解析幾何第四版習(xí)題答案第四章1講解

1、第四章 柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面 4.1柱面 1、已知柱面的準(zhǔn)線為： 222?25?23)?(1(x?)z?(y? ?x?y?z?2?0?xx?y,z?c，試求這些柱面的方程。2）母線平行于直線1且（）母線平行于 軸；（解：（1）從方程 222?252)?(z?x?1)3?(y?)( ?x?y?z?2?0?222x25?z?2)?(y?3)?(3(z?y? 中消去，得到：322?5z0z?yz?6yy? 即： 2 此即為要求的柱面方程。x?y?M(x,y,z)M且平行于直線的直線方程為：2（）取準(zhǔn)線上一點(diǎn) ，過(guò)?00000z?c?x?x?tx?x?t?00?y?y?y?y?tt ?00?

2、zz?z?z?00M 而在準(zhǔn)線上，所以0222?252)?(z)?(y?t?3)1(x?t? ?x?y?z?2t?2?0?222tx?y?3z?2xy?8x?8y?8z?26?0 后得到：上式中消去此即為要求的柱面方程。 2 M在準(zhǔn)線上，所以： 而022?)t?2?y?(zx?t ?x?t?2(z?2t)?222t4x?25y?z?4xz?20x?10z?0 ，得到：消去此即為所求的方程。 x?y?z,x?1?y?z?1,與x?1?y?1?z?2 的圓柱面方程。、求過(guò)三條平行直線3 解：過(guò)?)y,1,1,1zM(x,，且方向?yàn)橛诌^(guò)準(zhǔn)線上一點(diǎn)的直線方程為： 1111t?x?xx?tx?11?tt

3、?y?y?y?y? ?11?ttz?z?z?z?11t 將此式代入準(zhǔn)線方程，并消去得到：2220?2x?11y?5(x13?yz?zzx?xy?yz?) 此即為所求的圓柱面的方程。?ZS?,)X,Y(u)?ux(u),y(),z(u，母線的方向平行于矢量、已知柱面的準(zhǔn)線為4 試證明柱面的矢量式參數(shù)方程與坐標(biāo)式參數(shù)方程分別為：Sv(u)?x?Y 與Xv?(u)x?x?Yv?(u)y?y ?Zv?(u)z?z?vu, 式中的為參數(shù)。?(x(u),y(uMx,y,z),z(u)M(M，則，過(guò)的母線與準(zhǔn)線交于點(diǎn)證明：對(duì)柱面上任一點(diǎn)?M?vSM 即2x?2z?1?0,y?z?1?0的錐面方程。 、求頂點(diǎn)

4、在原點(diǎn)，準(zhǔn)線為1O),z(x,yMM的直線為：與解：設(shè)為錐面上任一點(diǎn)，過(guò) XYZ? xyztX?xt,Y?yt,Z?)X(,Y,Zzt，將它們代入準(zhǔn)線，即存在，使設(shè)其與準(zhǔn)線交于000000t，得： 方程，并消去參數(shù)22?)0z?y)2z(z?y?(x? 222x?y?z?0 即：此為所要求的錐面方程。 222x?y?z?1,x?y?z?0)1?,(3,2? ，試求它的方程。，準(zhǔn)線為、已知錐面的頂點(diǎn)為2),zM(x,y 解：設(shè)為要求的錐面上任一點(diǎn)，它與頂點(diǎn)的連線為：2Z?X?3Y?1? 2z?x?3y?1t)Z(X,Y, ，使令它與準(zhǔn)線交于，即存在000t3)3?(x?X?0?t)?(y?!Y?

