組合數學中比較困難的波利亞定理應用最大的障礙是不理解

1、組合數學中比較困難的波利亞定理應用最大的障礙是不理解所要解決的立體形狀的具體信息。下文詳細列舉了所有常見的形狀和其詳盡的信息。from:/nickms/article/details/6076341正四面體：階12，頂點4個，面4個，棱6條，均為等邊三角形轉動群 頂點面棱個數不動(1)4(1)4(1)61頂點-面心 120度(1)(3)(1)(3)(3)28棱心-棱心 180度(2)2(2)2(1)2(2)23正六面體：階24，頂點8個，面6個，棱12條，均為正方形轉動群 頂點面棱個數不動(1)8(1)6(1)121面心-面心, 90度(4)2(1)2(4

2、)(4)36面心-面心，180度(2)4(1)2(2)2(2)63棱心-棱心，180度(2)4(2)3(1)2(2)56空間對角線120度(3)2(1)2(3)2(3)48正八面體：階24，頂點6個，面8個，棱12條，均為等邊三角形轉動群 頂點面棱個數不動(1)6(1)8(1)121頂點-頂點 90度(1)2(4)(4)2(4)36頂點-頂點 180度(1)2(2)2(2)4(2)63棱心-棱心 180度(2)3(2)4(1)2(2)56面心-面心 120度(3)2(3)2(1)2(3)48正十二面體：階60 ，頂點20個，面12個，棱30條，均為正五邊形轉動群 頂點面棱個數不動(1)20(1

3、)12(1)301面心-面心72,144度(5)4(1)2(5)2(5)6 24棱心-棱心180度(2)10(2)6(1)2(2)1415頂點-頂點120度(1)2(3)6(3)4(3)1020正二十面體：階60 ，頂點12個，面20個，棱30條，均為等邊三角形轉動群 頂點面棱個數不動(1)12(1)20 (1)301頂點-頂點72,144度(1)2(5)2(5)4(5)624棱心-棱心180度(2)6(2)10(1)2(2)1415面心-面心120度(3)4(1)2(3)6(3)1020足球：階60，頂點60個，面32個，棱數90條，20個正六邊形，12個正五邊形轉動群頂點面棱個數不動(1)

4、60(1)32(1)901五邊形面心-五邊形面心72,144度(5)12(1)2(5)6(5)1824六邊形面心六邊形面心120度(3)20(1)2(3)10(3)3020正六邊形棱中-棱180度（這種棱有30條）(2)30(2)16(1)2(2)4415類足球：階24，頂點24個，面14個，棱數36條，8個正六邊形，6個正方形(就是那種把正八面體的每個角切掉等大的一塊得出的形狀）轉動群頂點面棱個數不動(1)24(1)14(1)361正方形面心-正方形面心90度(4)6(1)2(4)3(4)96正方形面心-正方形面心180度(2)12(1)2(2)6(2)183六邊形面心六邊形面心120度(3

5、)8(1)2(3)4(3)128正六邊形棱中-棱180度（這種棱有12條）(2)12(2)7(1)2(2)176-我通篇的理論都是專注于如何寫出置換群的表格形式，比如正二十面體的“棱中對棱中翻轉”的置換形式是(1)2 (2)14，一共有15個這樣的置換。我認為只要能夠輕松寫出任意正多面體的任意一個轉法的置換形式，大多數染色題目基本可以迎刃而解。需要注意的就是火柴問題，情況比染色復雜，可能需要額外做題，這個暫且不論。from：/share/227521810/4588940865首先，給出一個重要的概念底座。底座，是指把多面體的一個頂點（稱為尖頂）放到視

6、角中心，從上往下俯視看到的第一層輪廓。面數較小的情況下，底座就是俯視圖的最外圍輪廓，但面數增多時就不一定了?？傊覀冎挥懻撆c尖頂有邊相連的那個底座。底座是原多面體的一個切面。每個底座都擁有中心的尖頂，以及從這個尖頂連結到底座各頂點的棱，以及底座的側邊。下面依次來看底座的形狀：（1）正四面體正四面體的底座就是它自己的一個底面，側邊就是它自己的三條邊。屬于“底座易見類”多面體。（2）正六面體正六面體的底座是三條虛線的那三個頂點組成的正三角形，它的側邊實際上是三個等腰直角三角形。理解這兩點需要一些想象能力。屬于“底座難見類”多面體。（3）正八面體正八面體的底座是圖中的正方形，側邊是自己的四條邊。屬

