高中數(shù)列應(yīng)用題專(zhuān)題訓(xùn)練精選集

1、高中數(shù)列應(yīng)用題專(zhuān)題訓(xùn)練精選集一解答題（共 16 小題）1（2012?湖南）某公司一下屬企業(yè)從事某種高科技產(chǎn)品的生產(chǎn)該企業(yè)第一年年初有資金2000 萬(wàn)元，將其投入生產(chǎn)，到當(dāng)年年底資金增長(zhǎng)了 50%預(yù)計(jì)以后每年年增長(zhǎng)率與第一年的相同公司要求企業(yè)從第一年開(kāi)始，每年年底上繳資金 d 萬(wàn)元，并將剩余資金全部投入下一年生產(chǎn)設(shè)第n 年年底企業(yè)上繳資金后的剩余資金為an 萬(wàn)元（ ）用 d 表示 a1， a2 ，并寫(xiě)出 an+1 與 an 的關(guān)系式；（ ）若公司希望經(jīng)過(guò) m（m3）年使企業(yè)的剩余資金為4000 萬(wàn)元， 試確定企業(yè)每年上繳資金d 的值（用 m 表示）2（ 2010?湖北）已知某地今年年初擁有居民住

2、房的總面積為a（單位： m2），其中有部分舊住房需要拆除當(dāng)?shù)赜嘘P(guān)部門(mén)決定每年以當(dāng)年年初住房面積的10%建設(shè)新住房，同事也拆除面積為b（單位： m2）的舊住房（ ）分別寫(xiě)出第一年末和第二年末的實(shí)際住房面積的表達(dá)式：（ ）如果第五年末該地的住房面積正好比今年年初的住房面積增加了30%，則每年拆除的舊住房面積b 是多少？（計(jì)算時(shí)取 1.15=1.6）3（ 2007?上海）近年來(lái)，太陽(yáng)能技術(shù)運(yùn)用的步伐日益加快2002 年全球太陽(yáng)電池的年生產(chǎn)量達(dá)到670 兆瓦，年生產(chǎn)量的增長(zhǎng)率為 34%以后四年中，年生產(chǎn)量的增長(zhǎng)率逐年遞增2%（如， 2003 年的年生產(chǎn)量的增長(zhǎng)率為36%）（ 1）求 2006 年全球太

3、陽(yáng)電池的年生產(chǎn)量（結(jié)果精確到0.1 兆瓦）；（ 2）目前太陽(yáng)電池產(chǎn)業(yè)存在的主要問(wèn)題是市場(chǎng)安裝量遠(yuǎn)小于生產(chǎn)量，2006 年的實(shí)際安裝量為1420兆瓦假設(shè)以后若干年內(nèi)太陽(yáng)電池的年生產(chǎn)量的增長(zhǎng)率保持在42%，到 2010 年，要使年安裝量與年生產(chǎn)量基本持平（即年安裝量不少于年生產(chǎn)量的 95%），這四年中太陽(yáng)電池的年安裝量的平均增長(zhǎng)率至少應(yīng)達(dá)到多少（結(jié)果精確到0.1%）？4（2005?上海）假設(shè)某市2004 年新建住房面積干年內(nèi)，該市每年新建住房面積平均比上一年增長(zhǎng)400 萬(wàn)平方米，其中有250 萬(wàn)平方米是中低價(jià)房，預(yù)計(jì)在今后的若8%，另外，每年新建住房中，中低價(jià)房的面積均比上一年增加50 萬(wàn)平方米，

4、那么，到哪一年底，（ 1）該市歷年所建中低價(jià)層的累計(jì)面積（以2004 年為累計(jì)的第一年）將首次不少于4750萬(wàn)平方米？（ 2）當(dāng)年建造的中低價(jià)房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%？5（ 2005?湖南）自然狀態(tài)下的魚(yú)類(lèi)是一種可再生資源，為持續(xù)利用這一資源，需從宏觀上考察其再生能力及捕撈強(qiáng)度對(duì)魚(yú)群總量的影響用xn 表示某魚(yú)群在第n 年年初的總量， nN * ，且 x1 0不考慮其它因素，設(shè)在第n 年內(nèi)魚(yú)群的繁殖量及捕撈量都與xn 成正比，死亡量與 xn2 成正比，這些比例系數(shù)依次為正常數(shù)a，b， c（ ）求 xn+1 與 xn 的關(guān)系式；（ ）猜測(cè)：當(dāng)且僅當(dāng) x1， a， b， c 滿

5、足什么條件時(shí)，每年年初魚(yú)群的總量保持不變？（不要求證明）（ ）設(shè) a=2， b=1 ，為保證對(duì)任意 x1（ 0， 2），都有 xn 0， nN *，則捕撈強(qiáng)度b 的最大允許值是多少？證明你的結(jié)論6（ 2004?上海）某市2003 年共有 1 萬(wàn)輛燃油型公交車(chē)有關(guān)部門(mén)計(jì)劃于電力型公交車(chē)每年的投入比上一年增加50%，試問(wèn)：2004 年投入128 輛電力型公交車(chē)，隨后（ 1）該市在 2010 年應(yīng)該投入多少輛電力型公交車(chē)？（ 2）到哪一年底，電力型公交車(chē)的數(shù)量開(kāi)始超過(guò)該市公交車(chē)總量的？7（ 2004?福建）某企業(yè)2003 年的純利潤(rùn)為500 萬(wàn)元，因設(shè)備老化等原因，企業(yè)的生產(chǎn)能力將逐年下降若不能進(jìn)行

