(2021年整理)圓錐曲線概念歸納及題型總結(jié)

1、圓錐曲線概念歸納及題型總結(jié)圓錐曲線概念歸納及題型總結(jié) 編輯整理：尊敬的讀者朋友們：這里是精品文檔編輯中心，本文檔內(nèi)容是由我和我的同事精心編輯整理后發(fā)布的，發(fā)布之前我們對(duì)文中內(nèi)容進(jìn)行仔細(xì)校對(duì)，但是難免會(huì)有疏漏的地方，但是任然希望（圓錐曲線概念歸納及題型總結(jié)）的內(nèi)容能夠給您的工作和學(xué)習(xí)帶來便利。同時(shí)也真誠(chéng)的希望收到您的建議和反饋，這將是我們進(jìn)步的源泉，前進(jìn)的動(dòng)力。本文可編輯可修改，如果覺得對(duì)您有幫助請(qǐng)收藏以便隨時(shí)查閱，最后祝您生活愉快 業(yè)績(jī)進(jìn)步，以下為圓錐曲線概念歸納及題型總結(jié)的全部?jī)?nèi)容。59圓錐曲線的方程與性質(zhì)1橢圓（1）橢圓概念平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)、的距離的和等于常數(shù)2（大于）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。

2、這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離2c叫橢圓的焦距。若為橢圓上任意一點(diǎn)，則有。橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:（）（焦點(diǎn)在x軸上)或（）(焦點(diǎn)在y軸上）。注：以上方程中的大小，其中；在和兩個(gè)方程中都有的條件,要分清焦點(diǎn)的位置，只要看和的分母的大小。例如橢圓(，）當(dāng)時(shí)表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓；當(dāng)時(shí)表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓。(2)橢圓的性質(zhì)范圍:由標(biāo)準(zhǔn)方程知，說明橢圓位于直線,所圍成的矩形里；對(duì)稱性：在曲線方程里,若以代替方程不變，所以若點(diǎn)在曲線上時(shí)，點(diǎn)也在曲線上，所以曲線關(guān)于軸對(duì)稱，同理，以代替方程不變，則曲線關(guān)于軸對(duì)稱。若同時(shí)以代替，代替方程也不變，則曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。所以，橢圓關(guān)于軸、軸和原點(diǎn)對(duì)稱。這時(shí),坐標(biāo)

3、軸是橢圓的對(duì)稱軸，原點(diǎn)是對(duì)稱中心，橢圓的對(duì)稱中心叫橢圓的中心；頂點(diǎn)：確定曲線在坐標(biāo)系中的位置，常需要求出曲線與軸、軸的交點(diǎn)坐標(biāo)。在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中,令，得，則，是橢圓與軸的兩個(gè)交點(diǎn)。同理令得，即，是橢圓與軸的兩個(gè)交點(diǎn)。所以,橢圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)有四個(gè)，這四個(gè)交點(diǎn)叫做橢圓的頂點(diǎn)。同時(shí)，線段、分別叫做橢圓的長(zhǎng)軸和短軸,它們的長(zhǎng)分別為和，和分別叫做橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng)。由橢圓的對(duì)稱性知：橢圓的短軸端點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為；在中,，,，且，即;離心率：橢圓的焦距與長(zhǎng)軸的比叫橢圓的離心率。,，且越接近,就越接近，從而就越小，對(duì)應(yīng)的橢圓越扁；反之,越接近于，就越接近于,從而越接近于，這時(shí)橢圓越接近于圓.當(dāng)且僅

4、當(dāng)時(shí)，兩焦點(diǎn)重合，圖形變?yōu)閳A，方程為.2雙曲線（1）雙曲線的概念平面上與兩點(diǎn)距離的差的絕對(duì)值為非零常數(shù)的動(dòng)點(diǎn)軌跡是雙曲線(）.注意:式中是差的絕對(duì)值，在條件下；時(shí)為雙曲線的一支;時(shí)為雙曲線的另一支（含的一支）；當(dāng)時(shí)，表示兩條射線；當(dāng)時(shí)，不表示任何圖形；兩定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，叫做焦距。橢圓和雙曲線比較：橢 圓雙 曲 線定義方程焦點(diǎn)注意：如何用方程確定焦點(diǎn)的位置！（2）雙曲線的性質(zhì)范圍：從標(biāo)準(zhǔn)方程,看出曲線在坐標(biāo)系中的范圍：雙曲線在兩條直線的外側(cè)。即，即雙曲線在兩條直線的外側(cè)。對(duì)稱性:雙曲線關(guān)于每個(gè)坐標(biāo)軸和原點(diǎn)都是對(duì)稱的，這時(shí)，坐標(biāo)軸是雙曲線的對(duì)稱軸，原點(diǎn)是雙曲線的對(duì)稱中心,雙曲線的對(duì)稱中心叫做

5、雙曲線的中心。頂點(diǎn)：雙曲線和對(duì)稱軸的交點(diǎn)叫做雙曲線的頂點(diǎn)。在雙曲線的方程里,對(duì)稱軸是軸，所以令得，因此雙曲線和軸有兩個(gè)交點(diǎn),他們是雙曲線的頂點(diǎn)。令，沒有實(shí)根，因此雙曲線和y軸沒有交點(diǎn)。1）注意：雙曲線的頂點(diǎn)只有兩個(gè),這是與橢圓不同的（橢圓有四個(gè)頂點(diǎn))，雙曲線的頂點(diǎn)分別是實(shí)軸的兩個(gè)端點(diǎn)。2）實(shí)軸:線段叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長(zhǎng)等于叫做雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)。虛軸:線段叫做雙曲線的虛軸，它的長(zhǎng)等于叫做雙曲線的虛半軸長(zhǎng)。漸近線：注意到開課之初所畫的矩形，矩形確定了兩條對(duì)角線,這兩條直線即稱為雙曲線的漸近線。從圖上看，雙曲線的各支向外延伸時(shí),與這兩條直線逐漸接近。等軸雙曲線:1）定義：實(shí)軸和虛軸等長(zhǎng)的雙曲線叫

6、做等軸雙曲線。定義式:;2)等軸雙曲線的性質(zhì)：（1）漸近線方程為： ；（2)漸近線互相垂直.注意以上幾個(gè)性質(zhì)與定義式彼此等價(jià)。亦即若題目中出現(xiàn)上述其一，即可推知雙曲線為等軸雙曲線，同時(shí)其他幾個(gè)亦成立。3）注意到等軸雙曲線的特征,則等軸雙曲線可以設(shè)為： ，當(dāng)時(shí)交點(diǎn)在軸，當(dāng)時(shí)焦點(diǎn)在軸上.注意與的區(qū)別：三個(gè)量中不同(互換）相同，還有焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸也變了。3拋物線（1)拋物線的概念平面內(nèi)與一定點(diǎn)f和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線(定點(diǎn)f不在定直線l上）.定點(diǎn)f叫做拋物線的焦點(diǎn)，定直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線。方程叫做拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。注意：它表示的拋物線的焦點(diǎn)在x軸的正半軸上,焦點(diǎn)坐標(biāo)是f(,

