高中數(shù)學題型全面歸納空間角與距離37改

1、第七節(jié)空間角與距離考綱解讀1. 掌握各種角的定義，弄清異面直線所成的角與兩直線所成的角，二面角與二面角的平面角，直線與平面所成的角和斜線與平面所成的角，二面角與兩平面所成的角的聯(lián)系與區(qū)別 ，弄清他們各自的取值范圍。2. 細心體會求空間角的轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合思想，熟練掌握平移，射影等方法。命題趨勢探究異面直線所成角， 線面角， 二面角時高考中考查的熱點， 解答與空間角有關(guān)的問題時既可用傳統(tǒng)法， 又可用向量法。 在新課程標準下， 對立體幾何的基本理論知識要求有所降低，因此應用向量這一工具解題更為重要，特別是要熟練掌握利用空間圖形的特殊性，構(gòu)造適當?shù)目臻g直角坐標系解決問題的方法，并能靈活應用?？臻g角是立

2、體幾何中的一個重要概念， 它是空間圖形的一個突出量化指標， 是空間圖形位置關(guān)系的具體體現(xiàn)，故以高頻的考點出現(xiàn)在歷屆高考試題中，在選擇題，填空題及解答題中均有出現(xiàn)。知識點精講一、 空間角的定義和范圍（1）兩條異面直線所成角 的范圍是（0， ，當 =時，這兩條異面直線互相垂直。22（ 2） 斜線 AO 與它在平面 內(nèi)的射影 AB 所成角 叫做直線與平面所成的角。平面的斜線和平面所成的角，是這條斜線和這個平面內(nèi)的任一直線所成角中最小的角，如果直線和平面垂直，那么直線與平面所成的角為；如果直線和平面平行或直2線在平面內(nèi)，那么就是直線和平面所成的角為0.直線和平面所成的角的范圍為0， 2 ；斜線和平面所

3、成的角的范圍為(0,).2（3）從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的角叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面，棱為做 - l-，二面角的范圍是0,l ，兩個平面分別為 ， 的二面角記（4）一個平面垂直于二面角的公共棱l ，且與兩個半平面的交線分別是射線OA， OB，則 AOB 叫做二面角的平面角，平面角是直角的二面角叫做直二面角，相交成直二面角的兩個平面垂直。二、 點到平面距離的定義點到平面的距離即點到它在平面內(nèi)的正射影的距離。題型歸納及思路提示題型 118 空間角的計算思路提示求解空間角如異面直線所成角， 直線與平面所成角， 二面角的平面角的大小； 常用的方法有：（ 1

4、）定義法；（ 2）選點平移法； （3）垂線法：（ 4）垂面法；（5）向量法。一、異面直線所成的角方法一：通過選點平移法將異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為共面相交的兩直線的夾角來求解，但要注意兩條異面直線所成角的范圍是（0， 。2方法二：向量法，設(shè)異面直線a 和 b 的方向向量為 a 和 b ，利用夾角余弦公式可求得 a 和 b 的夾角大小 ，且 cos=| cos| a b |。a, b |a |b |例 8.59 【2016 高考新課標理】 平面 過正方體 ABCD - A1B1C1D1 的頂點 A，/平面 CB1D1， I 平面 ABCD =m， I 平面 ABB1 A1=n，則 m，n 所成角的正

5、弦值為3231ABCD2233變式 1 如圖 8-219 所示 ,在長方體 ABCD A1 BC1 1D1 中 , ABAD 1, AA1 2, M 是棱CC1 的中點 ,求異面直線 A1 M 和 C1 D1 所成的角的正切值 .變 式2如 圖8-220 所示 ,在三棱柱 ABC A1 B1C1中, H 是正方形 AA1B1B 的中心, AA22,CH平面 AABB,CH5 ,求異面直線AC 與 A B 所成角的余弦值 .1111111例 8.60（ 2017全國卷理）已知直三棱柱ABC A1B1C1 中，ABC 120 ， AB2 ，BC CC1 1，則異面直線AB1 與 BC1 所成角的余

6、弦值為 ()3B.15103A.5C.D.253變式如圖所示， 已知正方體ABCDA BC D ，點 是正方形 BCC B111111的中心，點 是棱 AA1 的中點，設(shè) E1 ,G1 分別是 ，在平面 DCC1D1 內(nèi)的正投影。求異面直線 E1G1 與所成角的正弦值。變式 2 如圖 8-225 所示，在四棱錐P-ABCD 中，底面 ABCD 是矩形， PA底面 ABCD ,E是 PC 的中點。已知AB=2,AD= 22 ,PA=2. 求異面直線BC 與 AE 所成的角的大小.二、直線與平面所成的角方法一 :( 垂線法 )直線與平面所成的角就是直線與此直線在平面內(nèi)的射影直線所成的角過直線上一點

