2022版新教材高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第二章2.8函數(shù)與方程課件新人教B版

1、2.82.8函數(shù)與方程函數(shù)與方程第二章第二章 2022 內(nèi) 容 索 引 必備知識必備知識 預(yù)案自診預(yù)案自診 關(guān)鍵能力關(guān)鍵能力 學(xué)案突破學(xué)案突破 必備知識必備知識 預(yù)案自診預(yù)案自診 【知識梳理知識梳理】 1.函數(shù)的零點 (1)定義:一般地,如果函數(shù)y=f(x)在處的函數(shù)值等于零,即 ,則稱為函數(shù)y=f(x)的零點. (2)函數(shù)零點的等價關(guān)系 方程f(x)=0有實數(shù)根函數(shù)y=f(x)的圖像與有交點函數(shù)y=f(x) 有. (3)是函數(shù)f(x)零點的充分必要條件是是函數(shù)圖像與x軸的公共 點. 實數(shù) f()=0 x軸 零點 (,0) 2.二次函數(shù)的零點及其與對應(yīng)方程、不等式解集之間的關(guān)系 一般地,由一元

2、二次方程解集的情況可知,對于二次函數(shù) f(x)=ax2+bx+c(a0): (1)當(dāng)=b2-4ac0時,方程ax2+bx+c=0的解集中有兩個元素x1,x2,且x1,x2是f(x) 的兩個零點,f(x)的圖像與x軸有兩個公共點(x1,0),(x2,0); (2)當(dāng)=b2-4ac=0時,方程ax2+bx+c=0的解集中只有一個元素x0,且x0是f(x) 唯一的零點,f(x)的圖像與x軸有一個公共點; (3)當(dāng)=b2-4ac0時,方程ax2+bx+c=0沒有實數(shù)根,此時f(x)無零點,f(x)的圖 像與x軸沒有公共點. 3.函數(shù)零點存在定理 如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上的圖像是,并且 (

3、即在區(qū)間兩個端點處的函數(shù)值異號),則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間 (a,b)中,即x0(a,b),f(x0)=0. 連續(xù)不斷的 f(a)f(b)0 至少有一個零點 4.用二分法求函數(shù)零點近似值的步驟 在函數(shù)零點存在定理的條件滿足時(即f(x)在區(qū)間a,b上的圖像是連續(xù)不 斷的,且f(a)f(b)0),給定近似的精確度,用二分法求零點x0的近似值x1,使得 |x1-x0|的一般步驟如下: 常用結(jié)論 1.f(a)f(b)0是y=f(x)在閉區(qū)間a,b上有零點的充分不必要條件. 2.若函數(shù)f(x)在a,b上是單調(diào)函數(shù),且f(x)的圖像連續(xù)不斷,則f(a)f(b)0函 數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上有且只有一個零

4、點. 【考點自診考點自診】 1.判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“”,錯誤的畫“”. (1)函數(shù)f(x)=x2-1的零點是(-1,0)和(1,0).() (2)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a0)在b2-4ac0時沒有零點.() (3)只要函數(shù)有零點,我們就可以用二分法求出零點的近似值.() (4)已知函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)圖像連續(xù)且單調(diào),若f(a)f(b)0,則函數(shù)f(x)在a,b 上有且只有一個零點.() (5)函數(shù)y=2sin x-1的零點有無數(shù)多個.() 2.函數(shù)y=x2-2x+m無零點,則m的取值范圍為() A.(-,1)B.(-,-1) C.(1,+)D.(-1,+) 答案 C

5、解析 由=(-2)2-4m1,故選C. 3.(2020山東濟(jì)南二模,2)函數(shù)f(x)=x3+x-4的零點所在的區(qū)間為() A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3) 答案 C 解析 易知函數(shù)f(x)=x3+x-4在R上單調(diào)遞增,因f(0)=-40,f(1)=-20,故函數(shù)在(1,2)上有唯一零點.故選C. 4.方程2x+3x=k的解都在1,2)內(nèi),則k的取值范圍為() A.5,10)B.(5,10C.5,10 D.(5,10) 答案 A 解析 令函數(shù)f(x)=2x+3x-k,則f(x)在R上是增函數(shù).當(dāng)方程2x+3x=k的解在(1,2) 內(nèi)時,f(1)f(2)0,即(5-k)(