5、1 ?0?t)?(z?2Z?2?0t 將它們代入準(zhǔn)線方程，并消去得：2220?4z?4xz?4x?43xy?5y?7zyz?6xy?2?10 此為要求的錐面方程。 4、求O)zy,M(x,M 的母線為：與頂點(diǎn)對(duì)錐面上任一點(diǎn)，過(guò)ZXY? zxytzt,Z?xt,Y?yt(X,Y,Z)X，將它們代入，使令它與準(zhǔn)線的交點(diǎn)為，即存在000000t 準(zhǔn)線方程，并消去得：0zx?xy?yz? 此即為要求的圓錐面的方程。0z?x?2y?2)1(3,4),2,1(,2 的圓錐面的方程。5、求頂點(diǎn)為垂直，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，軸與平面4?y?2z1x? 解：軸線的方程為： 122),32,1( 過(guò)點(diǎn)且垂直于軸的平面為：01

6、)?2)?(z?y(2x?3)?2( 0?112y?z?2x? 即：372011),(),2,1(3 ，它與該平面與軸的交點(diǎn)為的距離為： 999116372011222?)?(?1)?d(?3?(2) 3999? 要求圓錐面的準(zhǔn)線為：?zy,?x ，試證明錐面的矢量式參數(shù)方程與坐標(biāo)式參數(shù)方程分別為：的徑矢為0000?)?v)?(1?v(u 0與 x?vx(u)?(1?v)x?0?y?vy(u)?(1?v)y ?0?z?vz(u)?(1?v)z?0u,v為參數(shù)。式中， ?OM),zM(x,yA的連線交準(zhǔn)它與頂，令點(diǎn)線證明：對(duì)錐面上任一點(diǎn)于，?(u?)OM)z(u(x(u),y(u)M,?。 ，即

7、 ?0AMAM/AM（頂點(diǎn)不在準(zhǔn)線上），且 ?vAM?AM ?)?u?v()?( 即00 ?)v(1?(u)?v? 亦即0 此為錐面的矢量式參數(shù)方程。 若將矢量式參數(shù)方程用分量表示，即： x,y,z?vx(u),y(u),z(u)?(1?v)x,y,z 000x?vx(u)?(1?v)x?0?y?vy(u)?(1?v)y ?0?z?vz(u)?(1?v)z?0u,v為參數(shù)。此為錐面的坐標(biāo)式參數(shù)方程， 4.3旋轉(zhuǎn)曲面 1、求下列旋轉(zhuǎn)曲面的方程： x?1y?1z?1xyz?1?（1旋轉(zhuǎn) ）繞； 2?1?21111yz?1xyz?x? 繞旋轉(zhuǎn)；（2） 211211?z1x?y?z （3軸旋轉(zhuǎn)；）繞

8、33?12?z?x?z軸旋轉(zhuǎn)。繞 （4）空間曲線?22x?y?1?x?1y?1z?1M),xM(yz,? 的緯圓為：）設(shè)（解：1上任一點(diǎn)，過(guò)是母線 1111121?1(x?x)?(y?y)?2(z?z)?0(1)?111 ?222222(2)1)(z?1)?x?y?x?y?(z?111xyz?1111M?(3) 因 在母線上， 121?1x,y,z，得到：1）（3）消去 從（111222?12xy?24yz?24xz?24x?24y?46z5x?5y?23z23?0 此為所求的旋轉(zhuǎn)面的方程。 M(x,y,z)，過(guò)該點(diǎn)的緯圓為：（3）對(duì)母線上任一點(diǎn) 1111z?z(1)?1 ?222222(2)

9、zx?y?yx?z?111x?1yz111M? 又在母線上，所以：（3） 11?33x,y,z，得到： 從（1）（3）消去111222?6z?9)?10z9(x?y0 此為所求的旋轉(zhuǎn)面方程。 M)zy,M(x,的緯圓為：）對(duì)母線上任一點(diǎn)（4 ，過(guò)11111z?z(1)?1 ?222222(2)zx?y?xy?z?111M 在母線上，所以又12?(1)z?x?11 ?22(2)?xy?1?11x,y,z，得到：1）（3 ）消去從（11122?1?xy 2?1?0?zxz?z?1 11 22x?y?1(0?z?1) 即旋轉(zhuǎn)面的方程為： ?z?xy?,z可能的值討論這是什軸旋轉(zhuǎn)，求這旋轉(zhuǎn)面的方程，并

