常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性及其判別法PPT演示課件

1、第二節(jié) 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的判別法,一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其收斂性判別法 二、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其收斂性判別法 三、絕對(duì)收斂與條件收斂 四、小結(jié)、思考題、作業(yè),一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其收斂性判別法,1.定義:,這種級(jí)數(shù)稱為正項(xiàng)級(jí)數(shù).,2.正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件:,基本定理（正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂判別法則）,部分和數(shù)列 為單調(diào)增加數(shù)列.,推廣：同號(hào)級(jí)數(shù),例 1. 判定 的斂散性.,解,由基本定理知,故級(jí)數(shù)的部分和,該正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂.,由于,證明,即部分和數(shù)列有界,3.比較判別法,不是有界數(shù)列,定理證畢.,比較判別法的不便:,須有參考級(jí)數(shù).,解,由圖可知,重要參考級(jí)數(shù): 幾何(等比)級(jí)數(shù), p-級(jí)數(shù), 調(diào)和級(jí)數(shù).,證明,4.比較判別法的

2、極限形式:,證明,由比較審斂法的推論, 得證.,解,原級(jí)數(shù)發(fā)散.,故原級(jí)數(shù)收斂.,證明,收斂,發(fā)散,達(dá)朗貝爾判別法的優(yōu)點(diǎn):,不必找參考級(jí)數(shù).,2. 若用達(dá)朗貝爾判別法判定級(jí)數(shù)發(fā)散,級(jí)數(shù)的通項(xiàng)un不趨于零.,后面將用到這一點(diǎn).,1. 適用范圍：,的若干連乘積(或商),的形式.,因?yàn)椋?解,比值判別法失效, 改用比較判別法,例. 利用級(jí)數(shù)收斂性,證明,證,考查級(jí)數(shù),由于,故級(jí)數(shù) 收斂.,由級(jí)數(shù)收斂的必要條件知,級(jí)數(shù)收斂.,二、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其收斂性判別法,定義: 正、負(fù)項(xiàng)相間的級(jí)數(shù)稱為交錯(cuò)級(jí)數(shù).,證明,滿足收斂的兩個(gè)條件,定理證畢.,解,原級(jí)數(shù)收斂.,一個(gè)基本例子：,三、絕對(duì)收斂與條件收斂,定義: 正

3、項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)任意出現(xiàn)的級(jí)數(shù)稱為任意項(xiàng)級(jí)數(shù).,證明,上定理的作用：,任意項(xiàng)級(jí)數(shù),正項(xiàng)級(jí)數(shù),解,故由定理知原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.,判別級(jí)數(shù) 是否收斂?如果收斂,是絕對(duì)收斂還是條件收斂?,早期研究生考試題,解,因?yàn)?練習(xí),為交錯(cuò)級(jí)數(shù).,正,根據(jù)比較判別法的極限形式:,知,發(fā)散.,即原級(jí)數(shù)不是絕對(duì)收斂.,(1),因?yàn)?為交錯(cuò)級(jí)數(shù).,由于,(2),所以級(jí)數(shù) 收斂,且為條件收斂.,故級(jí)數(shù)滿足萊布尼茨定理的兩條件,通常先考查它,若使用比值法或,根值法判定級(jí)數(shù)不絕對(duì)收斂(這時(shí)級(jí)數(shù)的通項(xiàng)不趨于零),對(duì)交錯(cuò)級(jí)數(shù),利用無窮級(jí)數(shù)的性質(zhì)1、2 將級(jí)數(shù),如不是絕,對(duì)收斂的,再看它是否條件收斂.,便可斷言級(jí)數(shù)發(fā)散.,可用,萊布尼茨定理.,然后討論斂散性也是常用手段.,拆開為兩個(gè)級(jí)數(shù),(用正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法),討論任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性時(shí),是否絕對(duì)收斂,四、小結(jié),正項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法的思維程序,1.,2.,若,比值、根值法;,若失效,3.,比較審斂法的極限形式,4.,5.,充要條件,6.,按基本性質(zhì),7.,?,比較審斂法,發(fā)散;,任意項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法的思維程序,3. 交錯(cuò)級(jí)數(shù)(萊布尼茨定理),1.,?,發(fā)散,2. 絕對(duì)收