7、0)，它的準(zhǔn)線方程是 ；(2）拋物線的性質(zhì)一條拋物線，由于它在坐標(biāo)系的位置不同，方程也不同,有四種不同的情況,所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程還有其他幾種形式：，。這四種拋物線的圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點(diǎn)坐標(biāo)以及準(zhǔn)線方程如下表：標(biāo)準(zhǔn)方程圖形焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程范圍對(duì)稱性軸軸軸軸頂點(diǎn)離心率說明：（1）通徑：過拋物線的焦點(diǎn)且垂直于對(duì)稱軸的弦稱為通徑；（2）拋物線的幾何性質(zhì)的特點(diǎn):有一個(gè)頂點(diǎn),一個(gè)焦點(diǎn)，一條準(zhǔn)線，一條對(duì)稱軸,無對(duì)稱中心，沒有漸近線;（3）注意強(qiáng)調(diào)的幾何意義：是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離。直線和圓錐曲線經(jīng)常考查的一些題型直線與橢圓、雙曲線、拋物線中每一個(gè)曲線的位置關(guān)系都有相交、相切、相離三種情況，從幾何角度可分為三類

8、：無公共點(diǎn)，僅有一個(gè)公共點(diǎn)及有兩個(gè)相異公共點(diǎn)對(duì)于拋物線來說,平行于對(duì)稱軸的直線與拋物線相交于一點(diǎn),但并不是相切；對(duì)于雙曲線來說，平行于漸近線的直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，但并不相切直線和橢圓、雙曲線、拋物線中每一個(gè)曲線的公共點(diǎn)問題，可以轉(zhuǎn)化為它們的方程所組成的方程組求解的問題,從而用代數(shù)方法判斷直線與曲線的位置關(guān)系。解決直線和圓錐曲線的位置關(guān)系的解題步驟是:（1)直線的斜率不存在，直線的斜率存在， （2）聯(lián)立直線和曲線的方程組；（3)討論類一元二次方程 （4）一元二次方程的判別式（5）韋達(dá)定理，同類坐標(biāo)變換 （6）同點(diǎn)縱橫坐標(biāo)變換（7)x,y，k(斜率）的取值范圍（8）目標(biāo)：弦長(zhǎng)，中點(diǎn)，垂直,角

9、度，向量,面積，范圍等等運(yùn)用的知識(shí):1、中點(diǎn)坐標(biāo)公式：，其中是點(diǎn)的中點(diǎn)坐標(biāo)。2、弦長(zhǎng)公式:若點(diǎn)在直線上，則,這是同點(diǎn)縱橫坐標(biāo)變換，是兩大坐標(biāo)變換技巧之一，或者。3、兩條直線垂直：則兩條直線垂直，則直線所在的向量4、韋達(dá)定理:若一元二次方程有兩個(gè)不同的根,則。常見的一些題型:題型一：數(shù)形結(jié)合確定直線和圓錐曲線的位置關(guān)系題型二:弦的垂直平分線問題題型三:動(dòng)弦過定點(diǎn)的問題題型四:過已知曲線上定點(diǎn)的弦的問題題型五：共線向量問題題型六：面積問題題型七：弦或弦長(zhǎng)為定值問題題型八：角度問題問題九:四點(diǎn)共線問題問題十：范圍問題（本質(zhì)是函數(shù)問題）問題十一、存在性問題：(存在點(diǎn),存在直線y=kx+m，存在實(shí)數(shù)，存

10、在圖形：三角形（等比、等腰、直角），四邊形(矩形、菱形、正方形），圓）題型一：數(shù)形結(jié)合確定直線和圓錐曲線的位置關(guān)系例題1、已知直線與橢圓始終有交點(diǎn)，求的取值范圍思路點(diǎn)撥：直線方程的特點(diǎn)是過定點(diǎn)(0，1),橢圓的特點(diǎn)是過定點(diǎn)(-2，0）和（2，0)，和動(dòng)點(diǎn).解：根據(jù)直線的方程可知，直線恒過定點(diǎn)（0，1），橢圓過動(dòng)點(diǎn)，如果直線和橢圓始終有交點(diǎn)，則，即。規(guī)律提示：通過直線的代數(shù)形式,可以看出直線的特點(diǎn)： 證明直線過定點(diǎn)，也是將滿足條件的直線整理成以上三種形式之一，再得出結(jié)論.練習(xí)：1、過點(diǎn)p（3，2) 和拋物線 只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有（ ）條。a4b3c2d1分析：作出拋物線，判斷點(diǎn)p（3，2）相對(duì)

11、拋物線的位置。解:拋物線 如圖，點(diǎn)p（3,2）在拋物線的內(nèi)部，根據(jù)過拋物線內(nèi)一點(diǎn)和拋物線的對(duì)稱軸平行或重合的直線和拋物線只有一個(gè)交點(diǎn),可知過點(diǎn)p(3，2) 和拋物線 只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有一條。故選擇d規(guī)律提示：含焦點(diǎn)的區(qū)域?yàn)閳A錐曲線的內(nèi)部。(這里可以用公司的設(shè)備畫圖）一、過一定點(diǎn)p和拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線的條數(shù)情況：(1）若定點(diǎn)p在拋物線外，則過點(diǎn)p和拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有3條：兩條切線，一條和對(duì)稱軸平行或重合的直線；（2）若定點(diǎn)p在拋物線上，則過點(diǎn)p和拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有2條:一條切線，一條和對(duì)稱軸平行或重合的直線；（3）若定點(diǎn)p在拋物線內(nèi)，則過點(diǎn)p和拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)

12、的直線有1條：和拋物線的對(duì)稱軸平行或重合的直線和拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)。二、過定點(diǎn)p和雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線的條數(shù)情況：（1）若定點(diǎn)p在雙曲線內(nèi),則過點(diǎn)p和雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有2條：和雙曲線的漸近線平行的直線和雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)；（2）若定點(diǎn)p在雙曲線上，則過點(diǎn)p和雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有3條:一條切線，2條和漸近線平行的直線；（3）若定點(diǎn)p在雙曲線外且不在漸近線上，則過點(diǎn)p和雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有4條:2條切線和2條和漸近線平行的直線；（4）若定點(diǎn)p在雙曲線外且在一條漸近線上，而不在另一條漸近線上，則過點(diǎn)p和雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有2條：一條切線,一條和另一條漸近線平

