矩陣基本性質(zhì)

1、矩陣的基本性質(zhì)矩陣啲第?第 咧的元素為。我們？卜或(/)表？的單位矩陣。1. 矩陣的加減法(1) 二二丄f,對(duì)應(yīng)元素相加減(2) 矩陣加減法滿足的運(yùn)算法則a. 交換律：b. 結(jié)合律：(A + k) +P = A+ (B + Oc. |扁二血d. -1;2. 矩陣的數(shù)乘(1) ，各元素均乘以常數(shù)(2) 矩陣數(shù)乘滿足的運(yùn)算法則a. 數(shù)對(duì)矩陣的分配律：b. 矩陣對(duì)數(shù)的分配律：|1c. 結(jié)合律： W =心-譏d.3. 矩陣的乘法(1) 卜1宀總寧叫能,左行右列對(duì)應(yīng)元素相乘后求和為C的第，行第小列的元素(2) 矩陣乘法滿足的運(yùn)算法則a. 對(duì)于一般矩陣不滿足交換律，只有兩個(gè)方正滿足且有J 1b. 分配律：

2、A W + G =Aff + ACc. 結(jié)合律：川r 1 !；d. 數(shù)乘結(jié)合律：;I打 I .打4. 矩陣的轉(zhuǎn)置 ,八(1) 矩陣的冪：才=aAA，川*1 = -4(/)(2) 矩陣乘法滿足的運(yùn)算法則b. (A +町丁 =刈+刃c. UA)T = A0T)d. (AB)T = XTBT5. 對(duì)稱矩陣：山廠二即二勺；反對(duì)稱矩陣:宀-A即 =-引(1)設(shè)為(反)對(duì)稱矩陣，則耳刁仍是(反)對(duì)稱矩陣。（2）設(shè) I；為對(duì)稱矩陣，則 二或I門仍是對(duì)稱矩陣的充要條件 （； = ；（3）設(shè) 為（反）對(duì)稱矩陣，則 ，=也是（反）對(duì)稱矩陣。（4）對(duì)任意矩陣A,則H三式A +巧$三?。ˋ +才）分別是對(duì)稱矩陣和反對(duì)

3、稱矩陣且 沖=H +工（5）-止6. Hermite 矩陣:”晶=A即* 知；反 Hermite 矩陣，力=一川 ipa ajtab. (A+ /c.d. (AB) H = AffBHT Te. ）=Af. （A”）= （A l）（當(dāng)A矩陣可逆時(shí)）7. 正交矩陣：若 ：,則疋園J是正交矩陣（1）:（2）J!- 二 二 1（3）AB, BA En n8. 酉矩陣：若An4 = AAtf = E,則是酉矩陣（1）山化嚴(yán)卜加丨（3）AB, BAeUnXnAI 匕 Jfn x n（4）- 19. 正規(guī)矩陣：若、1 V貝A是正規(guī)矩陣；若 二I：,貝卜i是實(shí)正規(guī)矩陣10. 矩陣的跡和行列式（1）川胡“珂產(chǎn)

4、5；內(nèi)為矩陣A的跡；|創(chuàng)或譏為行列式(7) II- I-(8) |刑=叩|(9) 11-1(10) : |(11) I心叮內(nèi)(12) E昭如G + HQhJ, g%則盯阿(1 +詢其中廠奇異分解值的特征值11. 矩陣的伴隨矩陣(1)設(shè)I r .由行列式卜的代數(shù)余子式1，所構(gòu)成的矩陣(2)AAr即12. 矩陣的逆(逆矩陣是唯一的)(1)A的逆矩陣記作 AA =找JA = /；(2) XI 丁 ：；(為非奇矩陣)時(shí)，1(3) MF*0且入*0,則M =詞由；丿，得汕入%；(5) 八若|州|A卜百(7)若 是非奇上(下)三角矩陣，則也上(下)三角矩陣 A-k = (Al)k(9) / h E Fm (10) U+AB) = B(I + BA) 1(11) Woodbury恒等式：1 忙門(-I；、 I 廠1 衛(wèi) (12) i!：，U lAU = UAU = Mfn#(久/J = A12.對(duì)角矩陣，矩陣刈為對(duì)稱矩陣，Q正交矩陣，則Q AQ = （片為對(duì)角矩陣,則A- 1 A - l./f vn 1 FA =A U =熱”1嚴(yán)片13.矩陣的導(dǎo)數(shù)dt)