數(shù)列通項(xiàng)公式的求法

1、數(shù)列通項(xiàng)公式的求法集錦非等比、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，題型繁雜，方法瑣碎結(jié)合近幾年的高考情況，對(duì) 數(shù)列求通項(xiàng)公式的方法給以歸納總結(jié)。一、累加法形如an an 1 f(n)(n=2、3、4)且f f(2) . f(n 1)可求，則用累加法求an。有時(shí)若不能直接用，可變形成這種形式，然后用這種方法求解。例1. 在數(shù)列an中，a1=1,anan 1n 1 (n=2、3、4)，求 an的通項(xiàng)公式。解： na2a11a3a2a4a3n-1個(gè)等式累加得：an a1.(n-1 )=叫anan 1 na1-且a11也滿足該式 an(nN ).例2.在數(shù)列an中，a1=1, a* 1(n N ),求an。解:

2、n=1時(shí),印=12 時(shí),a2a3a2a4a322223以上n-1個(gè)等式累加得n 1anan 12ana12 222n1 = 21 = 21 22，故 an 22a12n1且a11也滿(n N )。形如衛(wèi)f (n)an 1(n=2、3、4)，且f(1) f(2)f(n1)可求，則用累乘法足該式 二、累乘法求an。有時(shí)若不能直接用，可變形成這種形式，然后用這種方法求解。例3 .在數(shù)列 an中，a1=1, an 1nan ,求 an。解：由已知得旦口n ，分別取n=1、2、3(n-1),代入該式得n-1個(gè)等式累乘，即a2 a3a3an=1 x 2 x 30x (n-1)=(n-1)!所以時(shí)，電 (n

3、 1)!故an (n 1)! a1且 a10! =1 也適用該式 an (n 1)! (n N ).例4 已知數(shù)列 an滿足a1= 2 , an 1 an，求an。3n 1解：由已知得 旦 ，分別令n=1, 2, 3,.(n-1),代入ann 1a2 a3 a4an123n 1上式得n-1個(gè)等式累乘，即 一.一.-=.a1 a2 a312 3 4nan12 、2所以，又因?yàn)閍也滿足該式，所以 an印n33n三、構(gòu)造等比數(shù)列法原數(shù)列 an既不等差，也不等比。若把 an中每一項(xiàng)添上一個(gè)數(shù)或一個(gè)式子構(gòu)成新數(shù)列，使之等比，從而求出an。該法適用于遞推式形如 an1 = ban c或an1 = ban

4、f n或an 1 = ban cn其中b、c為不相等的常數(shù)，f n為一次式。N )，求數(shù)列 an例5、( 06福建理22 )已知數(shù)列 an滿足a1=1, an 1= 2an 1 (nan的系數(shù)2的等比數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：構(gòu)造新數(shù)列 an p，其中p為常數(shù)，使之成為公比是即 an 1 p =2(an p)整理得：an 1 = 2anp使之滿足 an 1= 2an 1 p=1即an 1是首項(xiàng)為a1 1=2, q=2的等比數(shù)列 an 1 = 2 2n 1an =2n 13 a例 6、( 07 全國(guó) 理 21)設(shè)數(shù)列an的首項(xiàng) a1 (0,1) , an= 口，n=2、3、42()求 an的通項(xiàng)公式。

5、1解：構(gòu)造新數(shù)列anp，使之成為q的等比數(shù)列口“1133 an 1即 an p= 2 (an 1 p)整理得：an = 2 an 1 - p 滿足 an=2等比數(shù)列- p=-1即新數(shù)列an印 D()n111首項(xiàng)為ai 1, q 的2故 an=(ai 1) ( 1) 1+122)例 7、(07全國(guó) 理 22)已知數(shù)列 an中，a1=2, an1=(.21)(an()求 an的通項(xiàng)公式。解：構(gòu)造新數(shù)列 an p，使之成為q . 21的等比數(shù)列an 1 P=(、2 1) (an p)整理得：an 1=G. 2 1)an + (、2 2)p使之滿足已知條件an1 = c、2 1) an +2 G-2

6、1) G.2 2)p 2.2 1)解得P . 2 an.2是首項(xiàng)為2 .2 q 、2 1的等比數(shù)列，由此得an.2 = (2.2) ( J 1)n 1 an=、2(、2 1)n .2例8、已知數(shù)列an中，a1=1, an1 = 2an 3n，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。分析：該數(shù)列不同于以上幾個(gè)數(shù)列，該數(shù)列中含3n是變量，而不是常量了。故應(yīng)構(gòu)造新數(shù)列an3n，其中 為常數(shù)，使之為公比是 an的系數(shù)2的等比數(shù)列。解：構(gòu)造數(shù)列an3n, 為不為0的常數(shù)，使之成為q=2的等比數(shù)列即 an 13n1 = 2(an3n)整理得：an1=2an(23n3n1)滿足an1 = 2an3n得23n3n13n1新數(shù)列3n