13、行的直線;（5）若定點(diǎn)p在兩條漸近線的交點(diǎn)上，即對(duì)稱中心，過點(diǎn)p和雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線不存在。題型二:弦的垂直平分線問題弦的垂直平分線問題和對(duì)稱問題是一種解題思維，首先弄清楚哪個(gè)是弦，哪個(gè)是對(duì)稱軸,用到的知識(shí)是：垂直（兩直線的斜率之積為-1）和平分（中點(diǎn)坐標(biāo)公式)。例題2、過點(diǎn)t(1，0）作直線與曲線n ：交于a、b兩點(diǎn)，在x軸上是否存在一點(diǎn)e（,0),使得是等邊三角形,若存在，求出;若不存在，請(qǐng)說明理由.分析:過點(diǎn)t(-1,0）的直線和曲線n ：相交a、b兩點(diǎn)，則直線的斜率存在且不等于0，可以設(shè)直線的方程，聯(lián)立方程組，消元,分析類一元二次方程,看判別式，運(yùn)用韋達(dá)定理，得弦的中點(diǎn)坐標(biāo)，再

14、由垂直和中點(diǎn)，寫出垂直平分線的方程,得出e點(diǎn)坐標(biāo)，最后由正三角形的性質(zhì)：中線長(zhǎng)是邊長(zhǎng)的倍。運(yùn)用弦長(zhǎng)公式求弦長(zhǎng)。解：依題意知，直線的斜率存在,且不等于0。設(shè)直線，,，。由消y整理，得 由直線和拋物線交于兩點(diǎn)，得即 由韋達(dá)定理，得：。則線段ab的中點(diǎn)為。線段的垂直平分線方程為： ， 令y=0,得,則為正三角形，到直線ab的距離d為。 解得滿足式 此時(shí)。思維規(guī)律：直線過定點(diǎn)設(shè)直線的斜率k，利用韋達(dá)定理法,將弦的中點(diǎn)用k表示出來，再利用垂直關(guān)系將弦的垂直平分線方程寫出來,求出了橫截距的坐標(biāo)；再利用正三角形的性質(zhì)：高是邊長(zhǎng)的倍，將k確定，進(jìn)而求出的坐標(biāo)。例題3、已知橢圓的左焦點(diǎn)為f，o為坐標(biāo)原點(diǎn)。 （)

15、求過點(diǎn)o、f，并且與相切的圓的方程；（）設(shè)過點(diǎn)f且不與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓于a、b兩點(diǎn)，線段ab的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)g，求點(diǎn)g橫坐標(biāo)的取值范圍.分析：第一問求圓的方程，運(yùn)用幾何法：圓心在弦的垂直平分線上,圓心到切線的距離等于圓心到定點(diǎn)的距離；第二問，過定點(diǎn)的弦的垂直平分線如果和x軸相交,則弦的斜率存在，且不等于0,設(shè)出弦ab所在的直線的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理求出弦中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由弦ab的方程求出中點(diǎn)的總坐標(biāo)，再有弦ab的斜率，得到線段ab的垂直平分線的方程，就可以得到點(diǎn)g的坐標(biāo)。 解：(i) a2=2,b2=1，c=1,f(-1，0），l:x=2. 圓過點(diǎn)o、f,圓心m在直線x=-設(shè)m（），

16、則圓半徑：r=|(）(-2）=由om=r，得,解得t=，所求圓的方程為(x+）2+(y)2=。(ii）由題意可知,直線ab的斜率存在，且不等于0,設(shè)直線ab的方程為y=k(x+1)（k0）,代入+y2=1，整理得（1+2k2)x2+4k2x+2k22=0直線ab過橢圓的左焦點(diǎn)f， 方程一定有兩個(gè)不等實(shí)根,設(shè)a(x1，y1),b（x2，y2),ab中點(diǎn)n(x0，y0)，則x1+x1=-ab垂直平分線ng的方程為令y=0,得點(diǎn)g橫坐標(biāo)的取值范圍為（）.技巧提示:直線過定點(diǎn)設(shè)直線的斜率k，利用韋達(dá)定理，將弦的中點(diǎn)用k表示出來，韋達(dá)定理就是同類坐標(biāo)變換的技巧,是解析幾何中解決直線和圓錐曲線問題的兩大技

17、巧之第一個(gè)技巧。再利用垂直關(guān)系將弦ab的垂直平分線方程寫出來,就求出了橫截距的坐標(biāo)（關(guān)于k的函數(shù)）.直線和圓錐曲線中參數(shù)的范圍問題,就是函數(shù)的值域問題。練習(xí)1:已知橢圓過點(diǎn)，且離心率。 (）求橢圓方程; （）若直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、,且線段的垂直平分線過定點(diǎn)，求的取值范圍。分析：第一問中已知橢圓的離心率，可以得到的關(guān)系式，再根據(jù)“過點(diǎn)”得到的第2個(gè)關(guān)系式，解方程組，就可以解出的值，確定橢圓方程。第二問，設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo)，聯(lián)立方程組,轉(zhuǎn)化為一元二次方程，通過判別式得出的不等式，再根據(jù)韋達(dá)定理，得出弦mn的中點(diǎn)的橫坐標(biāo),利用弦的直線方程，得到中點(diǎn)的縱坐標(biāo),由中點(diǎn)坐標(biāo)和定點(diǎn)，得垂直平分線的斜率，有垂

18、直平分線的斜率和弦的斜率之積為-1，可得的等式,用k表示m再代入不等式，就可以求出k的取值范圍。解：(）離心率，,即（1)；又橢圓過點(diǎn)，則,（1）式代入上式，解得，,橢圓方程為。（)設(shè)，弦mn的中點(diǎn)a由得：，直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，,即（1）由韋達(dá)定理得：，則,直線ag的斜率為：,由直線ag和直線mn垂直可得:，即，代入（1）式，可得，即，則。老師支招：如果只說一條直線和橢圓相交,沒有說直線過點(diǎn)或沒給出直線的斜率，就直接設(shè)直線的方程為:，再和曲線聯(lián)立，轉(zhuǎn)化成一元二次方程,就能找到解決問題的門路。本題解決過程中運(yùn)用了兩大解題技巧:與韋達(dá)定理有關(guān)的同類坐標(biāo)變換技巧，與點(diǎn)的縱、橫坐標(biāo)有關(guān)的同點(diǎn)縱橫