10、就2、將直線繞 ?01么曲面？ 解：先求旋轉(zhuǎn)面的方程式：M)z,y,M(x的緯圓為： ，過(guò)任取母線上一點(diǎn)11111z?z(1)?1 ?222222(2)y?z?z?x?x?y?111?z?xy111? 又 （3） ?01x,y,z，得到： ）（3）消去從（111122222?xz?y0? 此即為所求旋轉(zhuǎn)面的方程。 ?0,?0z軸為軸）；當(dāng) 時(shí)，旋轉(zhuǎn)面為圓柱面（以?0,0?z軸為軸，頂點(diǎn)在原點(diǎn)）當(dāng)； 時(shí)，旋轉(zhuǎn)面為圓錐面（以?,0z軸；時(shí)，旋轉(zhuǎn)面變?yōu)楫?dāng) ?0,0?時(shí)，旋轉(zhuǎn)面為單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面。 當(dāng)?)(uz?zy?y(u),(x?xu),z軸旋轉(zhuǎn)，將曲線，的參數(shù)方程為求旋轉(zhuǎn)曲繞3、已知曲線面的參數(shù)方

11、程。 ?p(x,yu),z)(M(x(u),yu),z(M，為 上任一點(diǎn)，則對(duì)經(jīng)過(guò)解：如圖，設(shè) 的緯圓上任一點(diǎn)z 4.4橢球面 222zyxx?2?0?1?與橢球面1、做出平面的交線的圖形。 M(x(u),y(u),z(u) 2494222zyx02?x?1?與橢球面解：平面的交線為： 249422?zy22?1?3zy? 27?3 橢 ，即944? 4?2?x?2x? x 圖形為 z?x zO y x?4(1,0,0)的距離的一半，試求此動(dòng)點(diǎn)的軌跡。的距離等于從這點(diǎn)到平面 2、設(shè)動(dòng)點(diǎn)與點(diǎn)?),zx,yM(，則解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)，要求的軌跡為 op?r,op?r,op?rp,pp,，試證：條兩兩相互垂

12、直的射線，分別交曲面，設(shè)312213321111111? 222222rrrabc312222?1iii?(i?1,2,3) 證明：利用上題結(jié)果，有 2222cbrai?op, 是的方向余弦。其中iiii?,2,3)1op(i?,是坐標(biāo)矢量關(guān)于所在的直線看成新的坐標(biāo)系的三個(gè)坐標(biāo)軸，則若將321i 222222222?1?1?1?， ，新坐標(biāo)系的方向余弦，從而同理，311223321 所以， 111111222222222?)?(?)?)?(?(? 323121231222222rrrabc321 111? 222cab111111?即： 222222crrarb312A,B,Cxoyyoz,z

13、ox,，當(dāng)直線變動(dòng)時(shí)，直線上的三定點(diǎn)于三點(diǎn)5、一直線分別交坐標(biāo)面A,B,Cp，它與三點(diǎn)的距離分別為也分別在三個(gè)坐標(biāo)面上變動(dòng)，另外，直線上有第四點(diǎn)a,b,cA,B,Cp點(diǎn)的軌，當(dāng)直線按照這樣的規(guī)定（即保持分別在三坐標(biāo)面上）變動(dòng)，試求跡。 A(0,y,z),B(x,0,z),C(x,y,0)，則知： 解：設(shè)321213xzzy2112?xy, 33z?zz?z1221yzxz1212,0)(?C, z?zzz?1212 cpB?b,pA?a,pC?),y,zp(x 又設(shè)， ? ?2222(1)z?z)ax?(y?y)?(11?2222(2)bz?z)?)(x?x?y?( ?22?yzxz2222?

14、1212(3)?z?(x?y?)c zz?z?z?1122z?y?yzx11?pAB ）又（在4的連線上， z?x?yz1112zz,x,y, ）消去，得到從（1）（4211222aa2?1?)?(1? 即： 22cb222bac?2? 222ab?c 22c?ba? 22acb? 滿足要求的平 zz 222zxy?1(A?B?C?0) 2、給定方程 ?A?CB?A,B,C的各種數(shù)值時(shí)，它表示怎樣的曲面？ 取異于試問(wèn)當(dāng)222zxy?1(A?B?C?0) （*）解：對(duì)方程 ?A?CB?A時(shí)，（o、當(dāng)*）不表示任何實(shí)圖形； 1?BA時(shí)，（*2o、當(dāng)）表示雙葉雙曲面； ?CB?時(shí)，3o、當(dāng)（*）表示

