)都在同一球面上的正四棱柱的高為4，體積為16，則這個(gè)球的表面積是（）A. 16 B . 20 C . 24 D . 32（2） 若三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，且側(cè)棱長(zhǎng)均為,3，則其外接球的表面積是 （3）在正三棱錐 S ABC中，M、N分別是棱SC、BC的中點(diǎn)，且 AM MN,若側(cè)棱SA Z 3 ,則正三棱錐S ABC外接球的表面積

2、是。解：引理：正三棱錐的對(duì)棱互垂直 ，證明如下： 如圖（3） -1，取AB, BC的中點(diǎn)D,E，連接AE,CD , AE, CD交于H，連接SH，則H是底面正三角形 ABC的中心， SH 平面ABC ,AC BC , AD BD , CD AB, AB 平面 SCD,同理：BC SA, ACSB，即正三棱錐的對(duì)棱互垂直,本題圖如圖（3） -2 ,AMMN , SB/MN ,AMSB, ACSB , SB 平面 SAC ,(3)題-1SBSA, SB SC,SB SA, BC SA,SA平面SBC ,SA SC ,故三棱錐S ABC的三棱條側(cè)棱兩兩互垂直，(2R)2(2.3)2(2.3)2(2

3、.3)236 ,即 4R236 ,外接球的表面積是36(4)在四面體S ABC中，SA 平面ABC , BAC120 ,SA AC 2, AB1,則該四面體的外接(5)(6)球的表面積為（）如果三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，它們的面積分別為 已知某幾何體的三視圖如圖上右所示，三視圖是腰長(zhǎng)為 貝U該幾何體外接球的體積為 6、4、3,那么它的外接球的表面積是 1的等腰直角三角形和邊長(zhǎng)為 1的正方形,類型二、垂面模型（一條直線垂直于一個(gè)平面）1.題設(shè)：如圖5, PA平面ABC 解題步驟：第一步：將 ABC畫在小圓面上， A為小圓直徑的一個(gè)端點(diǎn)，作小圓的直 徑AD，連接PD，貝U PD必過球心O ;第二步

4、：O1為ABC的外心，所以O(shè)O1平面ABC，算出小圓Q的半徑O1Dr （三角形的外接圓直徑算法：利用正弦定理，得asin Abc12r), OO1 丄 PA ； sin B sin C2第三步：利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：2 2 2 1 2 2(2R) PA (2r) 2R PA (2r)； R2 r2 OO12R r2 OQ22.題設(shè)：如圖6, 7, 8，P的射影是 ABC的外心 三棱錐P ABC的三條側(cè)棱相等 三棱錐P ABC的底面 ABC在圓錐的底上，頂點(diǎn) P點(diǎn)也是圓錐的頂點(diǎn)解題步驟：第一步：確定球心 0的位置，取 ABC的外心01，則P,O,O1三點(diǎn)共線;第二步：先算出小圓 01

5、的半徑A01 r，再算出棱錐的高 P01 h (也是圓錐的高)；第三步：勾股定理：OA2 OiA2 O1O2R2 (h R)2 r2，解出R.例2 一個(gè)幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體外接球的表面積為C.旦D .以上都不對(duì)3類型三、切瓜模型(兩個(gè)平面互相垂直)1.題設(shè)：如圖 9-1，平面PAC 平面ABC，且AB BC (即AC為小 圓的直徑)第一步：A. 3B. 2mis第二步:2. 如圖3. 如圖 心易知球心 0必是 PAC的外心，即 PAC的外接圓是大圓，先求出小圓的直徑2R，求出 R。sin B sin CBC (即AC為小圓的直徑)BC (即AC為小圓的直徑)，且P的射影是 P

6、ABC的底面 ABC在圓錐的底上，頂點(diǎn)在 PAC中，可根據(jù)正弦定理 -sin A9-2，平面PAC 平面ABC，且AB9-3，平面PAC 平面ABC，且AB三棱錐P ABC的三條側(cè)棱相等三棱AC2r ；ABC的外P點(diǎn)也是圓方法二：小圓直徑參與構(gòu)造大圓。錐的頂點(diǎn) 解題步驟:第一步:確定球心 0的位置，取 ABC的外心01，則PQOj三點(diǎn)共線;第二步：先算出小圓 O1的半徑AO1 r，再算出棱錐的高 PO1 h (也是圓錐的高)；第三步：勾股定理：OA2 O1A2 O1O2R2 (h R)2 r2，解出R4.如圖9-3，平面PAC 平面ABC，且AB BC (即AC為小圓的直徑)，且PA AC，貝

7、U利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：(2R)2 PA2 (2r)22RPA2 (2r)2 ； R2 r2 OO12R r2 00：例3 (1)正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上， 若該棱錐的高為1，底面邊長(zhǎng)為2 3，則該球的表面積為 (2) 正四棱錐S ABCD的底面邊長(zhǎng)和各側(cè)棱長(zhǎng)都為一 2，各頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則此球的體積為(3) 在三棱錐P ABC中，PA PB PC . 3 ,側(cè)棱PA與底面ABC所成的角為60 ,則該三棱錐外接球的體積為()A.B.C. 43D.43（4）已知三棱錐S ABC的所有頂點(diǎn)都在球 0的求面上，ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，SC為球0的直徑,且SC2;則此棱錐的體

8、積為（）AB.乜C .遼6632類型四、漢堡模型（直棱柱的外接球、圓柱的外接球）題設(shè)：如圖10-1，圖10-2，圖10-3,直三棱柱內(nèi)接于球（同時(shí)直棱柱也內(nèi)接于圓柱，棱柱的上下底面可以 是任意三角形）第一步：確定球心 O的位置，01是 ABC的外心，則001 平面ABC ；11第二步：算出小圓 0“的半徑A01 r，001 -AA1 -h（ AA, h也是圓柱的高）；22第三步：勾股定理： 0A2 01A2 0Q2R2 （-）2 r2 R . r2 （h）2，解出 R2V 2例4（1）一個(gè)正六棱柱的底面上正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，9且該六棱柱的體積為 -，