7、是首項(xiàng)為a1 3=2, q=2 的等比數(shù)列 an 3=2 2 an = 3 2n3n 1，求數(shù)列的通項(xiàng)an 。例 9、( 07 天津文 20)在數(shù)列an中，a1=2, an 1 = 4an解:構(gòu)造新數(shù)列ann，使之成為q=4的等比數(shù)列，則an 1 (n 1) = 4(an n)整理得：an 1= 4an 3 n 滿足 an 1 = 4an 3n 1，即 3 n3n 1 得1 新數(shù)列an n的首項(xiàng)為a111, q=4的等比數(shù)列n 1n 1 an n 4an 4 n四、構(gòu)造等差數(shù)列法n 1數(shù)列 an既不等差，也不等比，遞推關(guān)系式形如an 1 ban b f (n),那么把兩邊an。同除以bn 1后

8、，想法構(gòu)造一個(gè)等差數(shù)列，從而間接求出例 10. (07 石家莊一模)數(shù)列 an滿足 an 2an 1 2 1 (n 2)且 a4 81。求(1)印、a2、a3 (2)是否存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使此數(shù)列篤 為等差數(shù)列？若存在求出的值及an ； 若不存在，說(shuō)明理由。1 =33 得 a? =13 ；解：(1)由 a4 = 2a3 21 =81 得 a3 =33 ；又 a3= 2a2 22又t a2 = 2a121 =13 ,. a1 =5(2)假設(shè)存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使此數(shù)列2_為等差數(shù)列an 1an 2an 12門 1=?n2n 12n12n該數(shù)為常數(shù)1 即旦異為首項(xiàng)即2，d=1的等差數(shù)列an 1亍=2+51)

9、 1=n+1 an = (n 1) 2n 1例11、數(shù)列 an滿足an 1 =2ann 1(2)(n N),首項(xiàng)為 a12，求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式。解：an 1= 2an (2)n1兩邊同除以(2)n1得芳=冷+1數(shù)列占是首項(xiàng)為dr，d=1的等差數(shù)列舌=1+ (n 1) 1 n故 an = n( 2)n4)，試求數(shù)列 an例 12數(shù)列an中，a1 =5，且 an 3am 31(n=2、3、 的通項(xiàng)公式。解：構(gòu)造一個(gè)新數(shù)列備為常數(shù)，使之成為等差數(shù)列,即3nan 1亍d整理得an3an 1 3nd +3，讓該式滿足an 3an 13n 1 取d 3n 3n ,1，d=12a12，公差d=1的等差數(shù)

10、列。an 故12 3n(n 1)- an = (n -) 3n2例13、（07天津理21）在數(shù)列an中，a1=2,且an 1an(2 )2其中 0,（）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。解:n 1的底數(shù)與an的系數(shù)相同，則兩邊除以n 1得 an 1得2* 1n 12nnan1 2n1 an 2nn 1na仁.-n 2nn公差d=1的等差數(shù)五、列。0 (n1) n an(n 1) n2n。取倒數(shù)法有些關(guān)于通項(xiàng)的遞推關(guān)系式變形后含有anan1項(xiàng)，直接求相鄰兩項(xiàng)的關(guān)系很困難,兩邊同除以anan 1后，相鄰兩項(xiàng)的倒數(shù)的關(guān)系容易求得，從而間接求出例 14、已知數(shù)列 an, a1 =1, a* 1ann1 anN，求

11、 an=?解：把原式變形得an 1 an 1 an an兩邊同除以anan 1 得anan 1 4 是首項(xiàng)為 1, d= 1的等差數(shù)列故anan(n 1)( 1)3例15、（ 06江西理22）已知數(shù)列an滿足a12且an3nan 12an 1 n 1求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式。解：把原式變形成2anan 1 (n 1總 3n a. 1兩邊同除以anan 1得即an構(gòu)造新數(shù)列an，使其成為公比1q=的等比數(shù)列3即an3(3 an 1）整理得:an-滿足式使3an 133數(shù)列n11是首項(xiàng)為 1ana11丄的等比數(shù)列3n11 n 1a； 1(3)n ann 3no3n 1例16. (06江西文22)已知

12、各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列 an滿足:ai2an1ananan11且2 anann N求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。解：把原式變形為2an 1 ananan 1 (2anan1)兩邊同除以anan1得 2丄an an 12an an 1移項(xiàng)得:an 1an12Gan)所以新數(shù)列an是首項(xiàng)為q=2的等比數(shù)列。六利用公式an2n2解關(guān)于an的方程得Sn Sn 1 (n 2)求通項(xiàng)an13(21 Z-2n 2、29) o有些數(shù)列給出 an 的前n項(xiàng)和Sn與an的關(guān)系式Sn= f(an),利用該式寫出f (an 1)，兩式做差，再利用an 1 Sn 1 Sn導(dǎo)出an 1與an的遞推式，從而求出a例17.(07重慶21

13、題)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn滿足S1 1且6Sn =(an 1)(an 2) n N 求 an的通項(xiàng)公式。解：由an 11a1S1 =11)12)解得a1 =1 或 a1 =2,由已知a1S1 1,因此a1=2 又由611Sn 1 Sn =何 11)1 2) 1) 2)得66(an 1an)(an 1an 3) =0 an 0 an 1 an 3從而an是首項(xiàng)為2,公差為3的等差數(shù)列，故 an的通項(xiàng)為an =2+3(n-1)=3n-1.1例18.(07陜西理22)已知各項(xiàng)全不為0的數(shù)列 ak的前k項(xiàng)和為S，且Sk = akak1(k N )2其中a1=1，求數(shù)列ak的通項(xiàng)公式