7、于“底座易見類”多面體。（4）正十二面體正十二面體由一堆五邊形組成，它的底座實際上也是一個正三角形，與正六面體不同的是，它的側邊實際上是切割五邊形得到的三角形，這個三角形的頂角是120度?？吹竭@一點也需要一些想象能力，它屬于“底座難見類”多面體。（5）正二十面體正二十面體看起來復雜，其實底座很容易看出，就是一個正五邊形，并且由一個尖頂連接著各個頂點，像一個宮殿的頂部。底座的側邊就是正二十面體自己的五個側面，都是正三角形。它屬于“底座易見類”多面體。本質上講，對一個多面體的旋轉，就是對它的各個底座的旋轉?？梢哉f，只要腦子里能想出底座的形狀，你就可以說“完全”了解了對應的那個正多面體，即使你根本無

8、法畫出或想象出那個多面體的整體形狀。為什么這么說呢，因為正多面體有一個很好的性質，就是對稱性。這個對稱性在我們討論旋轉置換的時候，在做題的時候，對應的物理意義就是兩個字：“信心”。你永遠可以堅信，當這個底座發(fā)生旋轉的時候，其他的點、面、棱也在按照相同的規(guī)律進行著旋轉。老師說過，旋轉置換可以按照不同的對稱軸分為四大類情況：不動、點對點、面對面、棱對棱。對底座易見類多面體來說，點對點的旋轉最好理解，比如正四面體；對底座難見類多面體來說，面對面的旋轉最好理解，如正六面體。下面分別討論點對點、面對面、棱對棱旋轉。（1）點對點了解底座之后，對稱軸是點對點的情況就相當于在底座上印了一條高，繞著這條高來轉。

9、你會突然發(fā)現這想起來變得異常簡單了，是不是？因為，點對點旋轉有幾種情況，完全取決于底座是幾邊形。如果是奇數邊形，就直接有n-1種轉法，如果是偶數邊形，需要考慮是90度還是180度，因為這兩種情況下循環(huán)個數不一樣。接下來的問題是如何寫出具體的形如(1)2 (3)2 之類的置換形式，而且需要針對點染色、面染色、棱染色分別討論。這就是本文的精髓所在了，根據對稱性，我總結出一個置換大定理：: 任何情況下，有且僅有對稱軸上的兩個對象是不動的，其它的都動。比如，點對點旋轉時，只有兩個不動點；軸對軸旋轉時，只有兩個不動軸；面對面旋轉時，只有兩個不動面。寫成置換形式就是(1)2。: 在不區(qū)分90度還是180度

10、的情況下，有m種旋轉方式時，點染色、面染色、棱染色均可以寫成 (m+1)k的形式。這里的k需要根據不同多面體的點、面、棱數決定，只要滿足(m+1)乘以k等于那個數目即可。因此，對點對點軸旋轉，我們可以列表如下：（正四面體實際上是點對面，單獨寫 ）旋轉方向種類 點染色 面染色 棱染色正六面體： 2 (1)2 (3)2 (3)2 (3)4正十二面體： 2 (1)2 (3)6 (3)4 (3)10正二十面體： 4 (1)2 (5)2 (5)4 (5)6即使是需要區(qū)分90度還是180度的情況，對點染色、面染色、棱染色來說，每個分組的大小也是一樣的：旋轉方向種類 點染色 面染色 棱染色正八面體：90度