15、單葉雙曲面； ?C時(shí)，（*）表示橢球面。 o、當(dāng)4222zxyxoz1?yoz面）（或使這平面平行于已知單葉雙曲面3，、試求平面的方程，面 494且與曲面的交線是一對(duì)相交直線。 x?k，則該平面與單葉雙曲面的交線為：解：設(shè)所求的平面為 222?zxy?1? （*） 944?x?k?222?kyz?1? 亦即 449?x?k?2kk?21?0）為二相交直線，則須： ，即為使交線（* 4x?2 所以，要求的平面方程為：y?3xoy 同理，平行于則該平面為：的平面要滿足它與單葉雙曲面的交線為二相交直線，x?1(4,0,0)的距離的兩倍，試求這動(dòng)點(diǎn)的軌跡。 4、設(shè)動(dòng)點(diǎn)與的距離等于這點(diǎn)到平面22x?20

16、y?24x?116?0 解： 此即為要求的射影柱面方程。 mmCllA,B兩點(diǎn)分別與6、設(shè)直線是與的公垂線的中點(diǎn)，為互不垂直的兩條異面直線，ml?ACB?90AB的軌跡是一個(gè)單葉雙曲面。 在直線上滑動(dòng)，且，試證直線 ?mxmCllz，公證明：以作為坐標(biāo)原點(diǎn)，再令，軸與的公垂線作為的夾角均為軸， ?mc2l?tg的方程分別為：，若設(shè)，則垂線的長(zhǎng)為 z ?x?0y? :l ?c?z?A(x,y,c)l 11 ?0x?yO?y :m ?c?z?x? )(Ax,y,cB(x,yc,? ，則有：令2112? ?0x?0,y?y?x m2121222222222AC?CBx?y?c?x?y?c?(x?x)

17、?(y?y)?(2c) 又，所以：222121112xx?yy?c?0 亦即 （2） 2121M(x,y,z)AB 上任一點(diǎn)，則為又設(shè)x?xy?yz?c11? (3) x?xy?y?2c1212x,y,x,y，得：3）中消去 從（1）（2211222222222?c?(1?z)(1?y?)x 222zyx?1 (4) 即： 2222?ccc 22?11?m?l1 不垂直，AB的軌跡是一單葉雙曲面。）表示單葉雙曲面，即 （47、試驗(yàn)證單葉雙曲面與雙葉雙曲面的參數(shù)方程分別為： x?asecucosvx?atgucosv?vusiny?bsecy?btgusinv 與 ?ctguz?z?csecu?

18、 解為：22yx?2z 22abab 令確定與1(,?1,1)61?(,2,均在該曲面上。 和 3?有： 41?12? 22?ab ?11?2? 22b9a?13616?,? 從而 2255ab22yx636?2z 所以要求的橢圓拋物面的方程為： 552218x?3y?5z 即：2、適當(dāng)選取坐標(biāo)系，求下列軌跡的方程： （1）到一定點(diǎn)和一定平面距離之比為定常數(shù)的點(diǎn)的軌跡； ?2a2。已知兩異面直線間的距離為 ，夾角為與兩給定的異面直線等距離的點(diǎn)的軌跡，（2）xoyxoyz軸，則定點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)為面，過(guò)定點(diǎn)且垂直于面的直線作為1解：（）取定平面為c0z?),(00a ，則，并令所求的軌跡為，設(shè)比值常數(shù)

19、為，而定平面即為222)a?(zx?yc)?M(x,y,z 點(diǎn)z222220a?2az?y?(1?c)zx 即 此為的方程。x軸，使其與二異面直線的夾）取二異面直線的公垂線為軸，中點(diǎn)的坐標(biāo)為原點(diǎn)；再?。? 角相等，則二異面直線的方程為：?x?tgtg?x?00yy? 與 ?zz?a?a? ，則設(shè)所求的軌跡為222yxxz?az?ay?tg1tg001?)M(x,y,z?2?tg1? 222yz?axxyz?a?tg?1?tg100?2?tg1?解：略。 5、試驗(yàn)證橢圓拋物面與雙曲拋物面的參數(shù)方程可分別寫成： ?x?a(u?v)vaucosx?y?b(u?v)vbusin?y 與 ?z?2uv1

