2020年高考文科數(shù)學(xué)《不等式》題型歸納與訓(xùn)練

1、aaab0，由不等式性質(zhì)知：-0，所以b0，cdbd-【解析】由cd0，又dcababdcdc例2關(guān)于x的不等式x2-2ax-8a20）的解集為(x,x)，且x-x=15，則a=（）1221a72515bcd24152x-x=4a-(-2a)=6a=15，a=1562【答案】a【解析】由x2-2ax-8a20)，得(x-4a)(x+2a)0，即-2ax0的解集是_【答案】(-3,2)(3,+)【解析】不等式可化為(x+3)(x-2)(x-3)0采用穿針引線法解不等式即可例4已知函數(shù)f(x)=x2+mx-1,若對(duì)于任意xm,m+1，都有f(x)0成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是【答案】(-22,0)【

2、解析】由題意可得f(x)0對(duì)于xm,m+1上恒成立，f(m+1)=2m2+3m0f(m)=2m2-102即，解得-m02題型二應(yīng)用基本不等式求函數(shù)最值，則函數(shù)y=4x-2+1的最大值.例1已知x【答案】1544x-5【解析】因4x-50，所以首先要“調(diào)整”符號(hào)，又(4x-2)14x-5不是常數(shù)，x0，y=4x-2+=-5-4x+3-2+3=1所以對(duì)4x-2要進(jìn)行拆、湊項(xiàng).15144x-55-4x當(dāng)且僅當(dāng)5-4x=15-4x，即x=1時(shí)，上式等號(hào)成立，故當(dāng)x=1時(shí)，ymax=1.【易錯(cuò)點(diǎn)】注意x54,則4x-5為負(fù)數(shù)，要提“-”使其變“+”.【解析】因?yàn)閥=x(8-2x)=1.【思維點(diǎn)撥】本題需

3、要調(diào)整項(xiàng)的符號(hào)，又要配湊項(xiàng)的系數(shù)，使其積為定值例2當(dāng)0x4時(shí)，則y=x(8-2x)的最大值是.【答案】8.12x+8-2x2x(8-2x)()2=8222當(dāng)且僅當(dāng)2x=8-2x，即x=2時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)x=2時(shí)，y=x(8-2x)的最大值為8.【思維點(diǎn)撥】由0x0，利用均值不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個(gè)式子積的形式，但其和不是定值。注意到2x+(8-2x)=8為定值，故只需將y=x(8-2x)湊上一個(gè)系數(shù)即可.例3函數(shù)y=x2+7x+10x+1(x-1)的值域?yàn)??！敬鸢浮?,+)【解析】當(dāng)x-1,即x+10時(shí),y2（x+1)4+5=9（當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)取“”號(hào)）.x+12【思維

4、點(diǎn)撥】本題看似無(wú)法運(yùn)用均值不等式，不妨將分子配方湊出含有（x1）的項(xiàng)，再將其分離.+=1，則x+y的最小值為.例4已知x0,y0，且【答案】1619xy=1，x+y=(x+y)+xy=+【解析】19x0,y0,+xy19y9xxy+106+10=16當(dāng)且僅當(dāng)y=時(shí)，上式等號(hào)成立，又+=1，可得x=4,y=12時(shí)，(x+y)9x19xyxymin=16.x0,y0，且+=1，x+y=1+9(x+y)292xy=12【易錯(cuò)點(diǎn)】錯(cuò)解：故(x+y)=1219xyxyxy是1min錯(cuò)因：解法中兩次連用均值不等式，在x+y2xy等號(hào)成立條件是x=y，在1+929等號(hào)成立條件xyxy9=即y=9x,取等號(hào)的