9、底面周長(zhǎng)為3，則這個(gè)球的體積為8（2） 直三棱柱 ABC A1B1C1的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若 AB AC AA1 2 , BAC 120，則此 球的表面積等于。（3） 已知 EAB所在的平面與矩形 ABCD所在的平面互相垂直，EA EB 3, AD 2, AEB 60 ，則多面體E ABCD的外接球的表面積為。（4） 在直三棱柱 ABC A1B1C1中，AB 4, AC 6, A,AA1 4則直三棱柱 ABC A1B1C1的外接球3的表面積為。類型五、折疊模型題設(shè)：兩個(gè)全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折疊（如圖11）第一步：先畫出如圖所示的圖形，將BCD畫在小圓上，找出 BCD和 A

10、BD的外心H1和H2 ；第二步：過H1和H2分別作平面BCD和平面ABD的垂線，兩垂線的交點(diǎn)即為球心 0，連接0E,0C ；第三步：解 0EH1，算出0H1，在Rt 0CH1中，勾股定理： OH； CH12 0C2例5三棱錐P ABC中，平面PAC 平面ABC， PAC和厶ABC均為邊長(zhǎng)為2的正三角形，貝U三棱 錐P ABC外接球的半徑為.類型六、對(duì)棱相等模型（補(bǔ)形為長(zhǎng)方體）題設(shè)：三棱錐（即四面體）中，已知三組對(duì)棱分別相等， 求外接球半徑（AB CD , AD BC , AC BD ） 第一步：畫出一個(gè)長(zhǎng)方體，標(biāo)出三組互為異面直線的對(duì)棱； 第二步：設(shè)出長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為 a,b,c, AD

11、BC x, AB CD y, AC BD z，列方程組,2 ab22 x22 2b22 c2y(2R)22 ab22 xy z22 c2 a2 z補(bǔ)充:VaBCDabc -abc4 -abc63 j 222第三步：根據(jù)墻角模型，2R . a2 b2 c2 . x一y一zV 22 2 2 2 2 2_2 x y zx y zR, R 、 ，求出 R,8 8例如，正四面體的外接球半徑可用此法。例6（ 1）棱長(zhǎng)為2的正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，若過該球球心的一個(gè)截面如圖，則圖中三角形（正四面體的截面）的面積是（2）一個(gè)正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為1的球面上，其中底面的三個(gè)頂點(diǎn)在該球的一個(gè)大圓

12、上，則該正三棱錐的體積是（）A. 3-3B . C . -2 D .圖12（3）在三棱錐ABCD中，若ABCD2, ADBC3, ACBD4,則三棱錐A BCD外接球的AB CD 5, AC BD 6,AD BC 7,則該三棱錐外接球的表面積類型七、兩直角三角形拼接在一起（斜邊相同,也可看作矩形沿對(duì)角線折起所得三棱錐）模型題設(shè)：APBACB90 ,求三棱錐PABC外接球半徑（分析：取公共的斜邊的中點(diǎn)O,連接OP,OC，則 OA OBOC1OPAB ,2O為三棱錐P ABC外接球球心，然后在OCP中求出半徑）例7 (1)在矩形ABCD中，AB 4, BC3，沿AC將矩形ABCD折成一個(gè)直二一面角

13、 BAC D ,. 2，則該正面體外接球的體積為表面積為。（4）在三棱錐A BCD中,為.（5）正四面體的各條棱長(zhǎng)都為則四面體ABCD的外接球的體積為（125)125A.邏12（2）在矩形ABCD中， 的外接球的表面積為_ 類型八、錐體的內(nèi)切球問題1題設(shè)：如圖14，三棱錐P ABC上正三棱錐，求其外接球的半徑。9AB 2, BC6沿BD將矩形ABCD折疊,第一步:先現(xiàn)出內(nèi)切球的截面圖，E,H分別是兩個(gè)三角形的外心;第二步:1求 DH -BD , PO PH r, PD是側(cè)面3ABP的高;第三步:由 POE相似于 PDH，建立等式： 坐DH PD凹，解出r1253連接AC ,所得三棱錐 A BC

14、DC圖1443412第一步:先現(xiàn)出內(nèi)切球的截面圖，P,O,H三點(diǎn)共線；第二步:求1 FHBC2 ，POPH r , PF是側(cè)面PCD的高;第三步:由POG相似于PFH，建立等式：OGHFPO，解出PF2.題設(shè)：如圖15，四棱錐P ABC上正四棱錐，求其外接球的半徑3題設(shè)：三棱錐 P ABC是任意三棱錐，求其的內(nèi)切球半徑方法：等體積法，即內(nèi)切球球心與四個(gè)面構(gòu)成的四個(gè)三棱錐的體積之和相等 第一步：先畫出四個(gè)表面的面積和整個(gè)錐體體積；pD第一步：設(shè)內(nèi)切球的半徑為r，建立等式：VpabcVoabcVopabVopacVopbc第三步：解出r3Vp ABCSO ABCSO PABSO PACSoPBC習(xí)題：1 若三棱錐S ABC的三條側(cè)棱兩兩垂直，且SA 2，SB SC 4，則該三棱錐的外接球半徑為 （）A. 3B. 6C. 36D. 92. 三棱錐S ABC中，側(cè)棱SA 平面ABC，底面ABC是邊長(zhǎng)為3的正三角形，SA 2 3，則該三 棱錐的外接球體積等于.3. 正三棱錐S ABC中，底面ABC是邊長(zhǎng)