20、?2?uz? 2?v,u 為參數(shù)。式中的 解：對(duì)方程?x?aucosv?y?businv ?12?uz? 2? 22yx?2zvu, 消去參數(shù)得： 22ab這正是橢圓拋物面的方程。 對(duì)方程)va(u?x?)vb(u?y? ?uv2z?22yxz2?u,v 消去參數(shù)得： 22ba 這正是雙曲拋物面的方程。 單葉雙曲面與雙葉雙曲面的直母線 4.7 求下列直紋面的直母線族方程：1、 2220?xz?y?axy?z ） （2 （1） 222y?x?z ）從原方程得：解：（1y?y?)(x?z)?(x?z 即：ty?z?x?yx?z?t? 亦即：? y?x?z)t(zxy? 為了避免取極限，將上方程寫成

21、：tyz)?s(x? （ 1） ?sy?xz)t?(?vxu(y?z)?222x?y?z 2若將原方程變形為：） 則可得到：， （?ux?v(yz)?11)(t?(t?s)vsu? ）便是（1，則（，若令222t,s? 不全為零。1原曲面的直母線族是（），其中zay? （2）原方程變形為： xztay? 亦即： xxtz? 1 ） （ ?t?ay?zax? 由 ysy?z? （ 得： ）2 ?s?ax?（1）（2）即這原曲面的兩組直母線族方程。 ?為參數(shù)）求下列直線族所成的曲面（式中的 2、 ?4?4zx?2y2?zyx?（1）； （2） ? ?01?1z?44x?2y?2?yx解：（1）原方

22、程等價(jià)于 ?z?2?z?x?y 從此式中消去，得：此即為直母線（1）所形成的曲面。 22yx2?1z?得：）從原方程中消去（2 164此即為（2）的直母線族所形成的曲面。 22yx?z3x?2y?4z?0的直母線。 3上，求平行于平面、在雙曲拋物面 16422yx?z的兩族直母線為： 解：雙曲拋物面 164xyxy?u?v? ?2442 及 ?yyxx?z?zv(u(?)?)? 2424?2,?1,u 第一族直母線的方向矢量為：2,1,v 第二族直母線的方向矢量為：據(jù)題意，要求的直母線應(yīng)滿足： 2?3?2?4u?0?u?1 2v?0?2?32?4v 要求的直母線方程為：xyxy?2?1? ?2

23、424 及 ?yzxyx?z? 24224?222zxy?1xoy面上的射影，一定是其腰圓、試證單葉雙曲面4的任意一條直母線在 222abc 的切線。22?yx?1? 22 證明：?jiǎn)稳~雙曲面的腰圓為ba?z?0?兩直母線為： yxz?v(1?)? ?acb ?xz1y?(1?)? bacv?1y12x?v?(?v)? xoy 它在 面內(nèi)的射影為： （2） vbva?z?0?將（2）的第一式代入（1）的第一式得： 2y411y2v?(?v)?4 2vbvb112112222(v?)y?(?v)y?(?v)?0 即： 22vbvbv上述方程的判別式為： 1414122220?)(?v)(?v)?(

24、v? 222vvbvb? （2）與（1）相比，證畢。 x?6yz?1xy?8z?4?0y?5?2x?3平而且與平面相交，5、求與兩直線與 32132?21行的直線的軌跡。 (x,y,z),(x,y,z)，則解：設(shè)動(dòng)直線與二已知直線分別交于 110001x?6yz?1xy?8z?4000111?， 32132?212(x?x)?3(y?y)?00?y5?2x?3 又動(dòng)直線與平面平行，所以，1001 x?xy?yz?z000?)xM(,y,z ，有：對(duì)動(dòng)直線上任一點(diǎn) x?xy?yz?z01001122yx?4zx,y,z,x,y,z，得到：）消去）（ 從（14 10010194 6、求與下列三條直