11、2 (1)2 (4)1 (4)2 (4)3180度 1 (1)2 (2)2 (2)4 (2)6（2）面對面面對面的情況更簡單。當點對點的時候，你還得考慮底座是什么樣子，才能知道旋轉方向種類m等于幾。而面對面時，你只需要知道多面體的每個面是幾邊形就行了，因為在不需要區(qū)分90度還是180度的情況下，旋轉種類m就等于邊數減一。（五邊形就是4種，三邊形就是2種，49邊形就是48種）至于多面體長什么樣子，完全沒必要知道，因為對稱性給了我們使用“置換大定理”的充分信心。旋轉種類 點染色 面染色 棱染色正八面體： 2 (3)2 (1)2 (3)2 (3)4 （面為三角形）正十二面體： 4 (5)4 (1)2

12、 (5)2 (5)6 （面為五邊形）正二十面體： 2 (3)4 (1)2 (3)6 (3)10 （面為三角形）這是不是很簡單啊。即使是需要區(qū)分90度還是180度的情況，對點染色、面染色、棱染色來說，每個分組的大小也是一樣的：旋轉方向種類 點染色 面染色 棱染色正六面體：90度 2 (4)2 (1)2 (4)1 (4)3180度 1 (2)4 (1)2 (2)2 (2)6（3）棱對棱棱對棱是最難想象的一種，但在我的理論中是最簡單的一種，因為根據對稱性給我們充分信心，棱對棱只有180度這一種情況，因此對所有多面體來說都只有1種旋轉方向。根據置換大定理，所有多面體的棱對棱旋轉都可以寫成 (2)x 的

13、形式，只需要根據棱的數量更改x就可以了。當然，別忘了棱染色時有兩個不動點(1)2。點染色 面染色 棱染色正四面體： (2)2 (2)2 (1)2 (2)2正六面體： (2)4 (2)3 (1)2 (2)5正八面體： (2)3 (2)4 (1)2 (2)5正十二面體：(2)10 (2)6 (1)2 (2)14正二十面體：(2)6 (2)10 (1)2 (2)14是不是已經感覺很弱智了？沒錯，這就是對稱性和置換大定理給我們帶來的的強大信心。如果你能夠自己寫出上面的置換形式，這些多面體對你來說就沒啥新意可言了。盡管你可能都畫不出來這個多面體。另外，還有一個小技巧，就是在檢查置換種類總個數的時候，應該

14、等于面數乘以每個面的邊數。按照 不動+點點+面面+棱棱 的順序寫出種類個數之和，如下表：正四面體： 1+8+3 = 12種 = 4x3 （三角形）正六面體： 1+8+(6+3)+6 = 24種 = 6x4 （四邊形）正八面體： 1+(6+3)+6+8 = 24種 = 8x3 （三角形）正十二面體：1+20+24+15 = 60種 = 12x5 （五邊形）正二十面體：1+24+15+20= 60種 = 20x3 （三角形）關于足球：單拉出足球來是因為足球不滿足對稱性，它既有12個五邊形又有20個六邊形，比較復雜。但其實，它也沒有想象中那么復雜。先看一下圖像：可以看出，足球在本質上是由五邊形組成的

15、，它其實就是12個不相交的五邊形組成的多面體，六邊形實際上相當于是為了封閉而填充進來的面。下面按照置換大定理的思路討論下足球：（1）點對點可以看到，點對點的連線在足球上特別不對稱，因為底座的側邊有一個是黑的（五邊形）兩個是白的（六邊形）。這怎么旋轉呢？沒法旋轉。因此，點對點軸旋轉在足球上不存在。（2）面對面這要分每個面是五邊形還是六邊形了。根據置換大定理，五邊形就是五個一組（m=5-1，5-1+1=5），六邊形似乎就是六個一組（m=6-1，6-1+1=6）。但可惜的是，六邊形中有三條邊在五邊形上，三條邊不在五邊形上，要求置換時必須滿足三條邊內部互換。因此就只有兩種旋轉方式了，所以m=2，2+1