19、坐標(biāo)變換技巧。解決直線和圓錐曲線的問題的關(guān)鍵就是充分、靈活的運(yùn)用這兩大解題技巧.練習(xí)2、設(shè)、分別是橢圓的左右焦點(diǎn)是否存在過點(diǎn)的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)c、d,使得？若存在，求直線l的方程；若不存在,請(qǐng)說明理由分析：由得,點(diǎn)c、d關(guān)于過的直線對(duì)稱，由直線l過的定點(diǎn)a(5，0）不在的內(nèi)部，可以設(shè)直線l的方程為:，聯(lián)立方程組，得一元二次方程,根據(jù)判別式,得出斜率k的取值范圍，由韋達(dá)定理得弦cd的中點(diǎn)m的坐標(biāo)，由點(diǎn)m和點(diǎn)f1的坐標(biāo)，得斜率為，解出k值,看是否在判別式的取值范圍內(nèi).解:假設(shè)存在直線滿足題意,由題意知,過a的直線的斜率存在，且不等于.設(shè)直線l的方程為：，c、d,cd的中點(diǎn)m。由得:，又直

20、線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)c、d，則，即。由韋達(dá)定理得：,則，m（，)。又點(diǎn)，則直線的斜率為,根據(jù)得：，即，此方程無解,即k不存在，也就是不存在滿足條件的直線。老師提醒:通過以上2個(gè)例題和2個(gè)練習(xí)，我們可以看出，解決垂直平分線的問題，即對(duì)稱問題分兩步:第一步,有弦所在的直線和曲線聯(lián)立，轉(zhuǎn)化為一元二次方程（或類一元二次方程），通過判別式得不等式，由韋達(dá)定理得出弦中點(diǎn)的坐標(biāo)；第二步是利用垂直關(guān)系,得出斜率之積為-1，或者是利用中點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸直線的斜率，寫出垂直平分線的方程，就可以解決問題。需要注意的一點(diǎn)是，求出的參數(shù)一定要滿足判別式。題型三:動(dòng)弦過定點(diǎn)的問題圓錐曲線自身有一些規(guī)律性的東西，其中一些

21、性質(zhì)是和直線與圓錐曲線相交的弦有關(guān)系，對(duì)這樣的一些性質(zhì),我們必須了如指掌，并且必須會(huì)證明。隨著幾何畫板的開發(fā)，實(shí)現(xiàn)了機(jī)器證明幾何問題，好多以前我們不知道的、了解不深入的幾何或代數(shù)性質(zhì)，都如雨后春筍般的出來了，其中大部分都有可以遵循的規(guī)律，高考出題人，也得設(shè)計(jì)好思維,讓我們?cè)谒麄冊(cè)O(shè)好的路上“走”出來。下面我們就通過幾個(gè)考題領(lǐng)略一下其風(fēng)采。例題4、已知橢圓c:的離心率為,且在x軸上的頂點(diǎn)分別為a1(2，0）,a2(2，0）。(i)求橢圓的方程； （ii）若直線與x軸交于點(diǎn)t，點(diǎn)p為直線上異于點(diǎn)t的任一點(diǎn)，直線pa1，pa2分別與橢圓交于m、n點(diǎn)，試問直線mn是否通過橢圓的焦點(diǎn)？并證明你的結(jié)論。分析

22、：第一問是待定系數(shù)法求軌跡方程;第二問中,點(diǎn)a1、a2的坐標(biāo)都知道，可以設(shè)直線pa1、pa2的方程，直線pa1和橢圓交點(diǎn)是a1(2,0）和m，通過韋達(dá)定理，可以求出點(diǎn)m的坐標(biāo)，同理可以求出點(diǎn)n的坐標(biāo).動(dòng)點(diǎn)p在直線上，相當(dāng)于知道了點(diǎn)p的橫坐標(biāo)了，由直線pa1、pa2的方程可以求出p點(diǎn)的縱坐標(biāo)，得到兩條直線的斜率的關(guān)系，通過所求的m、n點(diǎn)的坐標(biāo)，求出直線mn的方程，將交點(diǎn)的坐標(biāo)代入，如果解出的t2，就可以了，否則就不存在。解：(i)由已知橢圓c的離心率，,則得。從而橢圓的方程為（ii）設(shè)，直線的斜率為，則直線的方程為,由消y整理得是方程的兩個(gè)根， 則,，即點(diǎn)m的坐標(biāo)為，同理，設(shè)直線a2n的斜率為k

23、2，則得點(diǎn)n的坐標(biāo)為 ，直線mn的方程為：，令y=0，得，將點(diǎn)m、n的坐標(biāo)代入，化簡(jiǎn)后得：又，橢圓的焦點(diǎn)為 ，即 故當(dāng)時(shí)，mn過橢圓的焦點(diǎn).方法總結(jié)：本題由點(diǎn)a1（2,0)的橫坐標(biāo)2是方程的一個(gè)根，結(jié)合韋達(dá)定理運(yùn)用同類坐標(biāo)變換,得到點(diǎn)m的橫坐標(biāo):，再利用直線a1m的方程通過同點(diǎn)的坐標(biāo)變換，得點(diǎn)m的縱坐標(biāo)：;其實(shí)由消y整理得，得到，即,很快。不過如果看到：將中的換下來，前的系數(shù)2用2換下來,就得點(diǎn)n的坐標(biāo)，如果在解題時(shí),能看到這一點(diǎn)，計(jì)算量將減少,這樣真容易出錯(cuò)，但這樣減少計(jì)算量。 本題的關(guān)鍵是看到點(diǎn)p的雙重身份:點(diǎn)p即在直線上也在直線a2n上，進(jìn)而得到，由直線mn的方程得直線與x軸的交點(diǎn)，即橫

24、截距，將點(diǎn)m、n的坐標(biāo)代入,化簡(jiǎn)易得，由解出,到此不要忘了考察是否滿足。另外：也可以直接設(shè)p（t，y0)，通過a1,a2的坐標(biāo)寫出直線pa1，pa2的直線方程,再分別和橢圓聯(lián)立,通過韋達(dá)定理求出m、n的坐標(biāo),再寫出直線mn的方程。再過點(diǎn)f，求出t值.例題5、（07山東理)已知橢圓c的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓c上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為3；最小值為1; （）求橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程;（）若直線與橢圓c相交于a，b兩點(diǎn)（a，b不是左右頂點(diǎn)），且以ab為直徑的圓過橢圓c的右頂點(diǎn)。求證:直線過定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)。分析：第一問，是待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；第二問，直線與橢圓c相交于a，b兩點(diǎn)