6、技術(shù)改造，預(yù)測(cè)從今年起每年比上一年純利潤(rùn)減少20 萬(wàn)元，今年初該企業(yè)一次性投入資金600 萬(wàn)元進(jìn)行技術(shù)改造，預(yù)測(cè)在未扣除技術(shù)改造資金的情況下，第n 年（今年為第一年）的利潤(rùn)為500（ 1+）萬(wàn)元（n 為正整數(shù)）（ ）設(shè)從今年起的前 n 年，若該企業(yè)不進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤(rùn)為A n 萬(wàn)元，進(jìn)行技術(shù)改造后的累計(jì)純利潤(rùn)為Bn 萬(wàn)元（須扣除技術(shù)改造資金），求 A n、 Bn 的表達(dá)式；（ ）依上述預(yù)測(cè)，從今年起該企業(yè)至少經(jīng)過(guò)多少年，進(jìn)行技術(shù)改造后的累計(jì)純利潤(rùn)超過(guò)不進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤(rùn)？8（ 2013?江門(mén)二模）環(huán)?？滩蝗菥彛蛟S人類(lèi)最后一滴水將是自己的淚水某地水資源極為緊張，且受工業(yè)污染嚴(yán)重，預(yù)

7、計(jì) 20年后該地將無(wú)潔凈的水可用當(dāng)?shù)貨Q定重新選址建設(shè)新城區(qū)，同時(shí)對(duì)舊城區(qū)進(jìn)行拆除已知舊城區(qū)的住房總面積為64am2，每年拆除的數(shù)量相同；新城區(qū)計(jì)劃第一年建設(shè)住房面積am2，前四年每年以 100% 的增長(zhǎng)率建設(shè)新住房，從第五年開(kāi)始，每年都比上一年增加am2設(shè)第 n（ n1，且 nN）年新城區(qū)的住房總面積為anm2，該地的住房總面積為 bnm2（ 1）求 a n 的通項(xiàng)公式；（ 2）若每年拆除 4am2，比較 an+1 與 bn 的大小9（ 2012?寧德模擬）我國(guó)政府積極應(yīng)對(duì)氣體變化，提出 “到 2020年碳排放強(qiáng)度要比2005 年下降 40%”的減排目標(biāo) 已知 2005 年我國(guó)碳排放強(qiáng)度約為3

8、 噸 /萬(wàn)元，以后每年的碳排放強(qiáng)度均比上一年減少0.08 噸 /萬(wàn)元（ 1）問(wèn)能否在2020 年實(shí)現(xiàn)減排目標(biāo)？說(shuō)明理由；（ 2）若 2005 年我國(guó)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值為a 萬(wàn)元，且以后每年均以8%的速度遞增，問(wèn)從哪一年起二氧化碳排放量開(kāi)始減少？（注釋?zhuān)?“碳排放強(qiáng)度 ”是指每萬(wàn)元國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值的二氧化碳排放量）10（2012?藍(lán)山縣模擬）某企業(yè)的產(chǎn)品以往專(zhuān)銷(xiāo)歐美市場(chǎng)，在全球金融風(fēng)暴的影響下，歐美市場(chǎng)的銷(xiāo)量受到嚴(yán)重影響，該企業(yè)在政府的大力扶助下積極開(kāi)拓國(guó)內(nèi)市場(chǎng)，并基本形成了市場(chǎng)規(guī)模； 自 2009 年 9 月以來(lái)的第 n 個(gè)月（ 2009年 9 月為第一個(gè)月）產(chǎn)品的內(nèi)銷(xiāo)量、出口量和銷(xiāo)售總量（銷(xiāo)售總量=內(nèi)

9、銷(xiāo)量與出口量的和）分別為bn、 cn 和 an（單位：萬(wàn)件），依據(jù)銷(xiāo)售統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)形成如下?tīng)I(yíng)銷(xiāo)趨勢(shì)：bn+1n，2=aan+1 nn123c =a +b a（其中 a、 b 為常數(shù)），已知 a =1萬(wàn)件， a =1.5萬(wàn)件， a =1.875 萬(wàn)件（ 1）求 a，b 的值，并寫(xiě)出 an+1n滿足的關(guān)系式；與 a（ 2）試用你所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)論證銷(xiāo)售總量an 逐月遞增且控制在2 萬(wàn)件內(nèi)；（ 3）試求從2009 年 9 月份以來(lái)的第n 個(gè)月的銷(xiāo)售總量an 關(guān)于 n 的表達(dá)式11（2012?藍(lán)山縣模擬）某學(xué)校餐廳為了保證每天供應(yīng)1000 名學(xué)生用餐，每星期一都提供有A 、 B 兩種菜可供學(xué)生選擇（每個(gè)

10、學(xué)生都將從二種中選一種），經(jīng)調(diào)查，凡是在本周星期一選A 菜的，下周星期一會(huì)有20%改選 B ，而選 B 菜的，下周星期一則有30%改選 A 用 ann11、b 分別表示在第n 個(gè)星期一選 A 、B 菜的人數(shù)（ a 、 b 表示本周星期一選 A 菜人數(shù)），若 a1=200（ 1）試以 ann+1表示 a ；（ 2）證明： a n 的通項(xiàng)公式是；（ 3）試問(wèn)從第幾個(gè)星期一開(kāi)始，選A 人數(shù)超過(guò)選 B 的人數(shù)？12（ 2012?江門(mén)一模）某學(xué)校每星期一供應(yīng)1000 名學(xué)生 A 、B 兩種菜調(diào)查表明，凡在這星期一選A 種菜的，下星期一會(huì)有20% 改選 B 種菜；而選 B 種菜的，下星期一會(huì)有30%改選