7、作出平面的垂線,得到垂足 ,而射影直線就通過斜足與垂足,因此作出平面的垂.線是必要的一步.具體步驟是 : 先作出該角; 在直角三角形中求解.方法二 :( 向量法 ) 直線與平面所成的角為直線的方向向量與平面的法向量所成的銳角的余角 .如圖 8-226 所示，設(shè)直線 l的方向向量為 l1 ，平面 的法向量為 n ，直線 l 和平面 所成的角為 ，則 + =,或 -=,因為 的取值范圍是 0, ，所以222sin | cos l1, nl1n|.| l1 | n |方法三：（點面距法）利用相關(guān)方法求出直線上一點到平面的距離d，再求出此點與斜足間的距離 l,設(shè)直線和平面所成角的大小為 ，則 sind

8、.l例 8.61 （ 2017 天津文 17）如圖，在四棱錐 PABCD 中， AD平面 PDC ，AD BC ，PD PB， AD1， BC 3， CD4， PD2P（）求異面直線AP 與 BC 所成的角的余弦值（）求證： PD平面 PBC（）求直線AB 與平面 PBC 所成角的正弦值CBDA變式 1 如圖 8-229 所示，在棱長為 2 的正方體 ABCDA1BC11D1 中，點 E 是 BC1 的中點. 求 DE 與平面 ABCD 所成角的正切值 .變式 2 如圖 8-230 所示，在三棱錐V-ABC 中， VC底面 ABC，AC BC，點 D 是 AB的中點，且 AC=BC= ， VD

9、C = (0) .當變化時 ,求直線 BC 與平面 VAB 所成角2的取值范圍 .變式 3 如圖 8-231 所示 ,在 RtAOB 中， AOB=,斜邊 AB=4,Rt AOC 可以通過 Rt6AOB 以 AO 為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角B-AO-C 是直二面角，動點D 在斜邊 AB 上，求 CD 與平面 AOB 所成角正切的最大值 .三、二面角的平面角求二面角的平面角的方法有：(1) 根據(jù)定義，即在公共棱上取一點分別在兩個半平面內(nèi)作棱的垂線， 兩條垂線所成的角即為二面角的平面角； （ 2）利用三垂線定理及其逆定理； （ 3）當二面角由兩個等腰三角形構(gòu)成時， 利用底邊的額兩條中線； （4）求正棱

10、錐側(cè)面夾角時利用三角形全等；（5）在直棱柱中求截面與底面夾角時，用二面角的面積射影定理S射S 斜 | cos | ，其中為二面角的大小 ;(6) 利用空間向量求解二面角，轉(zhuǎn)化為兩個平面的法向量夾角，公共棱不明顯的二面角常用此法來求，但應注意法向量n1 ， n2 的夾角與二面角的大小是相等或互補的（需要根據(jù)具體情況判斷想等或互補）。例8.62 .（ 2017 全國卷理）如圖，四棱錐PABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD ，ABBC1AD，BADABC900， E 是PD的中點。2（1）證明：直線CE平面PAB；（2）點M 在棱PC上，且直接BM與底面ABCD所成角為450，求二

11、面角MABD的余弦值.變式1 如圖8-234所示 ,在四面體OABC中， OC OA, OC OB, AOB=120，且OA=OB=OC= 1,求二面角O-AC-B的平面角的余弦值.變式 2 如圖 8-235 所示 ,四棱錐 S-ABCD 的底面是正方形,SD平面 ABCD ，SD= 2a，AD =2a（a0）DE =a(02)。點 E 是 SD 上的點，且設(shè)二面角 C-AE-D 的大小為，直線 BE 與平面 ABCD 所成角為，若 tan tan1 ，求值。變式 3如圖 8-236 所示，正方形 ABCD 和四邊形 ACEF 所在的平面互相垂直， CE AC，EFAC,AB2,CEEF1 二

12、面角A-BE-D的大小.,例 8.63（ 2017 天津理）如圖，在三棱錐 PABC 中， PA 平面 ABC ，BAC 90，點D, E, N 分別為棱 PA, PC, BC 的中點， M 是線段 AD 的中點， PAAC4， AB2（）求證： MN 平面 BDE（）求二面角 C EMN 的正弦值（）已知點 H 在棱 PA 上，且直線 NH 與直線 BE 所成的角的余弦值為7，求線段 AH21的長PDEMACNB變式1 如圖8-239所示，四棱錐S-ABCD中 ，SD平面ABCD,ABDC,AD DC ，AB=AD =1，DC =SD=2， E 為棱SD上的一點，平面EDC平面SBC，求二面

13、角A-DE-C的大小。變式 2 如圖 8-240 所示，已知正三棱柱ABC A1 B1C1 的各棱長都是4，E 是 BC 的中點，動點 F 在側(cè)棱 CC1 上，且不與點 C 重合，設(shè)二面角C-AF-E 的大小為，求 tan 的最小值。變式 3 如圖 8-241 所示，在三棱錐 P-ABC 中，AB=AC ，D 為 BC 的中點，PO平面 ABC，垂足 O 落在線段 AD 上 .若 BC=8,PO=4,AO=3,OD=2,求二面角 B-AP-C 的大小 .例 8.64（ 2016 年新課標I 理 18）如圖，在已A， B， C， D， E， F 為頂點的五面體中，面ABEF為正方形，AF=2FD