16、=3個一組。點染色 面染色 棱染色五邊形： (5)12 (1)2 (5)6 (5)18六邊形： (3)20 (1)2 (3)10 (3)30（3）棱對棱棱對棱雖然簡單，但要注意的是只有不在五邊形上的棱才具有對稱性，否則轉不了。因此90條棱中，只有90-12x5 = 30條棱可以轉，也就是15個棱對棱軸。由于只有180度的旋轉，根據置換大定理，仍然可以寫成(2)x 的形式。點染色 面染色 棱染色足球： (2)30 (2)16 (1)2 (2)44同樣，可以用上面提到的小技巧檢查置換種類總個數，即應該等于面數乘以每個面的邊數：1+24+20+15 = 60種 = 12x5 （五邊形）這也說明，足球

17、在本質上是由五邊形組成的。from：/pc/pccon.php?id=10001420&nid=286283經常會有這樣的題目，問有30根紅火柴，30根綠火柴，30根蘭火柴（火柴是有方向性的，一頭是易燃物質，一頭不是）搭一個足球，詢問有多少種搭法。直接把這種題套用polya定理是比較別扭的。那么怎么才能理解這類題的本質呢？這要從burnside引理說起。一般來講，burnside引理的形式是（x+x+x+x）/|g|，其中|g|為轉動群的階數。而每一個x，則對應某在一種置換中，置換前和置換后完全重合的不同方案的個數。這句話很拗口，但請注意兩點，第一是“

18、置換前和置換后必須重合”，第二是“能夠表現出這樣特征的不同方案的數目”。用循環(huán)轉動群來表示的話就是，對于每一個置換都可以得到類似于(n)(nn)(nnnn)(n) 的置換群，burnside引理的x要的是其中有多少個括號，其內部只包含一個n。（注意，這里的n表示一種著色方案，而不是方案數，請仔細區(qū)分方案和方案數）。舉個實例的話，例如對于一個田字格進行黑白二著色。對于全黑和全白的著色方案，不管是不動，轉90度，180度還是270度都和不轉制前重合 。于是它們在每一個旋轉里都會被計數。而對于那種左上和右下是黑，右上和左下是白的著色方案，只有在180度的時候才與不轉之前重合。也只有在180度的旋轉中

19、會被計數。但是burnside引理的通用做法是遍歷所有的方案，并尋找那些置換前后重合的方案，對其計數。但這太沒有效率了，對一個正12面體進行3著色，不考慮重復的話，方案數達到了312次方。這是不可能一一遍歷的。實際上，我們只關心有多少個這樣的方案，既不想遍歷，也不想知道符合條件的方案是什么樣的。我們只想計數而已。這就是polya定理出現的原因。它是針對“對稱多面體”（包括正多面體和足球之類的凸多面體）的著色問題來計算burnside引理中的每個x是多少的。其形式是cmy,其中c是當前旋轉有多少個，如果要轉正負90度，并且這樣的軸有4個的話，那么c就是8。m是著色數。y是循環(huán)群的段數。如果對一個

20、正方體二著色，面心-面心旋轉180度的循環(huán)群是（1）2（2）2的話，那么my就是24。對正多面體著色一大特點是著色沒有方向性，因此旋轉前一個面是紅色，而旋轉之后這個面還是紅色，就說這個面在置換前后重合。但如果面上是肖像就不一樣了，就算旋轉前后一個面都是肖像，還得考慮這個肖像在旋轉前后方向是不是一致。只有一致才能說是重合。因此，對于這一類型的題，有如下的步驟：1. 搞清楚要算的多面體有哪些可以旋轉的方案2. 對于某一種旋轉的方案，是否可能存在旋轉前后重合的現象。如果沒有，就不用繼續(xù)了，這一旋轉對應的x值是0。還原到置換群的表示法，就意味著沒有一個表示循環(huán)的括號里僅僅有一個元素，如(nnnn)(nnnn)(nn)。例如對于有方向的火柴，如果進行棱心-棱心180度旋轉，就絕對不可能有重合的情況。一個火柴頭轉到尾部無論如何也不會重合。同理，對于肖像（非對稱的那種），進行面心-面心的旋轉，也是不可能重合的。這時方案數一律為0。3. 如果可能存在重合的方案，就去設想那種方案。并用排列組合把那個數算出來。例如，針對足球六邊形面心-面心旋轉120度或者240度。如果有30根紅火柴，30根綠火柴，30根蘭火柴的話，必然首先