11、A 種菜設(shè)第 n 個(gè)星期一選 A 、B 兩種菜分別有 an、 bn名學(xué)生（ 1）若 a123=500，求 a 、a ；（ 2）求 an，并說(shuō)明隨著時(shí)間推移，選A 種菜的學(xué)生將穩(wěn)定在600 名附近13（2012?懷化二模） 2010 年，中國(guó)浙江吉利控股集團(tuán)有限公司以18 億美元收購(gòu)沃爾沃汽車(chē)公司，并計(jì)劃投資20億美元來(lái)發(fā)展該品牌據(jù)專(zhuān)家預(yù)測(cè)，從2010 年起，沃爾沃汽車(chē)的銷(xiāo)售量每年比上一年增加10000 輛（ 2010 年的銷(xiāo)售量為20000 輛），銷(xiāo)售利潤(rùn)按照每年每輛比上一年減少10%（ 2010年銷(xiāo)售利潤(rùn)為 2 萬(wàn)美元 /輛）計(jì)算求（ 1）第 n 年的銷(xiāo)售利潤(rùn)為多少？（ 2）到 2014 年

12、年底，中國(guó)浙江吉利控股集團(tuán)有限公司能否通過(guò)沃爾沃汽車(chē)實(shí)現(xiàn)盈利？（即銷(xiāo)售利潤(rùn)超過(guò)總投資，0.950.59）14（2011?上海模擬）為了研究某種癌細(xì)胞的繁殖規(guī)律和一種新型抗癌藥物的作用，將癌細(xì)胞注入一只小白鼠體內(nèi)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，經(jīng)檢測(cè)，癌細(xì)胞的繁殖規(guī)律與天數(shù)的關(guān)系如下表已知這種癌細(xì)胞在小白鼠體內(nèi)的個(gè)數(shù)超過(guò)108 時(shí)小白鼠將會(huì)死亡，注射這種抗癌藥物可殺死其體內(nèi)癌細(xì)胞的98%天數(shù) t1234567癌細(xì)胞個(gè)數(shù)N1248163264（ 1）要使小白鼠在實(shí)驗(yàn)中不死亡，第一次最遲應(yīng)在第幾天注射該種藥物？（精確到1 天）（ 2）若在第10 天，第 20 天，第 30 天， 給小白鼠注射這種藥物，問(wèn)第38 天小白鼠是

13、否仍然存活？請(qǐng)說(shuō)明理由15（ 2011?普陀區(qū)三模）為了緩解城市道路擁堵的局面，某市擬提高中心城區(qū)內(nèi)占道停車(chē)場(chǎng)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)，并實(shí)行累進(jìn)加價(jià)收費(fèi)已公布的征求意見(jiàn)稿是這么敘述此收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)的：“（中心城區(qū)占道停車(chē)場(chǎng)）收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為每小時(shí)10 元，并實(shí)行累進(jìn)加價(jià)制度，占道停放1 小時(shí)后，每小時(shí)按加價(jià)50%收費(fèi) ”方案公布后，這則“累進(jìn)加價(jià) ”的算法卻在媒體上引發(fā)了爭(zhēng)議（可查詢2010 年 12 月 14 日的相關(guān)國(guó)內(nèi)新聞） 請(qǐng)你用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)說(shuō)明爭(zhēng)議的原因，并請(qǐng)按照一輛普通小汽車(chē)一天內(nèi)連續(xù)停車(chē)14 小時(shí)測(cè)算：根據(jù)不同的解釋?zhuān)召M(fèi)各應(yīng)為多少元？16（ 2011?江蘇模擬）某縣為了貫徹落實(shí)黨中央國(guó)務(wù)院關(guān)于農(nóng)村醫(yī)

14、療保險(xiǎn)（簡(jiǎn)稱(chēng)“醫(yī)保 ”）政策，制定了如下實(shí)施方案： 2009 年底通過(guò)農(nóng)民個(gè)人投保和政府財(cái)政投入，共集資1000 萬(wàn)元作為全縣農(nóng)村醫(yī)保基金，從2010 年起，每年報(bào)銷(xiāo)農(nóng)民的醫(yī)保費(fèi)都為上一年底醫(yī)?；鹩囝~的10%，并且每年底縣財(cái)政再向醫(yī)?；鹱①Ym 萬(wàn)元（ m 為正常數(shù)）（ ）以 2009 年為第一年，求第n 年底該縣農(nóng)村醫(yī)?；鹩卸嗌偃f(wàn)元？（ ）根據(jù)該縣農(nóng)村人口數(shù)量和財(cái)政狀況，縣政府決定每年年底的醫(yī)?；鹨鹉暝黾?，同時(shí)不超過(guò)1500 萬(wàn)元，求每年新增醫(yī)?；餸（單位：萬(wàn)元）應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)高中數(shù)列應(yīng)用題專(zhuān)題訓(xùn)練精選集參考答案與試題解析一解答題（共 16 小題）1（2012?湖南）某公司一下