5、條件的不一致，產(chǎn)生錯(cuò)誤。因此，在利用均值不等式處理問(wèn)題時(shí)，列出等號(hào)成xy立條件是解題的必要步驟，而且是檢驗(yàn)轉(zhuǎn)換是否有誤的一種方法。.【思維點(diǎn)撥】多次連用最值定理求最值時(shí)，要注意取等號(hào)的條件的一致性，否則就會(huì)出錯(cuò)例5已知a，b為正實(shí)數(shù)，2b+ab+b=30，則函數(shù)y=1【答案】181ab的最小值是.【易錯(cuò)點(diǎn)】本題考查不等式a+b2ab（a,br+）的應(yīng)用、不等式的解法及運(yùn)算能力；如何由已知不等式ab=a+2b+30（a,br+）出發(fā)求得ab的范圍，關(guān)鍵是尋找到a+b與ab之間的關(guān)系，由此想到不等式a+b2ab（a,br+），這樣將已知條件轉(zhuǎn)換為含ab的不等式，進(jìn)而解得ab的范圍.【思維點(diǎn)撥】這是

6、一個(gè)二元函數(shù)的最值問(wèn)題，通常有兩個(gè)途徑，一是通過(guò)消元，轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)問(wèn)題，再用單調(diào)性或基本不等式求解，對(duì)本題來(lái)說(shuō)，這種途徑是可行的；二是直接用基本不等式，對(duì)本題來(lái)說(shuō)，因已知條件中既有和的形式，又有積的形式，不能一步到位求出最值，考慮用基本不等式放縮后，再通過(guò)解不等式的途徑進(jìn)行。題型三線性規(guī)劃例1已知x+y-40，則：2x-y-50x-y+20(1)z=x+2y-4的最大值；(2)z=x2+y2-10y+25的最小值；(3)z=2y+1x+1的取值范圍是.【答案】（1）21；（2）9；（3）,37242.【解析】作出可行域如圖所示，并求出頂點(diǎn)的坐標(biāo)a(1,3)，b(3,1)，c(7,9).(1)

7、易知直線x+2y-4=z過(guò)點(diǎn)c時(shí)，z最大.所以x7，y9時(shí)，z取最大值21.(2)z=x2+(y-5)2表示可行域內(nèi)任一點(diǎn)(x,y)到定點(diǎn)m(0,5)的距離的平方，過(guò)點(diǎn)m作直線ac的垂線，易知垂足n在線段ac上，故z的最小值是92.y-(3)z=212x-(-1)表示可行域內(nèi)任一點(diǎn)(x,y)與定點(diǎn)q-1,-1連線斜率的22qa=7=，所以z的取值范圍為,4842倍.因?yàn)閗，kqb337.【易錯(cuò)點(diǎn)】作出直線圖像后要熟練掌握如何找到滿足條件的可行域【思維點(diǎn)撥】(1)把直線直線x+2y-4=z變形為y=-12x+z+4可知在y軸上你的截距越大z就越大;（2）根據(jù)點(diǎn)線距離求即可；（3）先確定定點(diǎn)q-1

8、,-再利用斜率求.例2已知x-y+10,則x2+y2的最小值是.2x-y-2012x1,【答案】5【解析】如圖，只要畫(huà)出滿足約束條件的可行域，而x2+y2表示可行域內(nèi)一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方，(由圖易知a1,2)是滿足條件的最優(yōu)解，x2+y2的最小值是為5.4例1已知a、b、cr+，且a+b+c=1。求證：-1-1-18.【答案】a、b、cr+，a+b+c=11同理12ac12ab【思維點(diǎn)撥】本題屬非線性規(guī)劃最優(yōu)解問(wèn)題。求解關(guān)鍵是在挖掘目標(biāo)關(guān)系幾何意義的前提下，作出可行域，尋求最優(yōu)解。題型四基本不等式的應(yīng)用111abc1-ab+c2bc-1=aaaa-1，-1上述三個(gè)不等式兩邊均為正，分別相乘，

9、得:bbcc-1-1=8，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=-1abcabc1112bc2ac2ab13時(shí)取等號(hào).”【思維點(diǎn)撥】不等式右邊數(shù)字8，使我們聯(lián)想到左邊因式分別使用均值不等式可得三個(gè)“2連乘，又11-ab+c2bc-1=aaaa，可由此變形入手.lgalgb,q=1例2若ab1,p=a+b(lga+lgb),r=lg()，則p,q,r的大小關(guān)系是.22【答案】rqp【解析】ab1lga0,lgb0，則q=1（lga+lgb)lgalgb=p2r=lg(a+b1)lgab=lgab=qrqp.22【思維點(diǎn)撥】因?yàn)閘ga0,lgb0所以可以利用均值不等式進(jìn)行判斷大小.【鞏固訓(xùn)練】題型一一元二次不等式解