14、 ，AFD90，且二面角D-AF-E 與二面角C-BE -F 都是60（I ）證明平面（II ）求二面角ABEFEFDC ；E-BC -A 的余弦值變式 1 如圖 8-244 所示，四棱錐 P-ABCD 中，底面 ABCD 為平行四邊形， DAB =60， AB= 2AD,PD 底面 ABCD 。若 PD=AD ，求二面角 A-PB-C 的余弦值 .變式 2 如圖 8-245 所示，在四棱錐P-ABCD 中， PA平面 ABCD ，底面 ABCD 為棱形，AB=2 ，BAD600 ,當平面 PBC 與平面 PDC 垂直時，求PA 的長。變式3如圖8-246所示，四棱錐P-ABCD中，PA平面A

15、BCD，BC=CD=2,AC=4,ACDACB600,F 為PC的中點，AFPB .(1) 求 PA 的長；(2) 求二面角 B-AF-D 的正弦值。變式 4 如圖 8-247 所示，四棱柱ABCD A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形， O 為底面中心，OA1 平面 ABCD ， AB AA12 ,(1) 證明： A1C 平面 BB1D1 D ;(2) 求平面 OCB1 與平面 BB1D1D 的夾角的大小。題型 119點到平面距離的計算思路提示求解點到平面的距離，常用方法有:(1) 定義法，作出點到免的垂線， ，垂線段的長度就是點到平面的距離，通常是借助某個直角三角形來求解。(2)

16、轉(zhuǎn)化法，利用等體積法或者線面平行的位置關(guān)系，將點A 到平面的距離轉(zhuǎn)化為與其相關(guān)的點 B 到平面的距離。(3) 向量法，點 P 為平面外一點，點 Q 為平面上的任一點， n 為平面的法向量，點 P到平面的距離 d| PQn |。| n |例 8.65 如圖 8-248所示，在三棱錐 P-ABC 中， AC=BC=2,ACB90 0,AP=BP=AB,PCAC ,求點 C 到平面 PAB 的距離。變式1如圖8-250所示，在四棱錐O-ABCD中，底面ABCD是邊長為1 的棱形，ABC450 ， OA底面ABCD,OA=2, 求點B 到平面OCD的距離。變式 2 如圖 8-251 所示，四棱錐 P-

17、ABCD 為矩形， PA底面 ABCD, PA AB6 ，求直線 AD 與平面 PBC 的距離。例 8.66 如圖 8-252 所示，正三棱柱ABC A1B1C1 的所有棱長都為2，D 為 CC1 的中點，求點 C 到平面 A1BD 的距離。變式1如圖8-253所示，在四棱錐P-ABCD中，PD底面 ABCD, PDDCBC1, AB / CD,BCD900,點 A到平面PBC 的距離 .變式 2如圖 8-254 所示，三角形 BCD 與三角形 MCD 都市邊長為2 的正三角形，平面 MCD平面 BCD ， AB面 BCD ， AB2 3 ，求點 A 到平面 MBC 的距離。例 8.67如圖

18、8-255所示，在直三棱柱 ABC A1B1C1 中，底面是等腰直角三角形，且 AC=2 ，ACB90 0 ,側(cè)棱A A1=2,D,E 分別是 CC1 與 A1B 的中點。求點 A1 到平面 AED的距離。變式 1如圖 8-257 所示，已知 ABCD A1B1C1D1 是底面邊長為1 的正四棱柱， O1 為 A1C1與 B1D1的交點，若點C 到平面 AB 1D1 的距離為4 ，求正四棱柱ABCD A1B1C1D1 的高。3變式2如圖8-258所示，四棱錐P-ABCD中 PA底面 ABCD, 四邊形ABCD中，ADAB,AB+AD=4,CD2,CDA450,AB=AP。（ 1）若直線 PB

19、與平面 PCD 所成的角為 300 ，求線段 AB 的長；（ 2）在線段 AD 上是否存在一個點 G，使得點 G 到點 P,B,C,D 的距離相等？說明理由。最有效訓練題37（限時 45 分鐘）1.正方體 ABCD A1B1C1D 1 中 AB=A 1A=2,AD=1,E 為 CC1的中點，則異面直線BC1 與 AE所成角的余弦值為（）A. 10B.30C. 215D.3 10101010102.如圖 8-259 所示，在正三棱柱ABC A1B1C1 中， AB =A 1A ，則 AC 1與平面 BC C1 B1 所成角的正弦值為（）A.2B.15C .6D . 625433.已知兩平面的法向量分別為m (0,1,0), n (0,1,1), ，則兩平面所成的二面角為（）A.450B.1350C.450或1350D.9004.二面角的棱上有A,B 兩點，直線 AC,BD 分別在這個二面角的兩個面內(nèi)，且都垂直與AB ，已知 AB=4,AC=6,BD=8,CD=217 ,則該二面角的大小為（）A.1500B.450C.600D.12005.如圖 8-260 所示，正方體ABCD A1B1C1D1 的棱長為1，O 為底面 A1B1C1D 1 的中心，則點O 到平面 ABC1D 1 的距離為（）1223A.B.C .D .24226.正四棱錐