25、，并且橢圓的右頂點(diǎn)和a、b的連線互相垂直,證明直線過定點(diǎn),就是通過垂直建立k、m的一次函數(shù)關(guān)系。解（i）由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為， (ii）設(shè),由得，(注意：這一步是同類坐標(biāo)變換）（注意：這一步叫同點(diǎn)縱、橫坐標(biāo)間的變換）以ab為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)且,，,，解得，且滿足當(dāng)時(shí),，直線過定點(diǎn)與已知矛盾；當(dāng)時(shí),，直線過定點(diǎn), 綜上可知，直線過定點(diǎn),定點(diǎn)坐標(biāo)為名師經(jīng)驗(yàn)：在直線和圓錐曲線的位置關(guān)系題中，以弦為直徑的圓經(jīng)過某個(gè)點(diǎn)，就是“弦對(duì)定點(diǎn)張直角,也就是定點(diǎn)和弦的兩端點(diǎn)連線互相垂直，得斜率之積為，建立等式。直線不過定點(diǎn),也不知道斜率,設(shè)出，是經(jīng)常用的一招，在第二講中就遇到了這樣設(shè)的直線。練習(xí):直線和

26、拋物線相交于a、b，以ab為直徑的圓過拋物線的頂點(diǎn)，證明：直線過定點(diǎn)，并求定點(diǎn)的坐標(biāo)。分析：以ab為直徑的圓過拋物線的頂點(diǎn)o,則oaob，若設(shè)，則，再通過，將條件轉(zhuǎn)化為，再通過直線和拋物線聯(lián)立,計(jì)算判別式后,可以得到，解出k、m的等式,就可以了。解:設(shè)，由得，,(這里消x得到的)則（1） 由韋達(dá)定理，得：,則，以ab為直徑的圓過拋物線的頂點(diǎn)o，則oaob，即，可得,則，即，又,則，且使(1）成立,此時(shí)，直線恒過點(diǎn)。名師指點(diǎn)：本題解決過程中,有一個(gè)消元技巧,就是直線和拋物線聯(lián)立時(shí)，要消去一次項(xiàng),計(jì)算量小一些，也運(yùn)用了同類坐標(biāo)變換韋達(dá)定理，同點(diǎn)縱、橫坐標(biāo)變換-直線方程的縱坐標(biāo)表示橫坐標(biāo).其實(shí)解析幾

27、何就這么點(diǎn)知識(shí),你發(fā)現(xiàn)了嗎？題型四：過已知曲線上定點(diǎn)的弦的問題若直線過的定點(diǎn)在已知曲線上，則過定點(diǎn)的直線的方程和曲線聯(lián)立，轉(zhuǎn)化為一元二次方程(或類一元二次方程），考察判斷式后,韋達(dá)定理結(jié)合定點(diǎn)的坐標(biāo)就可以求出另一端點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而解決問題.下面我們就通過例題領(lǐng)略一下思維過程。例題6、已知點(diǎn)a、b、c是橢圓e： 上的三點(diǎn)，其中點(diǎn)a是橢圓的右頂點(diǎn)，直線bc過橢圓的中心o，且，如圖。(i)求點(diǎn)c的坐標(biāo)及橢圓e的方程；(ii)若橢圓e上存在兩點(diǎn)p、q，使得直線pc與直線qc關(guān)于直線對(duì)稱,求直線pq的斜率.解：(i) ，且bc過橢圓的中心o ， 又 點(diǎn)c的坐標(biāo)為。a是橢圓的右頂點(diǎn)， ，則橢圓方程為：將點(diǎn)c

28、代入方程,得，橢圓e的方程為(ii） 直線pc與直線qc關(guān)于直線對(duì)稱，設(shè)直線pc的斜率為，則直線qc的斜率為，從而直線pc的方程為：,即，由消y，整理得:是方程的一個(gè)根， 即 同理可得： 則直線pq的斜率為定值。方法總結(jié)：本題第二問中，由“直線pc與直線qc關(guān)于直線對(duì)稱”得兩直線的斜率互為相反數(shù)，設(shè)直線pc的斜率為k，就得直線qc的斜率為-k。利用是方程的根，易得點(diǎn)p的橫坐標(biāo)：，再將其中的k用k換下來，就得到了點(diǎn)q的橫坐標(biāo):,這樣計(jì)算量就減少了許多,在考場(chǎng)上就節(jié)省了大量的時(shí)間。接下來，如果分別利用直線pc、qc的方程通過坐標(biāo)變換法將點(diǎn)p、q的縱坐標(biāo)也求出來，計(jì)算量會(huì)增加許多。直接計(jì)算、，就降低

29、了計(jì)算量?？傊?本題有兩處是需要同學(xué)們好好想一想，如何解決此類問題，一是過曲線上的點(diǎn)的直線和曲線相交，點(diǎn)的坐標(biāo)是方程組消元后得到的方程的根；二是利用直線的斜率互為相反數(shù)，減少計(jì)算量，達(dá)到節(jié)省時(shí)間的目的。練習(xí)2、：（2009遼寧卷文、理）已知,橢圓c以過點(diǎn)a（1，），兩個(gè)焦點(diǎn)為（1，0）（1,0）。（1） 求橢圓c的方程；（2） e，f是橢圓c上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果直線ae的斜率與af的斜率互為相反數(shù)，證明直線ef的斜率為定值，并求出這個(gè)定值。 分析：第一問中,知道焦點(diǎn),則 ，再根據(jù)過點(diǎn)a,通過解方程組，就可以求出 ,求出方程。第二問中,設(shè)出直線ae的斜率k,寫出直線的方程，聯(lián)立方程組，轉(zhuǎn)化成一元二

30、次方程,由韋達(dá)定理和點(diǎn)a的坐標(biāo)，可以求出點(diǎn)e的坐標(biāo),將點(diǎn)e中的k,用-k換下來，就可以得到點(diǎn)f的坐標(biāo),通過計(jì)算yeyf，xe-xf，就可以求出直線ef的斜率了解：（）由題意,c=1,可設(shè)橢圓方程為 ，將點(diǎn)a的坐標(biāo)代入方程: ，解得 ， （舍去）所以橢圓方程為 . (）設(shè)直線ae方程為:，代入得 設(shè),因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上,所以 8分又直線af的斜率與ae的斜率互為相反數(shù),在上式中以-k代k,可得 所以直線ef的斜率即直線ef的斜率為定值，其值為。 12分老師總結(jié)：此類題的關(guān)鍵就是定點(diǎn)在曲線上，定點(diǎn)的坐標(biāo)是方程的根，通過韋達(dá)定理，將動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)求出，在根據(jù)斜率互為相反數(shù),就可以直接求出第二動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，最后