14、。解：當(dāng)k=1時(shí),a1 S1=1a1a2 及 a1=1 得 a2=2 ； 當(dāng) k2 時(shí),2故 ak =k (k N ).2Sn ( n N ),求a.的通解：由 a1=l, a22S1=2，當(dāng)n 2時(shí)an = Sn盼弓時(shí)2an ）得一口 =3，因此 an 是an首項(xiàng)為a2=2,q=3的等比數(shù)列。故an = 2 3n 2 （n 2）,而a1=1不滿足該式1所以an =2(n=1)3n 2(n 2)例20.（06全國(guó)i理422）該數(shù)列 an的前n項(xiàng)和Sna.2* 1(n=1、2、3)求, 11/由 ak = SkSk1 = akak 1 ak1ak 得 ak(ak1 ak 1) =2 ak丁ak豐

15、 0 二ak1ak1 =2從而 a2m 1 =1+(m-1)2=2m-1 a2m =2+(m-1)2=2m ( m N ) 例19.（07福建文21）數(shù)列 an的前n項(xiàng)和為Sn, a1=1, an 1項(xiàng)公式。 an的通項(xiàng)公式。41解：由 Sn 3 an 3(n=1、2、3)得ai5 =茁所以a1 =2 再Sn1 =an 1將和相減得:an = Sn122“(n=2、3)33Sn 1 = 4 (an an 1) g (2332n)整理得an 2n 4(an 1n 12) (n=2、3)因而數(shù)列 an2是首項(xiàng)為ai 24 ,q=4的等比數(shù)列。即an2n = 4 4n 1 = 4n，因而 an4n

16、2n。七重新構(gòu)造新方程組求通項(xiàng)法有時(shí)數(shù)列 an和 bn的通項(xiàng)以方程組的形式給出，要想求出an與bn必須得重新構(gòu)造關(guān)于an和bn的方程組，然后解新方程組求得 an和bn。an例21. （07遼寧第21題）：已知數(shù)列an, bn滿足a1 =2, D=1且bn3an 141匚an 141bn 114_3bn 1 14（n 2），求數(shù)列 an, bn的通項(xiàng)公式。解析：兩式相加得 an bn an 1 bn 1 2則 an bn是首項(xiàng)為a1bi3 , d=2的等差數(shù)列，故 an bn =3+2(n-1)=2n+1(1)1 1 1而兩式相減得 an bn = a1 1 Un 1 = (an 1bn 1）則

17、a. 0是首項(xiàng)為印1b1=1，q=2的等比數(shù)列，故an1bn =()聯(lián)立（1）、（2）得ananm 2n 1d(1)n1由此得ann - )n，bnn 丄 (-)n。2 2 2 2分析該題條件新穎,給出的數(shù)據(jù)比較特殊,兩條件做加法、減法后恰好能構(gòu)造成等差或等比數(shù)列，從而 再通過(guò)解方程組很順利求出 an、bn的通項(xiàng)公式。若改變一下數(shù)據(jù)，又該怎 樣解決呢？下面給出一種通法。an 1 2an 6bn例 22.在數(shù)列 an、bn中 a1=2, b1=1，且(n N )求數(shù)列 an和 bnbn 1 an 7bn的通項(xiàng)公式。a.bn其中為解析：顯然再把 an 1與bn 1做和或做差已無(wú)規(guī)律可循。不妨構(gòu)造新

18、數(shù)列0的常數(shù)。則76人an 1bn1 = 2an6bn(an7bn )= (2) an + (76)bn= (2)(anbn )令76一 一得1 =2或2=3則 anbn為首項(xiàng)a1b1, q= +2的等比數(shù)列。2即1=2時(shí)， an 2bn是首項(xiàng)為4, q=4的等比數(shù)列，故a. 2bn=4x 4n 1 = 4n ;2=3時(shí)， an 3bn是首項(xiàng)為5, q=5的等比數(shù)列，故an 3bn=5 X 5n 1 = 5n聯(lián)立二式an2bn4 解得 an 3 4n 25n,bn5n4n。n7an 3 bn 5注：該法也可適用于例 21,下面給出例21的該種解法解：構(gòu)造新數(shù)列 anbn，則anbn = (3 1 )an1 +(丄4443gw )=蔦anbn 1(113令得1 =1或2 = 1即31=1時(shí)，新數(shù)列an bn中,anbn = an 1bn 1(an bn)(an 1 bn 1) 2新數(shù)列 an bn是首項(xiàng)為玄13 , d=2的等差數(shù)列 an bn = 3 2(n 1) = 2n 1(1)1當(dāng)2= 1時(shí)，新數(shù)列 an bn是首項(xiàng)為a d=1, q= 的等比數(shù)列二 anbn =聯(lián)立(1)、(2)anbn2nanbn得ann，tn例23.在數(shù)