高中數(shù)學論文：一道高考填空題的探索研究案例

1、一道高考填空題的探索研究案例 在一次練習試題的講評中，我們提到了2006年高考數(shù)學（湖南卷）理科的15題：aompb圖1 如圖，點p在由射線om、線段ob及ab的延長線圍成的陰影區(qū)域內（不含邊界）運動，且，則x的取值范圍是 ；當時，y的取值范圍是 。教師：在射線om上取，由平行四邊形法則可令，且，則有=令 則由 得 ，當時，講完了試題，有必要對題目進行進一步的引申探究 b教師：如果點p在如圖2所示的區(qū)域內呢？ m（稍微思考了一會兒，有同學開始站起來回答）學生1：反向延長om，取，由平行四邊形 o a法則可令，且， p，則有 圖2=，根據(jù)m,n就可以求出x,y的范圍。教師：回答得非常好。根據(jù)平面

2、向量基本定理，平面內任何一個向量都可以用該平面內的一組基向量來表示，就如上題所示，利用平行四邊行法則，只要將向量沿著直線ob、oa方向分解就可以了。因此，我們可以得到點p在任意位置上的一般情況，如點p在如圖3所示的區(qū)域內，則只要將沿著om、oa m b反向延長線方向分解就可以了 o a p （話還沒講完，有一位學生興奮地舉起了手，同時站了起來）學生2：老師，我想到了一種新的解法。根據(jù)圖1，延長線段op交ab的延長線于n點，則由共線向量定理，得 （1） （2） 所以 因此 得當時，又由（2）可得，得 所以因此，即學生2（繼續(xù)）：根據(jù)上面的解法，就用不著根據(jù)點p的位置一次次的作平行四邊形來解決一般

3、性情況了，我們只要延長op或反向延長op，則與直線ab相交于n點，利用共線向量定理就可以得到范圍。教師：（贊許的目光示意學生坐下）做得非常好。利用共線向量定理來求解，比較解法1，在作圖上確實簡單了，并且有些結果也更直觀，更優(yōu)越的是它能一次性地解決點p在任何區(qū)域內的情況，下面大家研究一下點p在不同位置時的x,y的范圍情況。（過了一段時間，已有一些學生陸陸續(xù)續(xù)地想發(fā)表自己的研究心得了）學生3：我發(fā)現(xiàn)：點p和點o在直線ab的兩側時，；當點p在直線ab上時，；當點p與點o在直線ab的同側時，學生4（補充）：當點p在直線ab和om之間時，；點p在直線om上時，；當點p與在直線om的異側時，學生5：x,y

4、的范圍求起來比較復雜，有必要將平面劃分成很多區(qū)域，分別加以一一討論，我已經求出了一些，但不全面。經過老師和學生的進一步探討、分析， m 4 3一致意見是根據(jù)三角形的邊所在的 b直線情況把平面劃分成9個區(qū)域，如圖 9 5 2 4所示（19數(shù)字表示區(qū)域） o a因此 ，容易得到x,y的取值范圍如下表： 8 7 6 1 圖4點p所在區(qū)域 x范圍 y范圍 x+y范圍 1 （1，+） （-，0）點p與點o分布 2 （0，+） （0，+） （1，+）在直線ab的兩側 3 （-，0） （1，+） 4 （-，0） （0，+）點p在直線ab和 5 （0，1） （0，1） （0，1）直線之間 6 （0，+） （-

5、，0） 點p所在區(qū)域 x范圍 y范圍 x+y范圍 7 （0，+） （-，0）點p在直線的左 8 （-，0） （-，0） （-，0）下側 9 （-，0） （0，+）點p在直線上 x+y=1點p在直線ab上 x+y=0教師（進一步引導）：很好，通過大家的研究探討，我們不僅找到了解決問題的更有效的方法，而且解決了點p在平面中的一般分布情況。那么，我們能否將上面的解決問題的方法用到空間上去呢？也就是說：若o、a、b、c四點不共面，則由空間向量基本定理可知，對于空間上任意一點p，總有，當點p在不同的位置時，的取值范圍如何？ o c n a b p學生6：類似平面問題的求解，我們有如下的結果（平面是過點o