31、由斜率公式，可以求出斜率為定值.題型五：共線向量問題解析幾何中的向量共線,就是將向量問題轉(zhuǎn)化為同類坐標(biāo)的比例問題,再通過未達(dá)定理-同類坐標(biāo)變換，將問題解決。此類問題不難解決。例題7、設(shè)過點(diǎn)d（0,3）的直線交曲線m：于p、q兩點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍.分析：由可以得到，將p(x1,y1）,q(x2，y2）,代人曲線方程，解出點(diǎn)的坐標(biāo),用表示出來。解：設(shè)p（x1，y1），q(x2，y2), 由 得(x1,y13)=(x2,y2-3） 即方法一：方程組消元法又p、q是橢圓+=1上的點(diǎn) 消去x2,可得 即y2=又在橢圓上，2y22， 22 解之得：則實(shí)數(shù)的取值范圍是。方法二：判別式法、韋達(dá)定理法、配

32、湊法設(shè)直線pq的方程為：，由消y整理后，得p、q是曲線m上的兩點(diǎn) 即 由韋達(dá)定理得： 即 由得,代入,整理得 ， 解之得當(dāng)直線pq的斜率不存在，即時(shí)，易知或 。 總之實(shí)數(shù)的取值范圍是.方法總結(jié):通過比較本題的第二步的兩種解法，可知第一種解法,比較簡(jiǎn)單，第二種方法是通性通法，但計(jì)算量較大，縱觀高考中的解析幾何題，若放在后兩題，很多情況下能用通性通法解,但計(jì)算量較大，計(jì)算繁瑣，考生必須有較強(qiáng)的意志力和極強(qiáng)的計(jì)算能力；不用通性通法,要求考生必須深入思考，有較強(qiáng)的思維能力，在命題人設(shè)計(jì)的框架中，找出破解的蛛絲馬跡，通過自己的思維將問題解決。例題8:已知橢圓c的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好

33、是拋物線的焦點(diǎn)，離心率為（1）求橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）過橢圓c的右焦點(diǎn)f作直線l交橢圓c于a、b兩點(diǎn)，交y軸于m點(diǎn),若，,求的值分析：（07福建理科）如圖,已知點(diǎn)（1,0），直線l：x1,p為平面上的動(dòng)點(diǎn),過作直線l的垂線，垂足為點(diǎn)，且。 （）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡c的方程； （）過點(diǎn)f的直線交軌跡c于a、b兩點(diǎn)，交直線l于點(diǎn)m，已知，求的值。小題主要考查直線、拋物線、向量等基礎(chǔ)知識(shí)，考查軌跡方程的求法以及研究曲線幾何特征的基本方法，考查運(yùn)算能力和綜合解題能力.滿分14分。解法一：（）設(shè)點(diǎn)，則，由得：，化簡(jiǎn)得。（)設(shè)直線的方程為： 。設(shè)，,又,聯(lián)立方程組，消去得：，故由，得：，整理得：，,解法二：（

34、)由得：,， ， 所以點(diǎn)的軌跡是拋物線,由題意，軌跡的方程為：.（）由已知，,得。 則：.過點(diǎn)分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，則有：.由得：，即。練習(xí)：設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，a是橢圓c上的一點(diǎn)，且，坐標(biāo)原點(diǎn)o到直線的距離為 (1)求橢圓c的方程；(2)設(shè)q是橢圓c上的一點(diǎn)，過q的直線l交x軸于點(diǎn)，較y軸于點(diǎn)m,若，求直線l的方程山東2006理 雙曲線c與橢圓有相同的焦點(diǎn)，直線y=為c的一條漸近線。（i） 求雙曲線c的方程；（ii）過點(diǎn)p（0，4）的直線，交雙曲線c于a，b兩點(diǎn)，交x軸于q點(diǎn)（q點(diǎn)與c的頂點(diǎn)不重合）。當(dāng),且時(shí)，求q點(diǎn)的坐標(biāo).解：（）解法一：由題意知直線的斜率存在且不等于零。設(shè)

35、的方程：，則在雙曲線上， 同理有：若則直線過頂點(diǎn)，不合題意。是二次方程的兩根. ，此時(shí)。 所求的坐標(biāo)為.解法二：由題意知直線的斜率存在且不等于零設(shè)的方程，則。 , 分的比為.由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式得 下同解法一解法三：由題意知直線的斜率存在且不等于零設(shè)的方程:,則。，。， ， 又, 即 將代入得 ，否則與漸近線平行.。 解法四:由題意知直線l得斜率k存在且不等于零,設(shè)的方程：，則 ， . 同理 .即（）又 消去y得。當(dāng)時(shí)，則直線l與雙曲線得漸近線平行,不合題意,。由韋達(dá)定理有： 代入（)式得 所求q點(diǎn)的坐標(biāo)為。練習(xí)：已知橢圓c的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn)，離心率等于。

36、（1)求橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2）點(diǎn)p為橢圓上一點(diǎn)，弦pa、pb分別過焦點(diǎn)f1、f2，（pa、pb都不與x軸垂直，其點(diǎn)p的縱坐標(biāo)不為0），若,求的值。解：（1）設(shè)橢圓c的方程為：，則b=1,由，得，則橢圓的方程為:(2）由得：，設(shè)，有得：解得：，根據(jù)pa、pb都不與x軸垂直,且，設(shè)直線pa的方程為：,代人，整理后,得:根據(jù)韋達(dá)定理,得：,則，從而， 同理可求則由為橢圓上一點(diǎn)得:， 則, 故的值為18.題型六：面積問題例題8、（07陜西理）已知橢圓c:（ab0）的離心率為短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為.(）求橢圓c的方程；（)設(shè)直線l與橢圓c交于a、b兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)o到直線l的距離為,求aob面積的

37、最大值。解:（）設(shè)橢圓的半焦距為，依題意 ,所求橢圓方程為。（）設(shè)，。 （1）當(dāng)軸時(shí)，。（2）當(dāng)與軸不垂直時(shí),設(shè)直線的方程為。由已知，得.把代入橢圓方程,整理得，.。當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立。當(dāng)時(shí),， 綜上所述。當(dāng)最大時(shí)，面積取最大值。練習(xí)1、（07浙江理）如圖，直線與橢圓交于a、b兩點(diǎn)，記的面積為。（）求在，的條件下,的最大值;（）當(dāng)時(shí)，求直線ab的方程。本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)、橢圓與直線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力。滿分14分。解：（）解：設(shè)點(diǎn)a的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，由，解得，所以 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到最在值1，(）解:由得 設(shè)到的距離為，則又因?yàn)?所以代入

