藝術(shù)生高考數(shù)學(xué)專題講義：考點20 正弦定理、余弦定理及解三角形

1、2 2 22222 2 22 2 2b c acos a ；abc2r 2r 2r2 2 22ab考點二十正弦定理、余弦定理及解三角形 知識梳理1正弦定理、余弦定理在abc 中，若角 a，b，c 所對的邊分別是 a，b，c，r 為abc 外接圓半徑，則定理正弦定理余弦定理 a b c 2bccos a；內(nèi)容a b c 2r sin a sin b sin cbca 2cacos b；變形c a b 2abcos c(1)a2rsin a，b2rsin b，c2rsin c；2bca b c(2)sin a ，sin b ，sin c ； 2 2 2cos b ；2ac(3)abcsin asi

2、n bsin c；a b c(4)asin bbsin a，bsin ccsin b，asin ccsin a cos c2.三角形面積公式：1s ah(h 表示邊 a 上的高) ；abc 21 1 1s absin c bcsin a acsin b；abc 2 2 2abcs ；abc 4r1s (abc) r(r 是三角形內(nèi)切圓的半徑)，并可由此計算 r、r. abc 23三角形解的判斷在abc 中，已知 a、b 和 a 時，三角形解的情況如下：a 為銳角圖形a 為鈍角或直角關(guān)系式解的個數(shù)absin a一解bsin aab一解22222 2 22 2 22 2abc2 2 222典例剖析

3、題型一 利用正弦定理解三角形1例 1 在abc 中，a3，b5，sin a ，則 sin b_.3答案5915a b bsin a 3 5解析 在abc 中，由正弦定理 ，得 sin b .sin a sin b a 3 9變式訓(xùn)練 在abc 中，若 a60，b45，bc3 2，則 ac_ 答案 2 3ac bc bcsinb解析 在abc 中， ， ac sinb sina sina3 23222 3.2解題要點 如果已知兩邊一角或是兩角一邊解三角形時，通常用正弦定理題型二 利用余弦定理解題例 2 在abc 中，內(nèi)角 a，b，c 所對的邊分別是 a，b，c.若 c (ab) 6，c ， ab

4、c 的3面積是_.3 3答案2解析 c (ab) 6，c a b 2ab6. c ，c a b 2abcos a b ab.3 3由得ab60，即 ab6.1 1 3 3 3s absin c 6 .2 2 2 29變式訓(xùn)練 在abc 中，若 ab 5，ac5，且 cos c ，則 bc.10答案 4 或 5解析 設(shè) bcx，則由余弦定理 ab ac bc 2ac bccos c 得 525x 25 x910，即 x 9x200，解得 x4 或 x5.解題要點 如果已知兩邊一角或是已知三邊解三角形時，通常用余弦定理題型三 綜合利用正余弦定理解題例 3 在abc 中，角 a，b，c 所對的邊分別

5、是 a，b，c.已知(b2a)cos cccos b0. (1)求 c；32 22 2 222222222222222(2)若 c 7，b3a，求abc 的面積解析 (1)由已知及正弦定理得：(sin b2sin a)cos csin ccos b0，sin bcos ccos bsin c2sin acos c，sin(bc)2sin acos c，sin a2sin acos c.1又 sin a0，得 cos c .2又 c(0，)，c .ab ab7，(2)由余弦定理得：c a b 2abcos c，b3a，解得 a1，b3.1 1 3 3 3故abc 的面積 s absin c 13

6、 .2 2 2 4變式訓(xùn)練 在abc 中，內(nèi)角 a，b，c 的對邊分別為 a，b，c，且 bsin a 3acos b.(1) 求角 b 的大小；(2) 若 b3，sin c2sin a，求 a，c 的值a b解析 (1)由 bsin a 3acos b 及正弦定理 ，得 sin b 3cos b.sin a sin b所以 tan b 3，所以 b .3a c(2)由 sin c2sin a 及 ，得 c2a.sin a sin c由 b3 及余弦定理 b2ac2accos b，得 9ac ac.所以 a 3，c2 3.解題要點 解三角形時，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定

7、理；如果式子中 含有角的正弦或邊的一次式時，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時，則要考慮兩個定理都有 可能用到當堂練習(xí)1在abc 中，內(nèi)角 a，b，c 所對的邊分別是 a，b，c.若 c 積是_.3 3答案2解析 由 c (ab) 6，可得 a bc 2ab6.(ab)6，c ， abc 的面 3由余弦定理及 c ，可得 a3bcab.所以由得 2ab6ab，即 ab6.abc6 4 6 4 122 2 21 1 3 3 3所以 absin 6 .2 3 2 2 22在abc 中，內(nèi)角 a、b、c 所對的邊分別是 a、b、c，已知 b2，b30，c15，則 a 等于 _.答案 2 2解析 a

8、1803015135，a b a 2由正弦定理 ，得 ，即 a2 2.sin a sin b 2 12 2 3. abc 的內(nèi)角 a，b，c 的對邊分別為 a，b，c，已知 b2，b ，c ， abc 的面積為_.答案31 7解析 a(bc) ，a b由正弦定理得 ，sina sinb72sinbsina 12則 a 6 2，sinb sin61 1 2s absinc 2( 6 2) 31.abc 2 2 24(2015 重慶理)在abc 中，b120，ab 2，a 的角平分線 ad 3，則 ac_.答案6ab ad 2 3 2解析 由正弦定理得 ，即 ，解得 sinadb ，adb45，s