15、屬企業(yè)從事某種高科技產(chǎn)品的生產(chǎn)該企業(yè)第一年年初有資金2000 萬(wàn)元，將其投入生產(chǎn)，到當(dāng)年年底資金增長(zhǎng)了 50%預(yù)計(jì)以后每年年增長(zhǎng)率與第一年的相同公司要求企業(yè)從第一年開(kāi)始，每年年底上繳資金 d 萬(wàn)元，并將剩余資金全部投入下一年生產(chǎn)設(shè)第n 年年底企業(yè)上繳資金后的剩余資金為an 萬(wàn)元（ ）用 d 表示 a1， a2 ，并寫(xiě)出 an+1 與 an 的關(guān)系式；（ ）若公司希望經(jīng)過(guò) m（m3）年使企業(yè)的剩余資金為4000 萬(wàn)元， 試確定企業(yè)每年上繳資金d 的值（用 m 表示）考點(diǎn) ： 數(shù)列的應(yīng)用；根據(jù)實(shí)際問(wèn)題選擇函數(shù)類(lèi)型專(zhuān)題 ： 計(jì)算題；綜合題分析：（ ）由題意可求得 a1=2000 （1+50% ） d

16、， a2=a1（ 1+50%） d=，從而歸納出 an+1= an d（ ）由（ ）得 an=an 1 d=（an 2 d） d= =a1 d1+ ，利用等比數(shù)列的求和公式可求得an=（ 30003d） +2d，再結(jié)合題意am=4000，即可確定企業(yè)每年上繳資金d 的值解答：解：（ ）由題意得： a1=2000 （ 1+50% ） d=3000 d，a2=a1（ 1+50% ） d= a1 d=4500 d，an+1=an（ 1+50% ） d=an d（ ）由（ ）得 an= an 1d = （ an2 d） d=an 2d d=a1 d1+整理得： an =（ 3000 d） 2d 1=（

17、3000 3d） +2d 由題意， am=4000，即（ 3000 3d） +2d=4000 解得 d=，故該企業(yè)每年上繳資金d 的值為時(shí)，經(jīng)過(guò) m（ m3）年企業(yè)的剩余資金為4000 萬(wàn)元點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的應(yīng)用，著重考查歸納思想的運(yùn)用，求得an+1=an d 是關(guān)鍵，遞推關(guān)系的綜合應(yīng)用是難點(diǎn)，突出轉(zhuǎn)化與運(yùn)算能力的考查，屬于難題2（ 2010?湖北）已知某地今年年初擁有居民住房的總面積為a（單位： m2），其中有部分舊住房需要拆除當(dāng)?shù)赜嘘P(guān)部門(mén)決定每年以當(dāng)年年初住房面積的10%建設(shè)新住房，同事也拆除面積為b（單位： m2）的舊住房（ ）分別寫(xiě)出第一年末和第二年末的實(shí)際住房面積的表達(dá)式：（ ）如

18、果第五年末該地的住房面積正好比今年年初的住房面積增加了30%，則每年拆除的舊住房面積b 是多少？（計(jì)算時(shí)取 1.15=1.6）考點(diǎn) ： 數(shù)列的應(yīng)用專(zhuān)題 ： 應(yīng)用題分析：（ 1）由題意要知第 1年末的住房面積，第 2 年末的住房面積（ ）第 5 年末的住房面積=，依題意可知， 1.6a 6b=1.3a，由此解得每年拆除的舊房面積為解答：解：（ 1）第 1 年末的住房面積，第 2 年末的住房面積，（ ）第 3 年末的住房面積=，第 4 年末的住房面積，第 5 年末的住房面積a?（） 5b=依題意可知，1.6a 6b=1.3a，解得，所以每年拆除的舊房面積為點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列性質(zhì)的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要

19、認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件3（ 2007?上海）近年來(lái)，太陽(yáng)能技術(shù)運(yùn)用的步伐日益加快產(chǎn)量的增長(zhǎng)率為34%以后四年中，年生產(chǎn)量的增長(zhǎng)率逐年遞增2002 年全球太陽(yáng)電池的年生產(chǎn)量達(dá)到670 兆瓦，年生2%（如， 2003 年的年生產(chǎn)量的增長(zhǎng)率為36%）（ 1）求 2006 年全球太陽(yáng)電池的年生產(chǎn)量（結(jié)果精確到0.1 兆瓦）；（ 2）目前太陽(yáng)電池產(chǎn)業(yè)存在的主要問(wèn)題是市場(chǎng)安裝量遠(yuǎn)小于生產(chǎn)量，2006 年的實(shí)際安裝量為1420 兆瓦假設(shè)以后若干年內(nèi)太陽(yáng)電池的年生產(chǎn)量的增長(zhǎng)率保持在42%，到 2010 年，要使年安裝量與年生產(chǎn)量基本持平（即年安裝量不少于年生產(chǎn)量的95%），這四年中太陽(yáng)電池的年安裝

20、量的平均增長(zhǎng)率至少應(yīng)達(dá)到多少（結(jié)果精確到0.1%）？考點(diǎn) ： 數(shù)列的應(yīng)用；函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用專(zhuān)題 ： 應(yīng)用題分析：（ 1）先把每年的年生產(chǎn)量的增長(zhǎng)率求出來(lái)，再代入2006 年全球太陽(yáng)電池的年生產(chǎn)量的計(jì)算公式即可（ 2）分別求出2010 年時(shí)對(duì)應(yīng)的年安裝量與年生產(chǎn)量，再解關(guān)于年安裝量不少于年生產(chǎn)量的95%的不等式即可求出年安裝量的平均增長(zhǎng)率解答：解：（ 1）由已知得2003，2004，2005，2006 年太陽(yáng)電池的年生產(chǎn)量的增長(zhǎng)率依次為36%，38%，40%，42%則 2006 年全球太陽(yáng)電池的年生產(chǎn)量為6701.361.381.401.422499.8（兆瓦）（ 2）設(shè)太陽(yáng)電池的年安裝量的