38、式并整理，得 解得，代入式檢驗(yàn)，。故直線的方程是。練習(xí)2、（山東06文）已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)o，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓的短軸端點(diǎn)和焦點(diǎn)所組成的四邊形為正方形,兩準(zhǔn)線間的距離為4。()求橢圓的方程；(）直線過點(diǎn)p(0,2）且與橢圓相交于a、b兩點(diǎn)，當(dāng)aob面積取得最大值時(shí)，求直線l的方程。解:設(shè)橢圓方程為(i)由已知得 所求橢圓方程為（ii）解法一：由題意知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為，由 消去y得關(guān)于x的方程：由直線l與橢圓相交a、b兩點(diǎn)，,解得,又由韋達(dá)定理得 。原點(diǎn)o到直線l的距離解法1：對(duì)兩邊平方整理得: （*） , 整理得： 又 .從而的最大值為, 此時(shí)代入方程（）得所以，所求直

39、線方程為： .解法2:令， 則, 。 當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)， 此時(shí)。所以，所求直線方程為 .解法二：由題意知直線l的斜率存在且不為零。設(shè)直線l的方程為，則直線l與x軸的交點(diǎn)由解法一知：且 解法1： 下同解法一解法2： 下同解法一已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的離心率為,為其焦點(diǎn)，一直線過點(diǎn)與橢圓相交于兩點(diǎn)，且的最大面積為，求橢圓的方程。解：由得，所以橢圓方程設(shè)為設(shè)直線，由 得：設(shè)，則是方程的兩個(gè)根由韋達(dá)定理得 所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即軸時(shí)取等號(hào) 所以，所求橢圓方程為題型七：弦或弦長(zhǎng)為定值問題例題9、（07湖北理科）在平面直角坐標(biāo)系xoy中,過定點(diǎn)c(0，p）作直線與拋物線x2=2py（p0）相交于a、b

40、兩點(diǎn)。（)若點(diǎn)n是點(diǎn)c關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)o的對(duì)稱點(diǎn)，求anb面積的最小值；（)是否存在垂直于y軸的直線l，使得l被以ac為直徑的圓截得弦長(zhǎng)恒為定值?若存在，求出l的方程;若不存在，說明理由.（此題不要求在答題卡上畫圖）本小題主要考查直線、圓和拋物線等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行推理運(yùn)算的能力和解決問題的能力。解法1：（)依題意,點(diǎn)n的坐標(biāo)為n（0,-p）,可設(shè)a(x1，y1）,b（x2,y2），直線ab的方程為y=kx+p,與x2=2py聯(lián)立得消去y得x22pkx2p2=0. 由韋達(dá)定理得x1+x2=2pk,x1x2=2p2。于是.（）假設(shè)滿足條件的直線l存在,其方程為y=a，a

41、c的中點(diǎn)為徑的圓相交于點(diǎn)p、q，pq的中點(diǎn)為h，則.=令,得為定值,故滿足條件的直線l存在,其方程為，即拋物線的通徑所在的直線。解法2：（)前同解法1，再由弦長(zhǎng)公式得 又由點(diǎn)到直線的距離公式得。從而，（）假設(shè)滿足條件的直線t存在，其方程為y=a，則以ac為直徑的圓的方程為將直線方程y=a代入得設(shè)直線l與以ac為直徑的圓的交點(diǎn)為p（x2,y2)，q(x4,y4），則有令為定值，故滿足條件的直線l存在，其方程為.即拋物線的通徑所在的直線。題型八：角度問題例題9、（08重慶理）如圖（21）圖,m（-2，0）和n(2，0）是平面上的兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)p滿足：（)求點(diǎn)p的軌跡方程; （)若,求點(diǎn)p的坐標(biāo).解：（

42、)由橢圓的定義，點(diǎn)p的軌跡是以m、n為焦點(diǎn),長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a=6的橢圓。 因此半焦距c=2，長(zhǎng)半軸a=3，從而短半軸b=, 所以橢圓的方程為()由 得 因?yàn)椴粸闄E圓長(zhǎng)軸頂點(diǎn)，故p、m、n構(gòu)成三角形。在pmn中， 將代入,得 故點(diǎn)p在以m、n為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為的雙曲線上。 由()知，點(diǎn)p的坐標(biāo)又滿足,所以 由方程組 解得 即p點(diǎn)坐標(biāo)為練習(xí)1、(05福建理）已知方向向量為v=(1，）的直線l過點(diǎn)(0，2）和橢圓c:(ab0)的焦點(diǎn)，且橢圓c的中心關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)在橢圓c的右準(zhǔn)線上。（）求橢圓c的方程；（）是否存在過點(diǎn)e（2，0）的直線m交橢圓c于點(diǎn)m、n,滿足cotmon0（o為原點(diǎn)）.若存在，求直線m

43、的方程;若不存在，請(qǐng)說明理由。本小題主要考查直線、橢圓及平面向量的基本知識(shí)，平面解析幾何的基本方法和綜合解題能力。（i）解法一：直線， 過原點(diǎn)垂直的直線方程為， 解得橢圓中心o（0，0）關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在橢圓c的右準(zhǔn)線上,直線過橢圓焦點(diǎn)，該焦點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）. 故橢圓c的方程為 解法二：直線.設(shè)原點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)為（p，q)，則解得p=3.橢圓中心o（0,0）關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在橢圓c的右準(zhǔn)線上， 直線過橢圓焦點(diǎn)，該焦點(diǎn)坐標(biāo)為（2,0）。 故橢圓c的方程為 （ii） 解法一：設(shè)m（）,n(）。當(dāng)直線m不垂直軸時(shí),直線代入，整理得 點(diǎn)o到直線mn的距離即 即整理得當(dāng)直線m垂直x軸時(shí),也滿足.故直

44、線m的方程為或或經(jīng)檢驗(yàn)上述直線均滿足.所以所求直線方程為或或解法二:設(shè)m(），n（).當(dāng)直線m不垂直軸時(shí)，直線m：y=k（x+2)代入，整理得 e(2，0）是橢圓c的左焦點(diǎn),mn=me|+|ne|=以下與解法一相同。解法三：設(shè)m（），n(）. 設(shè)直線,代入，整理得 y1-y2=即 =，整理得解得或故直線m的方程為或或經(jīng)檢驗(yàn)上述直線方程為所以所求直線方程為或或練習(xí)2、（08陜西理）已知拋物線：,直線交于兩點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，過作軸的垂線交于點(diǎn)(）證明:拋物線在點(diǎn)處的切線與平行;()是否存在實(shí)數(shù)使,若存在，求的值；若不存在,說明理由解法一：（）如圖，設(shè)，把代入得,xay112mnbo由韋達(dá)定理得,，