6、10-k)0,解得5k10.當(dāng)f(1)=0時,k=5,故選A. 5.(2020天津和平區(qū)一模)已知x表示不超過實數(shù)x的最大整數(shù),g(x)=x為取 整函數(shù),x0是函數(shù)f(x)=ln x+x-4的零點,則g(x0)=. 答案 2 解析函數(shù)f(x)=ln x+x-4在定義域(0,+)上單調(diào)遞增,且其圖像是連續(xù)不斷 的,f(e)=1+e-40, 函數(shù)的零點所在的區(qū)間為(e,3),g(x0)=x0=2. 關(guān)鍵能力關(guān)鍵能力 學(xué)案突破學(xué)案突破 考點考點1 1判斷函數(shù)零點所在的區(qū)間判斷函數(shù)零點所在的區(qū)間 【例1】 (1)(2020陜西西安中學(xué)八模,理4)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù),可以判定方 程ex-x-2=0的一個根

7、所在的區(qū)間為(k,k+1)(kN),則k的值為() A.-1B.0C.1D.2 (2)設(shè)定義域為(0,+)內(nèi)的單調(diào)函數(shù)f(x),對任意的x(0,+),都有ff(x)-ln x=e+1,若x0是方程f(x)-f(x)=e的一個解,則x0可能存在的區(qū)間是() A.(0,1) B.(e-1,1) C.(0,e-1)D.(1,e) x-10123 ex0.3712.727.3920.09 x+212345 答案 (1)C(2)D 解析 (1)令f(x)=ex-x-2,由表格知f(1)0,所以方程ex-x-2=0的一個零點 所在的區(qū)間是(1,2),所以k=1,故選C. 解題心得判斷函數(shù)y=f(x)在某個

8、區(qū)間上是否存在零點,常用以下方法: (1)解方程:當(dāng)對應(yīng)方程易解時,可通過解方程,觀察方程是否有根落在給定 區(qū)間上. (2)利用函數(shù)零點存在定理進(jìn)行判斷:首先看函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上的圖 像是否連續(xù),然后看是否有f(a)f(b)0.若有,則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)必有 零點,若沒有,則不一定有零點. (3)通過畫函數(shù)圖像,觀察圖像與x軸在給定區(qū)間上是否有交點來判斷. 對點訓(xùn)練1(1)(2020遼寧沈陽二中五模,文6)函數(shù)f(x)=ln(x+1)- 的一個零點 所在的區(qū)間是() A.(0,1) B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4) (2)如圖是二次函數(shù)f(x)=x2-bx

9、+a的部分圖像,則g(x)=ex+f(x)的零點所在的 大致區(qū)間是() A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3) 答案 (1)B(2)B 解析 (1)f(1)=ln 2-2ln e-1=0,即f(1)f(2)0,函數(shù)f(x)的零 點在區(qū)間(1,2)上.故選B. (2)由圖像知 1,得1b2,f(x)=2x-b,所以g(x)=ex+f(x)=ex+2x-b,由 g(0)=1-b0,所以g(0)g(1)0,則g(x)的零點在區(qū)間(0,1)上,故 選B. 考點考點2 2判斷函數(shù)零點的個數(shù)判斷函數(shù)零點的個數(shù) 【例2】 (1)函數(shù)f(x)=2x|log0.5x|-1的零點個數(shù)為(

10、) A.1B.2C.3D.4 (2)(2020廣東肇慶二模,理11)已知函數(shù)f(x)為定義域為R的偶函數(shù),且滿足 f(1+x)=f(1-x),當(dāng)x-1,0時,f(x)=-x,則函數(shù)F(x)=f(x)+ 在區(qū)間-9,10上 零點的個數(shù)為() A.10B.12 C.18D.20 答案 (1)B(2)A 解題心得判斷函數(shù)零點個數(shù)的方法 (1)解方程法:若對應(yīng)方程f(x)=0可解時,通過解方程,有幾個解就有幾個零點. (2)零點存在定理法:利用定理不僅要判斷函數(shù)的圖像在區(qū)間a,b上是連續(xù) 不斷的曲線,且f(a)f(b)0,還必須結(jié)合函數(shù)的圖像與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶 性、周期性、對稱性)才能確定函數(shù)有多

11、少個零點. (3)數(shù)形結(jié)合法:轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖像的交點個數(shù)問題.先畫出兩個函數(shù) 的圖像,再看其交點的個數(shù),其中交點的個數(shù)就是函數(shù)零點的個數(shù). 對點訓(xùn)練2(1)(2020山東青島二模,8)已知圖像連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)的定義域 為R,且f(x)是周期為2的奇函數(shù),y=|f(x)|在區(qū)間-1,1上恰有5個零點,則f(x)在 區(qū)間0,2 020上的零點個數(shù)為() A.5 050B.4 041 C.4 040D.2 020 (2)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且對于任意的x0,+),滿足 f(x+2)=f(x),若當(dāng)x0,2)時,f(x)=|x2-x-1|,則函數(shù)y=f(x)-1在區(qū)間-2,4上