21、平均增長(zhǎng)率為x，則解得 x0.615因此，這四年中太陽(yáng)電池的年安裝量的平均增長(zhǎng)率至少應(yīng)達(dá)到61.5%點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列在實(shí)際生活中的應(yīng)用問(wèn)題對(duì)于這一類(lèi)型題，關(guān)鍵點(diǎn)是分清是等差數(shù)列還是等比數(shù)列4（2005?上海）假設(shè)某市2004 年新建住房面積干年內(nèi)，該市每年新建住房面積平均比上一年增長(zhǎng)400 萬(wàn)平方米，其中有250 萬(wàn)平方米是中低價(jià)房，預(yù)計(jì)在今后的若8%，另外，每年新建住房中，中低價(jià)房的面積均比上一年增加50 萬(wàn)平方米，那么，到哪一年底，（ 1）該市歷年所建中低價(jià)層的累計(jì)面積（以2004 年為累計(jì)的第一年）將首次不少于4750萬(wàn)平方米？（ 2）當(dāng)年建造的中低價(jià)房的面積占該年建造住房面積的比例首

22、次大于85%？考點(diǎn) ： 數(shù)列的應(yīng)用專(zhuān)題 ： 計(jì)算題；應(yīng)用題分析：（ 1）設(shè)中低價(jià)房面積形成數(shù)列a n ，由題意可知a n 是等差數(shù)列，求得首項(xiàng)和公差，利用等差數(shù)列的求和公式求得Sn，進(jìn)而根據(jù)Sn4750，求得 n 的最小值（ 2）設(shè)新建住房面積形成數(shù)列 b n ，由題意可知 b n 是等比數(shù)列，根據(jù)題意可求得數(shù)列的首項(xiàng)和公比，則數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，進(jìn)而 an 0.85bn，求得 n 的最小正整數(shù)解答： 解：（ 1）設(shè)中低價(jià)房面積形成數(shù)列a n ，由題意可知 a n 是等差數(shù)列，其中 a1=250， d=50 ，則 Sn=250n+=25n2+225n ，令 25n2+225n4750，即 n2

23、+9n 1900，而 n 是正整數(shù)， n10， 到 2013 年底，該市歷年所建中低價(jià)房的累計(jì)面積將首次不少于4750 萬(wàn)平方米（ 2）設(shè)新建住房面積形成數(shù)列b n ，由題意可知 b n 是等比數(shù)列，其中 b1=400， q=1.08 ，則 b）n 1 ，n=400?（ 1.08由題意可知 an 0.85bn，有 250+ （n 1） ?50 400?（ 1.08） n 1?0.85，由計(jì)算器解得滿足上述不等式的最小正整數(shù)n=6，到 2009 年底，當(dāng)年建造的中低價(jià)房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)列的應(yīng)用解題的關(guān)鍵是利用題設(shè)條件判斷出數(shù)列的類(lèi)型，根據(jù)等差或等

24、比數(shù)列的性質(zhì)來(lái)解決5（ 2005?湖南）自然狀態(tài)下的魚(yú)類(lèi)是一種可再生資源，為持續(xù)利用這一資源，需從宏觀上考察其再生能力及捕撈強(qiáng)度對(duì)魚(yú)群總量的影響用xn 表示某魚(yú)群在第n 年年初的總量， nN * ，且 x1 0不考慮其它因素，設(shè)在第n 年內(nèi)魚(yú)群的繁殖量及捕撈量都與xn 成正比，死亡量與xn2 成正比，這些比例系數(shù)依次為正常數(shù)a，b， c（ ）求 xn+1 與 xn 的關(guān)系式；（ ）猜測(cè)：當(dāng)且僅當(dāng) x1， a， b， c 滿足什么條件時(shí)，每年年初魚(yú)群的總量保持不變？（不要求證明）（ ）設(shè) a=2， b=1 ，為保證對(duì)任意 x1n*，則捕撈強(qiáng)度 b 的（ 0， 2），都有 x 0， nN最大允許值

25、是多少？證明你的結(jié)論考點(diǎn) ： 數(shù)列的應(yīng)用專(zhuān)題 ： 綜合題；壓軸題；轉(zhuǎn)化思想分析： （ ）利用題中的關(guān)系求出魚(yú)群的繁殖量，被捕撈量和死亡量就可得到xn+1 與 xn 的關(guān)系式；（ ）每年年初魚(yú)群的總量保持不變就是xn 恒等于 x1，轉(zhuǎn)化為 xn+1xn=0 恒成立，再利用（ ）的結(jié)論，就可找到 x1， a， b， c 所滿足的條件；（ ）先利用（ ）的結(jié)論找到關(guān)于 xn 和 b 的不等式，再利用 x1（ 0，2），求出 b 的取值范圍以及b 的最大允許值，最后在用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明即可解答： 解：（ I ）從第 n 年初到第 n+1 年初，魚(yú)群的繁殖量為axn，被捕撈量為bxn，死亡量為 cxn

26、2，因此 xn+1xn=axn bxncxn2， nN* （ * ）即 xn+1=x n（ a b+1 cxn）， nN* （ * ）（ II ）若每年年初魚(yú)群總量保持不變，則xn 恒等于 x1，nN* ，從而由（ * ）式得 xn（a b cxn）恒等于 0， nN* ，所以 a b x1=0 即 x1=因?yàn)?x1 0，所以 ab猜測(cè)：當(dāng)且僅當(dāng)a b，且 x1=每年年初魚(yú)群的總量保持不變（ ）若 b 的值使得xn 0， nN*由 xn+1=x n（ 3 b xn）， nN* ，知0 xn 3b， nN* ，特別地，有0 x1 3b即 0b 3 x1 而 x1（ 0，2），所以 b（ 0， 1