45、點(diǎn)的坐標(biāo)為設(shè)拋物線在點(diǎn)處的切線的方程為,將代入上式得， 直線與拋物線相切， 即（)假設(shè)存在實(shí)數(shù),使，則，又是的中點(diǎn)，由（)知軸，又 ，解得 即存在,使解法二：（）如圖，設(shè)，把代入得由韋達(dá)定理得，點(diǎn)的坐標(biāo)為，拋物線在點(diǎn)處的切線的斜率為，（）假設(shè)存在實(shí)數(shù),使由(）知，則，,，解得 即存在，使問題九：四點(diǎn)共線問題例題10、（08安徽理)設(shè)橢圓過點(diǎn)，且著焦點(diǎn)為（）求橢圓的方程;(）當(dāng)過點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交與兩不同點(diǎn)時(shí),在線段上取點(diǎn)，滿足，證明：點(diǎn)總在某定直線上22解 （1）由題意： ,解得，所求橢圓方程為 （2）方法一 設(shè)點(diǎn)q、a、b的坐標(biāo)分別為.由題設(shè)知均不為零，記,則且又a，p，b，q四點(diǎn)共線，從

46、而于是 ， , 從而 ,(1） ,（2)又點(diǎn)a、b在橢圓c上，即 (1)+(2）2并結(jié)合（3），（4）得， 即點(diǎn)總在定直線上方法二 設(shè)點(diǎn)，由題設(shè)，均不為零。且 又 四點(diǎn)共線，可設(shè),于是 （1） （2）由于在橢圓c上，將（1），(2）分別代入c的方程整理得 （3） (4)(4）(3） 得 即點(diǎn)總在定直線上練習(xí)1、（08四川理)設(shè)橢圓 的左、右焦點(diǎn)分別為、，離心率，右準(zhǔn)線為,、是上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，(）若，求、的值;（)證明：當(dāng)取最小值時(shí)，與共線解析：數(shù)列和解幾位列倒數(shù)第三和第二，意料之中開始擠牙膏吧（）由已知,由，又，：，延長(zhǎng)交于，記右準(zhǔn)線交軸于， 由平幾知識(shí)易證， 即，,，（）另解：，,又 聯(lián)立，消

47、去、得:，整理得：，解得但解此方程組要考倒不少人（）, 當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)，取等號(hào)此時(shí)取最小值此時(shí)與共線 （）另解：，設(shè)，的斜率分別為，由, 由 當(dāng)且僅當(dāng)即,時(shí)取等號(hào)即當(dāng)最小時(shí)，此時(shí)與共線點(diǎn)評(píng)：本題第一問又用到了平面幾何看來,與平面幾何有聯(lián)系的難題真是四川風(fēng)格啊注意平面幾何可與三角向量解幾沾邊，應(yīng)加強(qiáng)對(duì)含平面幾何背景的試題的研究本題好得好,出得活,出得妙！均值定理,放縮技巧,永恒的考點(diǎn)問題十：范圍問題（本質(zhì)是函數(shù)問題）例題1、已知直線相交于a、b兩點(diǎn)。 （1）若橢圓的離心率為，焦距為2,求線段ab的長(zhǎng); （2）若向量互相垂直（其中o為坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng)橢圓的離心率時(shí)，求橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)的最大值。（07四川理

48、）設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn).（)若是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最大值和最小值；（）設(shè)過定點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、,且為銳角（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線的斜率的取值范圍.本題主要考察直線、橢圓、平面向量的數(shù)量積等基礎(chǔ)知識(shí),以及綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題及推理計(jì)算能力。解:（）解法一：易知， 所以，設(shè)，則因?yàn)?，故?dāng),即點(diǎn)為橢圓短軸端點(diǎn)時(shí),有最小值當(dāng),即點(diǎn)為橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn)時(shí)，有最大值解法二：易知,所以，設(shè)，則（以下同解法一）（）顯然直線不滿足題設(shè)條件，可設(shè)直線，聯(lián)立，消去,整理得:由得：或又,又，即 故由、得或(2009湖南卷文）(本小題滿分13分)已知橢圓c的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，以兩個(gè)焦點(diǎn)和短

49、軸的兩個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是一個(gè)面積為8的正方形(記為q）。（)求橢圓c的方程;(）設(shè)點(diǎn)p是橢圓c的左準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)，過點(diǎn)p的直線與橢圓c相交于m，n兩點(diǎn)，當(dāng)線段mn的中點(diǎn)落在正方形q內(nèi)(包括邊界）時(shí)，求直線的斜率的取值范圍。解： （）依題意，設(shè)橢圓c的方程為焦距為，由題設(shè)條件知， 所以 故橢圓c的方程為 .（）橢圓c的左準(zhǔn)線方程為所以點(diǎn)p的坐標(biāo)，顯然直線的斜率存在，所以直線的方程為. 如圖，設(shè)點(diǎn)m，n的坐標(biāo)分別為線段mn的中點(diǎn)為g, 由得. 由解得。 因?yàn)槭欠匠痰膬筛?所以，于是 =， 。因?yàn)?，所以點(diǎn)g不可能在軸的右邊，又直線,方程分別為所以點(diǎn)在正方形內(nèi)（包括邊界）的充要條件為 即 亦即 解

50、得，此時(shí)也成立。 w。w。w.k.s.5.u。c.o.m 故直線斜率的取值范圍是問題十一、存在性問題：（存在點(diǎn)，存在直線y=kx+m，存在實(shí)數(shù)，存在圖形：三角形(等比、等腰、直角),四邊形（矩形、菱形、正方形）,圓）(2009山東卷理）(本小題滿分14分）設(shè)橢圓e： (a,b0）過m（2，） ，n(,1）兩點(diǎn)，o為坐標(biāo)原點(diǎn)，（i)求橢圓e的方程;（ii）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓e恒有兩個(gè)交點(diǎn)a,b,且？若存在,寫出該圓的方程，并求ab 的取值范圍，若不存在說明理由。解:(1）因?yàn)闄E圓e： （a,b0)過m（2，） ，n(，1）兩點(diǎn)，所以解得所以橢圓e的方程為（2）假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓,使得該圓的任意一條切線與橢圓e恒有兩個(gè)交點(diǎn)a，b,且，設(shè)該圓的切線方程為解方程組得，即, w.w.w。k.s.5。u.c.o。m 則=，即，要使，需使,即,所以，所以又,所以,所以，即或,因?yàn)橹本€為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線,所以圓的半徑為,所求的圓為，此時(shí)圓的切線都滿足或，而當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)切線為與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)為或滿足,綜上， 存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓e恒