2019高中數(shù)學(xué) 第一章 常用邏輯用語 1.2 充分條件與必要條件課件 北師大版選修2-1

1、2 2充分條件與必要條件充分條件與必要條件 一二三四思考辨析 一、充分條件 名師點(diǎn)撥定義中pq,即如果具備了條件p,就可以保證結(jié)論q成立, 所以p是q的充分條件;從集合的角度來認(rèn)識(shí)充分條件,若p表示的集 合為A,q表示的集合為B,pq,就有AB. 【做一做1】 “x5”是“xB”是“sin Asin B”的條件. 解析:在三角形中由大角對(duì)大邊可知ABab,再結(jié)合正弦定理 Asin B;反之,仍然結(jié)合正弦定理及大邊對(duì)大角可得出sin Asin BAB.因此在ABC中,“AB”是“sin Asin B”的充要條件. 答案:充要 一二三四思考辨析 四、充分、必要條件的四種情形 設(shè)原命題為“若p,則q

2、”,則其逆命題為“若q,則p”,得p與q的關(guān)系有 以下四種情形: 一二三四思考辨析 名師點(diǎn)撥如果把p研究的范圍看成集合A,把q研究的范圍看成集 合B,則可得下表: 一二三四思考辨析 【做一做4】 設(shè)點(diǎn)P(x,y),則“x=2,且y=-1”是“點(diǎn)P在直線l:x+y-1=0 上”的條件. 解析:將(2,-1)代入直線方程,符合方程,即“x=2且y=-1”可推出“點(diǎn) P在直線l:x+y-1=0上”;而點(diǎn)P在直線l上,則點(diǎn)P不一定就是(2,-1)點(diǎn), 即“點(diǎn)P在直線l:x+y-1=0上”推不出“x=2且y=-1”.故“x=2且y=-1”是 “點(diǎn)P在直線l:x+y-1=0上”的充分而不必要條件. 答案:

3、充分而不必要 一二三四思考辨析 判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號(hào)內(nèi)打“”,錯(cuò)誤的打 “”. (1)如果p是q的充分條件,那么命題“若p,則q”不一定為真. () (2)如果p是q的充分條件,那么q就是p的必要條件. () (3)如果p是q的必要條件,那么p是唯一的. () (4)如果p是q的充要條件,那么q也是p的充要條件. () 探究一探究二探究三思維辨析 充分條件、必要條件和充要條件的判斷充分條件、必要條件和充要條件的判斷 【例1】 指出下列各組命題中,p是q的什么條件(充分不必要條件、 必要不充分條件、充要條件、既不充分也不必要條件). (1)p:數(shù)a能被6整除,q:數(shù)a能被3整

4、除; (2)p:x1,q:x21; (3)p:ABC有兩個(gè)角相等,q:ABC是正三角形; (4)p:|ab|=ab,q:ab0; (5)在ABC中,p:AB,q:BCAC; (6)p:a=3,q:(a+2)(a-3)=0; (7)p:a2,q:a5; (8)p:ab,q: 0”,即p不能推出q. 而當(dāng)ab0時(shí),有|ab|=ab,即qp. 所以p是q的必要不充分條件. 探究一探究二探究三思維辨析 (5)在ABC中,ABBCAC.所以p是q的充要條件. (6)a=3(a+2)(a-3)=0,但(a+2)(a-3)=0 a=3.所以p是q的充分不 必要條件. (7)a2 a5,但a5a2,所以p是q

5、的必要不充分條件. 反思感悟充分條件、必要條件、充要條件的判斷方法 1.定義法:(1)分清命題的條件和結(jié)論:分清哪個(gè)是條件,哪個(gè)是結(jié) 論. (2)找推式:判斷“pq”及“qp”的真假. (3)根據(jù)推式及條件得出結(jié)論. 2.集合法:寫出集合A=x|p(x)及B=x|q(x),利用集合間的包含關(guān) 系進(jìn)行判斷. 探究一探究二探究三思維辨析 變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練1(1)下列“若p,則q”形式的命題中,p是q的充分條件的是( ) D.若xy,則x2y2 (2)“a=-2”是“直線l1:(a+1)x+y-2=0與直線l2:ax+(2a+2)y+1=0互相 垂直”的() A.必要不充分條件 B.充分不必要條件

6、C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 探究一探究二探究三思維辨析 解析:(1)B項(xiàng)中,x2=1x=1或x=-1;C項(xiàng)中,當(dāng)x=y0時(shí), 無意 義;D項(xiàng)中,當(dāng)xyy2, 所以B,C,D中p不是q的充分條件. (2)由l1l2,得a(a+1)+2a+2=0,解得a=-1或a=-2,故選B. 答案:(1)A(2)B 探究一探究二探究三思維辨析 充分條件、必要條件的探求充分條件、必要條件的探求 【例2】已知集合M=x|x5,P=x|(x-a)(x-8)0. (1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍,使它成為MP=x|5x8的充要條件; (2)求實(shí)數(shù)a的一個(gè)值,使它成為MP=x|5x8的一個(gè)充分但 不必要條件. 思維