27、 由此猜測(cè) b 的最大允許值是 1下證當(dāng) x1（ 0， 2），b=1 時(shí)，都有 xn（0， 2）， nN* 當(dāng) n=1 時(shí)，結(jié)論顯然成立 假設(shè)當(dāng) n=k 時(shí)結(jié)論成立，即xk（ 0， 2），則當(dāng) n=k+1 時(shí)， xk+1kk） 0=x（ 2 x又因?yàn)?xk+1kkk2=x（ 2 x） =（ x1） +11 2，所以 xk+1（ 0， 2），故當(dāng) n=k+1 時(shí)結(jié)論也成立由 、 可知，對(duì)于任意的nN* ，都有 xn（0， 2）綜上所述，為保證對(duì)任意x1（ 0， 2），都有 xn 0， nN* ，則捕撈強(qiáng)度b 的最大允許值是 1點(diǎn)評(píng)：本題是對(duì)數(shù)列、函數(shù)、數(shù)學(xué)歸納法等知識(shí)的綜合考查，在作數(shù)列方面的應(yīng)

28、用題時(shí)，一定要認(rèn)真真審題，仔細(xì)解答，避免錯(cuò)誤62004?20031電力型公交車(chē)每年的投入比上一年增加50%，試問(wèn)：（ 1）該市在2010 年應(yīng)該投入多少輛電力型公交車(chē)？2004128（ 2）到哪一年底，電力型公交車(chē)的數(shù)量開(kāi)始超過(guò)該市公交車(chē)總量的？考點(diǎn) ： 數(shù)列的應(yīng)用；等比數(shù)列的前專(zhuān)題 ： 應(yīng)用題n 項(xiàng)和分析： （ 1）該市逐年投入的電力型公交車(chē)的數(shù)量組成等比數(shù)列a n ，其中 a1=128， q=1.5，由此可知答案；（ 2）記 Sn 1 2n于是（輛），解可=a +a +a ，依據(jù)題意，得得答案解答：解：（ 1）該市逐年投入的電力型公交車(chē)的數(shù)量組成等比數(shù)列 a n ，其中 a1=128， q

29、=1.5 ，則在 2010 年應(yīng)該投入的電力型公交車(chē)為66（輛）a7=a1?q =1281.5=1458（ 2）記 Sn=a1+a2+an，依據(jù)題意，得于是（輛），即，則有 n7.5，因此 n8所以，到2011 年底，電力型公交車(chē)的數(shù)量開(kāi)始超過(guò)該市公交車(chē)總量的點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答7（ 2004?福建）某企業(yè)2003 年的純利潤(rùn)為500 萬(wàn)元，因設(shè)備老化等原因，企業(yè)的生產(chǎn)能力將逐年下降若不能進(jìn)行技術(shù)改造，預(yù)測(cè)從今年起每年比上一年純利潤(rùn)減少20 萬(wàn)元，今年初該企業(yè)一次性投入資金600 萬(wàn)元進(jìn)行技術(shù)改造，預(yù)測(cè)在未扣除技術(shù)改造資金的情況下，第n 年（今年為第一年）

30、的利潤(rùn)為500（ 1+）萬(wàn)元（ n 為正整數(shù)）（ ）設(shè)從今年起的前n 年，若該企業(yè)不進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤(rùn)為A n 萬(wàn)元，進(jìn)行技術(shù)改造后的累計(jì)純利潤(rùn)為Bn 萬(wàn)元（須扣除技術(shù)改造資金），求 A n、 Bn 的表達(dá)式；（ ）依上述預(yù)測(cè)，從今年起該企業(yè)至少經(jīng)過(guò)多少年，進(jìn)行技術(shù)改造后的累計(jì)純利潤(rùn)超過(guò)不進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤(rùn)？考點(diǎn) ： 數(shù)列的應(yīng)用專(zhuān)題 ： 應(yīng)用題分析：（ ）依題設(shè)， A n=（500 20）+（ 500 40）+（ 500 20n），B n=500（ 1+）+（ 1+）+（1+） 600由此能夠?qū)С?An、 B n 的表達(dá)式（ ）由題意知 B（ 500n 100）（ 490n 10n

31、2）=10n2+10n100=10n （n+1 ）n A n= 10 再由函數(shù)的單調(diào)性可知至少經(jīng)過(guò) 4 年，該企業(yè)進(jìn)行技術(shù)改造后的累計(jì)純利潤(rùn)超過(guò)不進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤(rùn)解答：解：（ ）依題設(shè)， A n=（ 500 20）+（ 50040） +（ 500 20n） =490n 10n2；B n=500 （ 1+）+（ 1+） +（ 1+） 600=500n 100（ ） Bn A n=（ 500n 100）（ 490n 10n2）=10n 2+10n 100=10n （ n+1） 10因?yàn)楹瘮?shù)y=x （ x+1 ） 10 在（，+）上為增函數(shù)，當(dāng) 1n3 時(shí)， n（ n+1） 1012 10

32、0；當(dāng) n4 時(shí)， n（ n+1 ） 102010 0 僅當(dāng) n4 時(shí)， Bn A n答：至少經(jīng)過(guò)4 年，該企業(yè)進(jìn)行技術(shù)改造后的累計(jì)純利潤(rùn)超過(guò)不進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤(rùn)點(diǎn)評(píng)：本題主要考查建立函數(shù)關(guān)系式、數(shù)列求和、不等式的等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力8（ 2013?江門(mén)二模）環(huán)?？滩蝗菥?，或許人類(lèi)最后一滴水將是自己的淚水某地水資源極為緊張，且受工業(yè)污染嚴(yán)重，預(yù)計(jì) 20 年后該地將無(wú)潔凈的水可用當(dāng)?shù)貨Q定重新選址建設(shè)新城區(qū)，同時(shí)對(duì)舊城區(qū)進(jìn)行拆除已知舊城區(qū)的住房總面積為64am2，每年拆除的數(shù)量相同；新城區(qū)計(jì)劃第一年建設(shè)住房面積am2，前四年每年以100% 的增長(zhǎng)率建設(shè)新住房，從第五

