如何解分式和絕對值不等式

1、(一) 分式不等式:型如：f(x) 0或丄0(其中f(x)、(x)為整式且(x) 0)的不等式稱為分式不等式。(x)(x)(1) 分式不等式的解法：x 1解關(guān)于x的不等式03x 2方法一：等價轉(zhuǎn)化為：方法二：等價轉(zhuǎn)化為：x10x 10或(x 1)(3x2)03x20 3x 20變式一：-一103x2等價轉(zhuǎn)化為：(x1)(3x 2)03x 20x比較不等式-1-0 及 x 1-0的解集。(不等式的變形，強調(diào)等價轉(zhuǎn)化，分母不為零)3x 2 3x 2(2 )歸納分式不等式與整式不等式的等價轉(zhuǎn)化:11 藝 0 f(x) (x) 03)出 0 f(x) (x) 0f(x) (x)0(x) 0f (x)0

2、 f(x) (x)0(x)(x)0(3)小結(jié)分式不等式的解法步驟:(1)移項通分，不等式右側(cè)化為“0”左側(cè)為一分式(2) 轉(zhuǎn)化為等價的整式不等式(3) 因式分解，解整式不等式(注意因式分解后，一次項前系數(shù)為正)練一練：解關(guān)于x的不等式25x例1、解關(guān)于x的不等式：x 2x 3x2解：2 0x3x22(x 3)0x3即,x8 0x30 （保證因式分解后，保證一次項前的系數(shù)都為正）等價變形為：(x 8)(x 3) 0x 3 0原不等式的解集為8, 3x 8例2、解關(guān)于x不等式一2x2 2x 3方法一：x2 2x 3恒大于o,利用不等式的基本性質(zhì)方法二：移項、通分，利用兩式同號、異號的充要條件，劃歸

3、為一元一次或一元二次不等式。a例3、解關(guān)于x的不等式：1x解:移項 a 10xa xx a通分0即， 一xx等價轉(zhuǎn)化為,x(x a) 0x 0當a0時，原不等式的解集為（0,a當a0時，|f(x)l a a f(x) a ； |f(x)| a f(x) a或f(x) a。 當 a=0 時，|f(x)| a，無解；|f(x)| af(x) 0。 當 a4或x 1。所以原不等式的解集是x|x 4或x1(2)因為左邊為非負值，而右邊為0,故不等式無解，即解集為2 2|x| x(二)注意絕對值的非負性，用平方法 等式的兩邊都是非負值才能用平方法，否則不能用平方法，在操作過程中用到例2解不等式|x 11

4、 |2x3|兩邊都含絕對值符號，所以都是非負，故可用平方法。2 23) (x 1)0即:2 2 2 2解：原不等式|x 1| Px 3| (x 1)(2x 3)(2x即：對于 形如f（x）| |g（x）|型不等式，此類不等式的簡潔解法是利用平方法,2 2|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|f(x)| |g(x)|f(x) g(x) |例2解不等式|x 11 |2x3|。22解：原不等式等價于：|x 11 |2x 3|，即3x2 10x 8 0，解得（三）注意分類討論，用零點分段法 不等式的一側(cè)是兩個或兩個以上的絕對值符號，常用零點法去絕對值并求解。例3解不等式|x 2| |x 113解：

5、利用絕對值的定義，分段討論去絕對值符號，令于是，可分區(qū)間（，2), 2，1，1,討論原不等式x 2,(x 2)(x1)x 1,2 (x1)或x 13 x 2 (x1)3解得x 1或x綜上不等式的解為2)(1,即：對于形如這個不等式的幾何意義是：數(shù)軸上到(2)零點分段討論：（即去掉絕對值）a不等式，用零點分段法1 解不等式（1）利用絕對值不等式的幾何意義對應(yīng)點的距離與到3對應(yīng)點的距離之和不小于4的所有點的集合注:(3)構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)解集溫馨提示：令f （x）x 3畫出函數(shù)圖像進行研究x=1,與x=3將數(shù)軸分成三段，然后根據(jù)不等式的幾何意義去掉絕對值，解不等式總結(jié)：絕對值不等式的解法(1)x a

6、 (a 0) a x a(3)f(x)a (a0)a f (x)a ；(4)f(x)a (a0)f (x)a或f (x) a ；(5)f(x)g(x)g(x)f(x)g(x)(6)f(x)g(x)f(x)g(x)或 f (x)g(x)；(7)a x b (ba 0)a xb或b xa ；f(x)a(a0)f (x) ag(x)|f(x)2ag(x)2(8)g(x)1g(x)0g(x) 0o(9)f(x)|g(x)|2|f(x)|2|g(x)|f(x)| |g(x)|f(x)g(x)| 0(2)xa (a 0)xa 或 xa(10)對于形如xax b m等含有多個絕對值符號的不等式，常用“零點分段”或絕對值的幾何意義求解課后練習1、不等式1 (2x1)0的解集為2、不等式1 (2x1)0的解集為6、|x m| 1成立的充分非必要條件 是13-x的解集是()A. (3,+ o)B.(-o，-3) U (3,+ o)C. (- o，-3) U (-1，+o)D.(-o ,-3)U (-1,3) U (3,+10、解不等式| 2x 1 |x 4|x1o11、設(shè)函數(shù)f (x) ax2，不等式|f(x)|6的解集為(已知不等式oo )試求不等式提高題12、13、14、15、1, 2)f(x)1的解集。用或 或或填空:ababababI )。已知已知已知h 0，設(shè)命題甲為兩個