7、點(diǎn)撥:(1)利用集合M和MP,通過分析求得a的取值范圍. (2)借助(1)的結(jié)論,根據(jù)充分但不必要條件所滿足的關(guān)系,確定a的 值. 探究一探究二探究三思維辨析 解:(1)由MP=x|5x8,得-3a5, 因此MP=x|5x8的充要條件是a|-3a5. (2)求實(shí)數(shù)a的一個(gè)值,使它成為MP=x|5x8的一個(gè)充分但 不必要條件,就是在集合a|-3a5中取一個(gè)值,如取a=0,此時(shí)必 有MP=x|5x8;反之,MP=x|5x8未必有a=0,故a=0是 MP=x|5x8的一個(gè)充分不必要條件. 反思感悟解答本例(2)時(shí),需借助(1)的結(jié)論,即求某一個(gè)結(jié)論的充 分不必要條件或必要不充分條件時(shí),一般是先求出這

8、個(gè)結(jié)論的充要 條件.成為MP=x|5x8的一個(gè)充分不必要條件,從集合的包含 關(guān)系來看,即為確定集合MP=x|5x8的一個(gè)真子集即可. 探究一探究二探究三思維辨析 變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練2已知p:xk,q: 2. 答案:(2,+) 探究一探究二探究三思維辨析 充要條件的證明充要條件的證明 【例3】 已知x,y都是非零實(shí)數(shù),且xy,求證: 的充要條件是 xy0. 思維點(diǎn)撥:充要條件的證明可用其定義,即條件結(jié)論且結(jié)論條 件.如果每一步的推出都是等價(jià)的(),也可以把兩個(gè)方面的證明合 并在一起,用“”寫出證明. 探究一探究二探究三思維辨析 探究一探究二探究三思維辨析 反思感悟充要條件的證明方法 (1)定義法:

9、分別證明充分性和必要性兩個(gè)方面.在解題時(shí)要避免 出現(xiàn)把充分性當(dāng)必要性來證明的錯(cuò)誤,這就需要先分清條件與結(jié)論, 若從條件推出結(jié)論,就是充分性;若從結(jié)論推出條件,就是必要性. (2)等價(jià)法:就是從條件開始,逐步推出結(jié)論,或者從結(jié)論開始,逐步 推出條件,但是每一步都是可逆的,即反過來也能推出,故必要性(或 者充分性)也可以不再重復(fù)證明,僅作為說明即可. 探究一探究二探究三思維辨析 變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練3已知ab0,求證:a+b=1的充要條件是a3+b3+ab-a2-b2=0. 思維點(diǎn)撥:本題中ab0是前提.證明充要條件即證明既是充分條 件又是必要條件,必須證明必要性與充分性都成立. 證明:先證必要性:a

10、+b=1,b=1-a, a3+b3+ab-a2-b2=a3+(1-a)3+a(1-a)-a2-(1-a)2=a3+1-3a+3a2- a3+a-a2-a2-1+2a-a2=0.必要性成立. 再證充分性:a3+b3+ab-a2-b2=0, 即(a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2)=0, (a+b-1)(a2-ab+b2)=0. 又ab0,a0,且b0,從而a2-ab+b20, a+b-1=0,即a+b=1,故充分性成立. 綜上,a+b=1的充要條件是a3+b3+ab-a2-b2=0. 探究一探究二探究三思維辨析 誤將“必要條件”充當(dāng)“充要條件”致誤 【典例】 函數(shù)f(x)=(a+1

11、)tan2x+3sin x+a2-3a-4為奇函數(shù)的充要條 件是() A.a=4B.a=-1 C.a=4或a=-1D.aR 易錯(cuò)分析:由f(x)為奇函數(shù),定義域中有0,一定有f(0)=0,但反過來,由 f(0)=0不能說明f(x)為奇函數(shù). 探究一探究二探究三思維辨析 該定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱. f(x)為奇函數(shù)且0A,f(0)=0,即a2-3a-4=0,a=4或a=-1. 當(dāng)a=-1時(shí),易證f(x)=3sin x(xA)是奇函數(shù); 當(dāng)a=4時(shí),f(x)=5tan2x+3sin x(xA), f(x)=5tan2x+3sin x(xA)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù),不合題 意, a=4應(yīng)舍去.故選B.

12、 糾錯(cuò)心得運(yùn)用必要條件探求充要條件時(shí),一定要進(jìn)行驗(yàn)證,千萬 不可以把“必要條件”充當(dāng)“充要條件”. 1 2 3 4 5 A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.既不充分也不必要條件 D.充要條件 答案:A 1 2 3 4 5 2.已知,是兩個(gè)不同的平面,直線a,直線b.命題p:a與b無公共 點(diǎn),命題q:,則p是q的() A.充分不必要條件B.必要不充分條件 C.充要條件D.既不充分也不必要條件 解析: ,無公共點(diǎn)a,b無公共點(diǎn),但a,b無公共點(diǎn)不能推出 ,無公共點(diǎn),即不能推出,所以p是q的必要不充分條件. 答案:B 1 2 3 4 5 3.函數(shù)y=x2+bx+c,x0,+)是單調(diào)函數(shù)的充要條件是. 答案:b0 1 2 3 4 5 4.設(shè)p: 1,q:(x-a)x-(a+1)0,若q是p的必要不充分條件,則 實(shí)