平面和直線方程

1、平面和直線方程,一、平面的方程,二、點到平面的距離,三、直線的方程,7.5 平面和直線的方程,四、線面間的夾角,*五、點到直線與直線到直線的距離,*六、平面束,平面和直線方程,如果一非零向量垂直于一平面，這向量就叫做該平面的法(線)向量.,(垂直于平面內(nèi)的任一向量),已知平面的法向量,一、平面的方程,代入向量的坐標,1. 平面的點法式和一般式,是平面上的一定點，,平面和直線方程,平面的點法式方程,平面上的點都滿足上述方程，不在平面上的點都不滿足上述方程，上述方程稱為平面的方程，平面稱為方程的圖形,其中法向量,已知點,平面和直線方程,解,平面和直線方程,例2.求過三點,解:,的平面 的方程.,平

2、面和直線方程,解,平面和直線方程,由平面的點法式方程,平面的一般(式)方程,法向量,結(jié)論：平面方程是三元一次方程，任意三元一次方程的圖形是一平面.,平面和直線方程,平面一般方程的幾種特殊情況：,平面通過坐標原點；,平面過 軸；,平面平行于 坐標面；,類似地可討論 情形.,類似地可討論 情形.,平面平行于 軸；,平面和直線方程,設(shè)平面為,由平面過原點知,所求平面方程為,解,平面和直線方程,過三點,的平面方程為,2. 平面的三點式和截距式,平面的三點式方程,平面和直線方程,設(shè)平面為,將三點坐標代入得,解,平面和直線方程,將,代入所設(shè)方程,平面的截距式方程,平面和直線方程,解,平面和直線方程,外一點

3、,求,例7. 設(shè),解:設(shè)平面法向量為,在平面上取一點,是平面,到平面的距離d.,則P0 到平面的距離為,點到平面的距離公式,二、點到平面的距離,平面和直線方程,確定空間直線的條件 由兩個平面確定一條直線； 由空間的兩點確定一條直線； 由空間的一點和一個方向來確定一條直線.,三、空間直線的方程,平面和直線方程,定義,空間直線可看成兩平面的交線,空間直線的一般(式)方程,注：表示同一直線的一般方程不唯一.,1. 直線的一般式,平面和直線方程,方向向量的定義：,2. 直線的對稱式和參數(shù)式,如果一非零向量 平行于一條已知直線 L ，向量 稱為直線 L 的方向向量,平面和直線方程,直線的對稱式方程,方向

4、向量的余弦稱為直線的方向余弦.,直線的參數(shù)(式)方程,消去參數(shù) t，有,(也稱為點向式方程),平面和直線方程,注： 1. 表示同一直線的對稱式方程不唯一； 2. 對稱式方程可轉(zhuǎn)化為一般方程 ; 3. 理解為:,4. 任一條直線均可表示為對稱式方程.,平面和直線方程,例8 用對稱式方程及參數(shù)方程表示直線,解,平面和直線方程,因所求直線與兩平面的法向量都垂直,取,對稱式方程,參數(shù)方程,解題思路:,先找直線上一點;,再找直線的方向向量.,平面和直線方程,解,平面和直線方程,定義,兩平面法向量之間的夾角（通常取銳角）稱為兩平面的夾角.,1. 兩平面的夾角,四、線面間的夾角,平面和直線方程,按照兩向量夾

5、角余弦公式有,兩平面夾角余弦公式,兩平面位置特征：,/,平面和直線方程,例10 研究以下各組里兩平面的位置關(guān)系：,解,平面和直線方程,定義,直線,直線,兩直線的方向向量的夾角（通常指銳角） 稱為兩直線的夾角.,兩直線的夾角公式,2. 兩直線的夾角,平面和直線方程,兩直線的位置關(guān)系：,/,直線,直線,例如，,平面和直線方程,例11. 求以下兩直線的夾角,解:,平面和直線方程,解,平面和直線方程,平面和直線方程,定義,直線和它在平面上的投影直線的夾角 稱為直線與平面的夾角,3. 直線與平面的夾角,平面和直線方程,直線與平面的夾角公式,直線與平面的位置關(guān)系：,/,平面和直線方程,解,平面和直線方程,

6、到直線,的距離,為,點,*五、點到直線與直線到直線的距離,1. 點到直線的距離,平面和直線方程,另法: 做一法向量,過直線L1 做平面, 則法向量為,平面和直線方程,例,證,平面和直線方程,過直線,的平面束,方程,*六、平面束,平面和直線方程,例15. 求直線,在平面,上的投影直線方程.,解：,平面和直線方程,解：,平面和直線方程,內(nèi)容小結(jié),1.平面基本方程:,一般式,點法式,截距式,三點式,平面和直線方程,2.平面與平面之間的關(guān)系,平面,平面,垂直:,平行:,夾角公式:,平面和直線方程,1. 空間直線方程,一般式,對稱式,參數(shù)式,內(nèi)容小結(jié),平面和直線方程,直線,2. 線與線的關(guān)系,直線,夾角公式:,平面和直線方程,平