12、的零 點個數(shù)為. 答案 (1)B(2)7 解析 (1)由f(x)是定義域為R的奇函數(shù),得f(0)=0,由f(x)的周期為2,得 f(0)=f(2)=f(2 020)=0,由y=|f(x)|是偶函數(shù),得其圖像關(guān)于y軸對稱,由y=|f(x)|在 -1,1上恰有5個零點,則y=|f(x)|在-1,0)和(0,1上各有兩個零點,因f(x)的周期為2, 所以y=|f(x)|的周期為1,所以y=|f(x)|在(1,2上也有兩個零點,同理在(2,3,(2 019,2 020上各有兩個零點.因為函數(shù)|f(x)|的圖像是由f(x)的圖像關(guān)于x軸對稱到x 軸上面,故兩個函數(shù)的零點個數(shù)相等,則f(x)在區(qū)間0,2

13、020上的零點個數(shù)為 1+2 0202=4 041. (2)由題意作出y=f(x)在區(qū)間-2,4上的圖像,如圖所示, 可知與直線y=1的交點共有7個,故函數(shù)y=f(x)-1在區(qū)間 -2,4上的零點個數(shù)為7. 考點考點3 3函數(shù)零點的應(yīng)用函數(shù)零點的應(yīng)用 (多考向探究多考向探究) 考向1已知函數(shù)零點所在區(qū)間求參數(shù) 解題心得對于已知函數(shù)零點所在區(qū)間求參數(shù)的問題:若已知函數(shù)在所給區(qū) 間上連續(xù)且單調(diào),則由零點存在定理列出含參數(shù)的不等式,求出參數(shù)的范圍; 若已知函數(shù)在所給區(qū)間上不單調(diào),則要作出函數(shù)的圖像利用數(shù)形結(jié)合法求 參數(shù)的范圍. 對點訓(xùn)練3(1)已知函數(shù)f(x)=2ax-a+3,若x0(-1,1),f

14、(x0)=0,則實數(shù)a的取值 范圍是() A.(-,-3)(1,+)B.(-,-3) C.(-3,1)D.(1,+) (2)若函數(shù)f(x)=4x-2x-a,x-1,1有零點,則實數(shù)a的取值范圍是. 解析 (1)由f(x)=2ax-a+3,若x0(-1,1),f(x0)=0,可得f(-1)f(1)0,即(-3a+3) (a+3)0,且a1)與一次函數(shù) y=x的圖像恰好有兩個不同的交點,則實數(shù)a的取值范圍是. 解析 (1)令f(x)=t,則t2-2at+3a=0,作出函數(shù)f(x)和直線y=t的圖像如圖所示, 由圖像可知y=t與y=f(x)最多有3個不同交點,又當(dāng)x0時,2x+1+22, 要使關(guān)于x

15、的方程f(x)2-2af(x)+3a=0有6個不相等的實數(shù)根,則t2-2at+3a=0 有兩個不同的根t1,t2(2,4,設(shè)g(t)=t2-2at+3a由根的分布可知, 解題心得已知函數(shù)有零點(方程有根),求參數(shù)的取值范圍常用的方法: (1)直接法:直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式,再通過解不等式確 定參數(shù)范圍. (2)分離參數(shù)法:先將參數(shù)分離,再轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決. (3)數(shù)形結(jié)合法:先對解析式變形,在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖 像,再數(shù)形結(jié)合求解. 對點訓(xùn)練4(1)(2020天津河北區(qū)一模,9)已知函數(shù) 若函數(shù) g(x)=f(x)-x-a有3個零點,則實數(shù)a的取值范圍是() A.0,2)B.0,1) C.(-,2D.(-,1 (2)(2020山東濟(jì)寧5月模擬,16)設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),xR都有 f(2-x)=f(2+x),且當(dāng)x0,2時,f(x)=2x-2.若函數(shù)g(x)=f(x)-loga(x+1)(a0,a1) 在區(qū)間(-1,9內(nèi)恰有三個不同零點,則實數(shù)a的取值范圍是. 解析 (1)函數(shù)g(x)=f(x)-x-a有3個零點,等價于方程 f(x)-x-a=0有3個實數(shù)根,即方程a=f(x)-x