25、線 x?1x?1?x?2y?1z?2? 與 ， ? z?yz?y53?4?都共面的直線所構(gòu)成的曲面。 x?1x?1?及直線 解：動(dòng)直線不可能同時(shí)平行于直線?y?zy?z?),p(1 不妨設(shè)其與第一條直線交于?(x?1)?(y?z)?0)p(1, 注與第二條直線的平面為：x?2y?1z?2?0?y?z)3(x?1)?(x?1)?3(y?z)?p 的平面為過(guò)與直線 ?345?(x?1)?(y?z)?0? 動(dòng)直線的方程為：?(x?1)?3(y?z)?3(x?1)?(y?z)?0?222?x?y?z?1 ，得：從上式中消去參數(shù)此為所要求的軌跡方程。 7、試證明經(jīng)過(guò)單葉雙曲面的一 直母線的每個(gè)平面一定經(jīng)

26、過(guò)屬于另一族直母線的一條直母線，并舉一反例，說(shuō)明這個(gè)命題與雙曲拋物面的情況下不一定成立。 222zxy?1的一族直母線為： 證明：?jiǎn)稳~雙曲面 222abcyxz?u(?)?v(1?)? ?acb ?xzy?v(?)?u(1?)? bac?xzyxzy?)?v(1?)?tv(?su()?u(1?)?0 過(guò)該族中一條直母線的平面為： acbacbxzyxzysu(?)?sv(1?)?tv(?)?tu(1?)?0 即： （1） acbacbxzy?)?n(1)m(? ?bac 另一族直母線為：?yzx?)?m(1n(?)? bca?xzyxzy?)?n(1?(km)?ln(?)?m(1?)?0 過(guò)該

27、族中一條直母線的平面為： acbacbxzyxzykm(?)?kn(1?)?nl(?)?ml(1?)?0 即 （2） acbacbm?s,k?u,n?t,l?v，得（2、1對(duì)照（）（）得，只要令2）便是（1）了 uv族中的一條直母線，族每一直母線的任一平面都經(jīng)過(guò) 亦即過(guò)v 族的直母線也有類似性質(zhì)。同理，對(duì)22yx?2z 對(duì)雙曲拋物面： 22ab其族直母線為： xy?2u? ?ba （*） ?yx?z?)u(? ba?xyvu?2u通過(guò)直母線（，顯然平面），但該平面不通過(guò)*族直）取其中的一條（即取定 ab 母線中的任何一條，這是因?yàn)椋簐 族直母線xy?w? ?ab ?xy?)v?(z? ab?1

28、12v,的方向矢量為 abab2v1112100? 而 abbbaabayxvu2? 族中的任何直母線。不能通過(guò)平面 ba222zxy?1上互相垂直的兩條直母線交點(diǎn)的軌跡方程。、試求單葉雙曲面 8 222abcuv母線，母線和一條解：由于過(guò)單葉雙曲面上每點(diǎn)僅有一條 所以它的同族直母線不能相交，設(shè)單葉雙曲面的二垂直相交的直母線為： yxz?w(?)?u(1?)? ?acb ?xzy?u(?)?w(1?)? bac?xzy?)?(1?)?vt(? ?bca ?yzx?)(1?)?t(v? bac?將兩方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，得： 2222wuw?)a(u?zx?y 2uwuw2? 2222buw2)u?w

29、)c(a(u?w2222)t?v)a(ta(v?x?z?y 2vt2vt? 2222bvt?2)t?v(c)t?v(a由此求出二直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為： a(uv?wt)b(vw?ut)c(uv?wt),x?y?,z? vw?utvw?utvw?ut又二直線垂直， 22222222222)?v0c?(u?wt)(v?tw)?4b)(uvwt?a(u 222222)?cwt(vw?ut)auv(uv?wt)?b222?y?z?x 2)utvw?(222222222222222222)cbuvwt)?)?c2(au(u(vv?wat)?b?(vww?utt? 2)?ut(vw22222222222222)uvwt?2(vawc?(uuv?wttb)(ac?)?b? 2)vw?ut(222222222222222uvwt4cb)?2w(v?uatuvwt)?b?(vbw?ut(a?c?)(? 2)?ut(vw2222222)uvwtu?c?)(wtv2(a?b? 2)?ut(vw222ca?b? 222222cb