6、且與平面abc平行）：當點p和點o在平面abc的異側時，；當點p在平面abc內時，；當點p在平面abc和之間時，；當點p在平面內時，；當點p在平面上方時，。對于的范圍問題，由于點p及直線op與平面abc交點位置不同，情況非常多。如點p在平面abc的下方且op與平面abc的交點n在的內部時，有： 根據(jù)平面向量基本定理及上面我們研究的結果可知：= 且所以 令因此，至于其它情況，可以用同樣方法得到教學反思：1表面看起來，本例題好象已得到圓滿解決，解題過程無懈可擊，知識落實也比較到位。但隱隱約約總覺得有言猶未盡之意。進一步反思例題的給出形式，明確已知基向量的夾角可以是任意的，當這對基向量的夾角為900

7、且是單位基向量時，可以建立平面直 x角坐標系，這時的x,y就是點p的坐標，如右圖 b（直線l為過原點且平行直線ab），則容易得到： （1）點p在第一象限時，；點p在第二象限時，；點p在第三象限時， o a y；點p在第四象限時，。 （2）直線ab方程為：，直線l方程 直線l因此，點p在直線ab的右上方時，有；當點p 在直線ab和直線l的中間時，有；當點p在直線l的左下側時，。不失一般性，就如例題給出的那樣，當基向量的夾角是任意時，類比平面直角坐標系，根據(jù)基向量所在的直線把平面劃分為四個象限，則點p 第象限 b 第象限在各個象限內的也有如平面直角坐標系 (x0) ( x0,y0)一樣的結果，至此

8、，該例題的命題思想和意圖暴露 第象限 o a無遺。同樣，推廣到空間上，我們也可以利用空間 ( x0,y0,y0)直角坐標系來直觀得到類似結果。2綜合上面例題的解答過程，我們不僅可以進一步熟悉共線向量定理和平面向量基本定理之間的內在聯(lián)系（共線向量定理顯然是平面向量基本定理的特殊情況（，這也進一步提示我們在平時的教學中不能將兩者割裂開來，而不加聯(lián)系地進行處理），而且還可以歸納出以下幾種解題思路：（1）通過對任意角的基向量及其位置的特殊化，可以利用我們熟悉的平面直角坐標系來得出結果，達到了化復雜為簡單的目的，體現(xiàn)了一般特殊一般的解題策略；（2）平面內的點的位置可以通過兩條直線的交點來確定，利用共線向

9、量定理，可以解決點與點的相對位置關系，體現(xiàn)了平面問題直線化、高維問題低維化的解題思想；（3）根據(jù)平面向量基本定理，平面內的向量，都可以通過平行四邊形法則或三角形法則，用一組已知基底向量來表示，體現(xiàn)了知識原理的直接應用。3在這里需要指出的是，通過本案例的探究，為線性規(guī)劃單元中的二元一次不等式表示平面區(qū)域的證明提供了又一種思路，也從幾何上揭示了方程和不等式之間的內在聯(lián)系和區(qū)別。4 探究性解題教學注重教師和學生的互動和交流，強調學生學習的主體性、主動性，通過教師在課堂教學中的精心組織和引導，讓學生歷經體驗、感受、類比、歸納、聯(lián)想和推廣的主動探究過程，充分調動學生的積極性和興趣，加深對知識的理解和掌握

10、，培養(yǎng)形成獨立思考和創(chuàng)新性運用知識的能力。在本案例中，除了問題解決的探索研究以外，也注重對學生知識的縱深挖掘的能力培養(yǎng)，主要體現(xiàn)在對本例題的推廣應用上：（1）對點p在平面內的不同位置的推廣；（2）對基向量進行空間上的推廣（這種推廣在數(shù)學教學中是非常重要的，實際上，中學數(shù)學中的相當多的例習題都是數(shù)學問題中的特例，都可以通過挖掘、引申、推廣，得到更一般的結果，都可以作為我們數(shù)學教學中探究性學習的素材，這不僅可以加深學生對數(shù)學知識本質的把握，而且可以激發(fā)學生對數(shù)學創(chuàng)新的興趣和信心。如排列組合中有這樣一個題目：4位學生各寫一張賀卡，放在一起，然后每人從中各取一張，但不能取自己寫的那一張賀卡，則不同的取法共有 種。這顯然是全錯位排列問題的特殊情況，教師可以引導學生去得出一般性的結果，順便也可以了