9、inadb sin b sinadb sin 120 2從而bad15dac，所以 c1801203030，ac2abcos 30 6.5(2015 江蘇)在abc 中，已知 ab2，ac3，a60.(1) 求 bc 的長；(2) 求 sin 2c 的值1解析 (1)由余弦定理知，bc ab ac 2ab accos a49223 7，2所以 bc 7.ab bc(2)由正弦定理知， ，sin c sin aab 2sin 60 21所以 sin c sin a .bc 7 7因為 abbc，所以 c 為銳角，22 2 2222 222222 2 222223 2 7則 cos c 1sin

10、c1 .7 721 2 7 4 3因此 sin 2c2sin ccos c2 .7 7 7課后作業(yè)一、 填空題1 (2015 廣東文)設(shè)abc 的內(nèi)角 a，b，c 的對邊分別為 a，b，c.若 a2，c2 3，cos a bc，則 b 等于_.答案 232且解析 由余弦定理 a b c 2bccos a，得 4b 122b2 332，即 b 6b80，b4 或 b2，又 ba，b60或 120.若 b60，c90，c a b 2 5.若 b120，c30，ac 5.3已知銳角abc 的內(nèi)角 a，b，c 的對邊分別為 a，b，c,23cos acos 2a0，a7，c6，則 b 等于_.答案 5

11、解析 由題意知，23cos a2cos a10，即 cos a125，1又因為abc 為銳角三角形，所以 cos a .51 12在abc 中，由余弦定理知 7 b 6 2b6 ，即 b b130，5 513即 b5 或 b (舍去).54設(shè)abc 的內(nèi)角 a，b，c 所對的邊分別為 a，b，c，若 bcoscccosbasina， abc 的形狀 為_.答案 直角三角形解析 bcoscccosbasina，由正弦定理得 sinbcoscsinccosbsin a，sin(bc)sin a，即 sinasina.2 2 2222 2 22222222又sina0，sina1，a ，2故abc

12、為直角三角形5在某次測量中，在 a 處測得同一平面方向的 b 點的仰角是 50，且到 a 的距離為 2，c 點的俯角 為 70，且到 a 的距離為 3，則 b、c 間的距離為_.答案19解析 bac120，ab2，ac3.bc ab ac 2ab accosbac49223cos12019.bc 19.6abc 的內(nèi)角 a，b，c 所對的邊分別為 a，b，c.若 b2a，a1，b 3，則 c_. 答案 2a b 1 3解析 由正弦定理 得： ，sina sinb sina sinb1 3 3又b2a， ，sina sin2a 2sinacosacosa3，a30， 2b60，c90，c1 (

13、3)2.7在abc 中，abc ，ab 2，bc3，則 sinbac_.4答案3 1010解析 在abc 中，由余弦定理得 ac ab bc 2ab bccosabc292 23225，ac bc 5 3即得 ac 5.由正弦定理 ，即 ，sinabc sinbac 2 sinbac23 10所以 sinbac .108(2014 年江西卷)在abc 中，內(nèi)角 a，b，c 所對應(yīng)的邊分別是 a，b，c.若 c (ab) 6，c ，3則abc 的面積是_.3 3答案2解析 因為 c(ab) 6，c ，所以由余弦定理得：c a b 2abcos ，即2ab6ab， 3 31 3 3 3ab6，因此

14、abc 的面積為 absinc3 .2 2 29(2015 福建文)在abc 中，ac 3，a45，c75，則 bc_.答案222 24 6abc2 2 26解析 a45，c75，b60.ac bc由正弦定理 .sin b sin aac 3 2bc sin a 2.sin b 3 22110 (2015 重慶文)設(shè)abc 的內(nèi)角 a，b，c 的對邊分別為 a，b，c，且 a2，cos c ，3sin a42sin b，則 c_.答案 43 3解析 由 3sin a2sin b，得 3a2b，b a 23，在abc 中，由余弦定理，得 c a2 22b212abcos c2 3 223 16，

15、解得 c4.211 (2015 北京文)在abc 中，a3，b 6，a ，則 b_.3答案4解析 由正弦定理得 sin bbsin aa26sin332 ，因為 a 為鈍角，所以 b . 2 4二、解答題12 (2015 天津文)在abc 中，內(nèi)角 a，b，c 所對的邊分別為 a，b，c.已 abc 的面積為 3 15，1bc2，cos a .4(1)求 a 和 sin c 的值；(2)求 cos 2a 的值1解析 (1)在abc 中，由 cos a ，4可得 sin a154.1由 bcsin a3 15，2得 bc24，又由 bc2，解得 b6，c4. 由 a b c 2bccos a，可得 a8.由a c 15 ，得 sin c .sin a sin c 8(2)cos 2a cos 2a cos sin 2asin6 62222 2 222 2 22 23 1 157 3 (2cos a1) 2sin acos a .2 2 1613(2015