33、年開(kāi)始，每年都比上一年增加 am2設(shè)第 n（ n1，且 nN）年新城區(qū)的住房總面積為 anm2，該地的住房總面積為 bnm2（ 1）求 a n 的通項(xiàng)公式；（ 2）若每年拆除 4am2，比較 an+1 與 bn 的大小考點(diǎn) ： 數(shù)列的應(yīng)用專(zhuān)題 ： 計(jì)算題；等差數(shù)列與等比數(shù)列分析： （ 1）分 1n4 時(shí)和 n5 時(shí)兩種情況加以討論并結(jié)合等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，分別求出第n 年新城區(qū)的住房建設(shè)面積為 n 關(guān)于 n、 a 的表達(dá)式，再利用等差、等比數(shù)列的求和公式即可求出a n 的通項(xiàng)公式關(guān)于 n的分段形式的表達(dá)式；（ 2）根據(jù) 1n3、n=4和 5n11 時(shí) an+1 和 bn 的表達(dá)式，結(jié)合作

34、差法比較不等式大小，可得an+1 bn；而當(dāng) n12 時(shí)可得 an+1nn+1nn+1nb =（ 5n 59） a 0，從而得到a b ，最后加以綜合即可得到a與 b 的大小的兩種情況解答： 解：（ 1）設(shè)第 n 年新城區(qū)的住房建設(shè)面積為2，則當(dāng) 1n4 時(shí)， n=2n1分）nma； （ 1當(dāng) n5 時(shí)， n=（ n+4 ） a所以，當(dāng) 1n4 時(shí)， an=（ 2n 1） a當(dāng) n5 時(shí)， an=a+2a+4a+8a+9a+n（ n+4） a=a an=（ 2）當(dāng) 1n3 時(shí)， an+1=（ 2n+1 1） a， bn=（ 2n 1） a+64a 4na，顯然有 an+1 bn當(dāng) n=4 時(shí)，

35、 an+1=a5=24a，bn=b 4=63a，此時(shí) an+1 bn當(dāng) 5n16 時(shí)， an+1=n， b = an+1 bn=（5n 59）a 當(dāng) 5n11 時(shí)， an+1 bn；當(dāng) 12n16 時(shí)， an+1 bn當(dāng) n17 時(shí)，顯然 an+1 bn故當(dāng) 1n11 時(shí)， an+1 bn；當(dāng) n12 時(shí)， an+1 bn點(diǎn)評(píng)： 本題給出數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用題，求a nn+1n的大小著重考查了等差、等比數(shù)列的通 的通項(xiàng)公式并比較a和 b項(xiàng)公式與求和公式，以及不等式比較大小等知識(shí)，屬于中檔題9（ 2012?寧德模擬）我國(guó)政府積極應(yīng)對(duì)氣體變化，提出 “到 2020 年碳排放強(qiáng)度要比知 2005 年我國(guó)碳

36、排放強(qiáng)度約為3 噸 /萬(wàn)元，以后每年的碳排放強(qiáng)度均比上一年減少（ 1）問(wèn)能否在2020 年實(shí)現(xiàn)減排目標(biāo)？說(shuō)明理由；2005 年下降 40%”的減排目標(biāo) 已0.08 噸 /萬(wàn)元（ 2）若 2005 年我國(guó)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值為 a 萬(wàn)元，且以后每年均以 8%的速度遞增，問(wèn)從哪一年起二氧化碳排放量開(kāi)始減少？（注釋?zhuān)?“碳排放強(qiáng)度 ”是指每萬(wàn)元國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值的二氧化碳排放量）考點(diǎn) ： 數(shù)列的應(yīng)用專(zhuān)題 ： 綜合題分析：（ 1）由題意得， 2005 年起每年的碳排放強(qiáng)度構(gòu)成等差數(shù)列a n ，且得 2020 年碳排放強(qiáng)度，即可求得結(jié)論；（ 2）求出第n 年國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值，可得第n 年全國(guó)二氧化碳排放總量為bn+1 b

37、n 0，即可求得結(jié)論a1=3 ，d= 0.08，求出數(shù)列的通項(xiàng)，可bn=a1.08n1（ 3.08 0.08n），利用解答：解：（ 1）由題意得， 2005 年起每年的碳排放強(qiáng)度構(gòu)成等差數(shù)列a n ，且 a1=3， d= 0.08 an=3+ （ n1） （ 0.08） =3.08 0.08n 2020 年碳排放強(qiáng)度為 a15=3.08 0.0815=1.8 3（ 1 40%） =1.8 2020 年能實(shí)現(xiàn)減排目標(biāo)；（ 2）從 2005 年起，逐年國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值構(gòu)成首項(xiàng)為a，公比為1.08 的等比數(shù)列，所以第n 年國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值為 a1.08n1 萬(wàn)元由（ 1）知，第 n 年碳排放強(qiáng)度為an=3.