10、法及其應(yīng)用1.不等式x2+x-20的解集為_(kāi)【答案】(-2,1)【解析】易得不等式x2+x-20在r上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_【答案】(0,8)【解析】因?yàn)椴坏仁絰2-ax+2a0在r上恒成立(-a)2-8a0，解得0a8b+3.已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b(a，r)的值域?yàn)?，)，若關(guān)于x的不等式f(x)f(2x)的x的范圍是_21,x2x【解析】x(-1,2-1)1-x205.已知f(x)的定義域?yàn)閞的偶函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f(x)=x2-4x，那么，不等式f(x+2)5的解集_【答案】(7,3)【解析】當(dāng)x0時(shí)，令x2-4x5，解得，0x5又因?yàn)閒(x)為定義域?yàn)閞的偶函數(shù)，則不等

11、式f(x+2)5等價(jià)于-5x+20,【答案】6428+=1，則xy的最小值是。xy【解析】xy=xy12=xy+=+322+32=642824y64x4y64xxyxyxy.=時(shí)，即x=4.y=16，上式取“=”，故(xy)min=64當(dāng)且僅當(dāng)281xy2.2.已知0x1，則函數(shù)y=41+x1-x的最小值是.【答案】9【解析】因?yàn)?x0。6(1-x)4+1=5+41-x+x941所以y=+x1-x=x+x1-xx1-x().當(dāng)且僅當(dāng)4(1-x)x2”=時(shí)，即x=，上式取“=，故yx1-x3min=9.3.若log(3a+4b)=log42ab,則a+b的最小值是（）a6+23b7+23c6+4

12、3d7+43【答案】d【解析】由已知得3a+4b=ab，且ab0，可知a0,b0，+=1(a0,b0)，a+b=(a+b)(+)=7+7+43所以43434b3aababab4b3a當(dāng)且僅當(dāng)=時(shí)取等號(hào)ab4.若2x+2y=1，則x+y的取值范圍是（）a0,2b-2,0c-2,+)d(-,-21.設(shè)變量x、y滿足約束條件x-y-1，則z=2x+3y的最大值為。x+y1【答案】d【解析】因?yàn)?=2x+2y22x2y，即2x+y2-2，所以x+y-2，當(dāng)且僅當(dāng)2x=2y，即x=y時(shí)取等號(hào)5.若正實(shí)數(shù)x，y滿足xy=2x+y+6，則xy的最小值是.【答案】18【解析】因?yàn)閤0，y0，所以xy=2x+y

13、+622xy+6，xy-22xy-60，解得xy32或xy-2（舍）等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)2x=y=6時(shí)成立，故xy的最小值為18.題型三線性規(guī)劃2x-y2【答案】18【解析】如圖，畫(huà)出可行域，得在直線2x-y=2與直線x-y=-1的交點(diǎn)a(3,4)處，目標(biāo)函數(shù)z最大值為182.在約束條件下，當(dāng)3s5時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z=3x+2y的最大值的變化范圍是（）y+xsx0y0y+2x4a.6,15b.7,15c.6,8d.7,8【答案】d【解析】畫(huà)出可行域如圖所示,當(dāng)3s0,y0且19+=1，則使不等式x+ym恒成立的實(shí)數(shù)m的取值范圍是.xy【答案】m(-,168【解析】令x+y=k,x0,y0,19x+y9x+9y10y9x+=1，+=1.+=1xykxkykkxky2。k16，m(-,16.1-103kk2.若對(duì)任意x0，1【答案】a5xx2+3x+1a恒成立，則a的取值范圍是.x+1+32+351【解析】因?yàn)閤0，所以x+2（當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)），所以有xx111=x2+3x+1x即x11的最大值為，故a。x2+3x+1553.若a0,b0,a+b=2，則下列不等式對(duì)一切滿足條件的a,b恒成立的是(寫(xiě)出正確命題的編號(hào))【答案】(-,0u4,+).ab1；a+b2；a2+b22；11+2a3+b33；ab【答案】【解析】令a=b=1，排除；由2=