38、08 0.08n故第 n 年全國(guó)二氧化碳排放總量為bn=a1.08n 1（ 3.08 0.08n） bn+1 bn=a1.08n1（ 0.16 0.0064n）由 bn+1 bn 0，解得 n 25故從 2030 年起二氧化碳排放量開(kāi)始減少點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，解題的關(guān)鍵是確定數(shù)列模型，屬于中檔題10（2012?藍(lán)山縣模擬）某企業(yè)的產(chǎn)品以往專(zhuān)銷(xiāo)歐美市場(chǎng)，在全球金融風(fēng)暴的影響下，歐美市場(chǎng)的銷(xiāo)量受到嚴(yán)重影響，該企業(yè)在政府的大力扶助下積極開(kāi)拓國(guó)內(nèi)市場(chǎng)，并基本形成了市場(chǎng)規(guī)模； 自 2009 年 9 月以來(lái)的第 n 個(gè)月（ 2009年 9 月為第一個(gè)月）產(chǎn)品的內(nèi)銷(xiāo)量、

39、出口量和銷(xiāo)售總量（銷(xiāo)售總量=內(nèi)銷(xiāo)量與出口量的和）分別為bn、 cn 和 an（單位：萬(wàn)件），依據(jù)銷(xiāo)售統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)形成如下?tīng)I(yíng)銷(xiāo)趨勢(shì)：bn+1=aan，2萬(wàn)件， a2=1.5 萬(wàn)件， a3=1.875 萬(wàn)件cn+1=an+b an （其中 a、 b 為常數(shù)），已知 a1=1（ 1）求 a，b 的值，并寫(xiě)出 an+1n與 a 滿足的關(guān)系式；（ 2）試用你所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)論證銷(xiāo)售總量an 逐月遞增且控制在2 萬(wàn)件內(nèi)；（ 3）試求從 2009 年 9 月份以來(lái)的第n 個(gè)月的銷(xiāo)售總量 an 關(guān)于 n 的表達(dá)式考點(diǎn) ： 數(shù)列的應(yīng)用專(zhuān)題 ： 綜合題分析： （ 1）依題意： an+1=bn+1+cn+1=aan+

40、an+ban2，將 n 取 1， 2，構(gòu)建方程組，即可求得a， b 的值，從而可得 an+1與 an 滿足的關(guān)系式；（ 2）證法（ ）先證明 an+1=2an an2= （ an 2） 2+2 2，于是 an 2，再用作差法證明an+1an，從而可得結(jié)論；方法（ ）用數(shù)學(xué)歸納法證明， 關(guān)鍵是假設(shè)n=k 時(shí)， ak ak+1 2 成立， 利用函數(shù) f （ x）=2x +2x= （ x 2） 2k+1k+2+2 在 0， 2 上為增函數(shù)，可證得a a 2 成立；（ 3）由 an+1 nn2，可得 lg（ 2 an+1，從而可得結(jié)論=2a a） lg2 為等比數(shù)列，公比為 2，首項(xiàng)為 lg 2解答：

41、解：（ 1）依題意： an+1=b n+1+cn+1=aan+an+ban2， a2=aa1+a1+ba12， a+1+b=又 a3=aa2+a2+ba22，a+b（） 2=解 得 a=1，b=從而 an+1=2anan2 （nN* ） （ 4 分）（ 2）證法（ ）由于 an+1nn2n2=2aa= （a 2） +22但 an+12，否則可推得a 1=a 2=2 與 a 1=1 ， a2=1.5 矛盾故 an+1 2于是 an 2又 an+1 a =2（ a 2） 0，a +2a a = annnnnn所以 an+1an 從而 an an+1 2（ 9 分）證法（ ）由數(shù)學(xué)歸納法（ i ）當(dāng)

42、 n=1 時(shí)， a1=1， a2=1.5，顯然 a1 a2 2 成立（ ii ）假設(shè) n=k 時(shí)， ak ak+1 2 成立由于函數(shù)f （x） =x2+2x= （ x 2）2+2 在 0， 2上為增函數(shù)，則 f （ ak） f （ak+1） f （ 2）即ak （ 4 ak）ak+1 （ 4 ak+1）2（ 42）即 ak+1 ak+2 2 成立 綜上可得 nN* 有 an an+1 2 （ 9 分）（ 3）由 an+1=2an an2 得 2 （an+1 2）=（ an 2） 2即（ 2 an+1） =（ 2 an） 2又由（ 2） an an+1 2，可知 2an+1 0， 2 an 0則

43、 lg （ 2 an+1）=2lg （ 2 an） lg 2 lg（ 2 a） lg2=2lg （ 2 a ） lg2n+1n即 lg（ 2an+1） lg2 為等比數(shù)列，公比為2，首項(xiàng)為 lg （ 2 a1） lg 2= lg 2故 lg（ 2 ann1n 2*）為所求（ 13 分） lg 2= （ lg 2 ） ?2 a =2（ nN點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的關(guān)系式，數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，數(shù)列的函數(shù)特征，函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，考查轉(zhuǎn)化思想，邏輯推理能力11（2012?藍(lán)山縣模擬）某學(xué)校餐廳為了保證每天供應(yīng)1000 名學(xué)生用餐，每星期一都提供有A 、 B 兩種菜可供學(xué)生選擇（每個(gè)學(xué)生都將從二種中選一種），經(jīng)調(diào)查，凡是在本周星期一選A 菜的，下周星期一會(huì)有20%改選 B ，而選 B 菜的，下周星期一則有 30%改選 A 用 an、bn 分別表示在第n 個(gè)星期一選 A 、B 菜的人數(shù)（ a1、 b1 表示本周星期一選 A 菜人數(shù)），若 a1=200（ 1）試以 an 表示 an+1；（ 2）證明： a n 的